2011届高考数学总复习近五年导数精品

第三章 导数及其应用 第一部分第一部分 五年高考荟萃五年高考荟萃 20102010 年高考题年高考题 一 选择题 1 2009 年广东卷文 函数 x exxf 3 的单调递增区间是 A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 答案 D 解析 3 3 2 xxx fxxexexe 令 0fx 解得2x 故选 D 2 2009 全国卷 理 已知直线 y x 1 与曲线yln xa 相切 则 的值为 A 1 B 2 C 1 D 2 答案 B 解 设切点 00 P xy 则 0000 ln1 yxayx 又 0 0 1 1 x x y xa 000 10 12xayxa 故答案 选 B 3 2009 安徽卷理 已知函数 f x在 R 上满足 2 2 2 88f xfxxx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程是 A 21yx B yx C 32yx D 23yx 答案 A 解析 由 2 2 2 88f xfxxx 得几何 2 2 2 2 8 2 8fxf xxx 即 2 2 2 44f xfxxx 2 f xx 2fxx 切线方程 12 1 yx 即210 xy 选 A 4 2009 江西卷文 若存在过点 1 0 的直线与曲线 3 yx 和 2 15 9 4 yaxx 都相切 则 a等于 A 1 或 25 64 B 1 或 21 4 C 7 4 或 25 64 D 7 4 或7 答案 A 解析 设过 1 0 的直线与 3 yx 相切于点 3 00 x x 所以切线方程为 32 000 3 yxxxx 即 23 00 32yx xx 又 1 0 在切线上 则 0 0 x 或 0 3 2 x 当 0 0 x 时 由0y 与 2 15 9 4 yaxx 相切可得 25 64 a 当 0 3 2 x 时 由 2727 44 yx 与 2 15 9 4 yaxx 相切可得1a 所以选A 5 2009 江西卷理 设函数 2 f xg xx 曲线 yg x 在点 1 1 g处的切线方程为 21yx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处切线的斜率为 A 4 B 1 4 C 2 D 1 2 答案 A 解析 由已知 1 2 g 而 2fxg xx 所以 1 1 2 14fg 故选 A 力 6 2009 全国卷 理 曲线 21 x y x 在点 1 1处的切线方程为 A 20 xy B 20 xy C 450 xy D 450 xy 答案 B 解解 111 22 2121 1 21 21 xxx xx y xx 故切线方程为1 1 yx 即20 xy 故选故选 B 7 2009 湖南卷文 若函数 yf x 的导函数在区间 a b上是增函数 则函数 yf x 在区间 a b上的图象可能是 A B C D 解析 因为函数 yf x 的导函数 yfx 在区间 a b上是增函数 即在区间 a b上 各点处的斜率k是递增的 由图易知选 A 注意 C 中yk 为常数噢 8 2009 辽宁卷理 若 1 x满足 2x 2x 5 2 x满足 2x 2 2 log x 1 5 1 x 2 x A 5 2 B 3 C 7 2 D 4 答案 C 解析 由题意 1 1 225 x x 222 22log 1 5xx 所以 1 1 252 x x 121 log 52 xx 即 2 121 2log 52 xx 令 2x1 7 2t 代入上式得 7 2t 2log2 2t 2 2 2log2 t 1 5 2t 2log2 t 1 与 式比较得 t x2 于是 2x1 7 2x2 9 2009 天津卷理 设函数 1 ln 0 3 f xxx x 则 yf x A 在区间 1 1 1 e e 内均有零点 B 在区间 1 1 1 e e 内均无零点 C 在区间 1 1 e 内有零点 在区间 1 e内无零点 D 在区间 1 1 e 内无零点 在区间 1 e内有零点 考点定位 本小考查导数的应用 基础题 解析 由题得 x x x xf 3 31 3 1 令0 xf得3 x 令0 xf得 ababa o x o x y ba o x y o x y b y 30 x 0 xf得3 x 故知函数 xf在区间 3 0 上为减函数 在区间 3 为增函数 在点3 x处有极小值03ln1 又 01 3 1 1 0 1 3 3 1 1 ee f e eff 故选择 D 二 填空题 10 2009 辽宁卷文 若函数 2 1 xa f x x 在1x 处取极值 则a 解析 f x 2 2 2 1 1 x xxa x f 1 3 4 a 0 a 3 答案 3 11 若曲线 2 f xaxInx 存在垂直于y轴的切线 则实数a的取值范围是 解析解析 解析 由题意该函数的定义域0 x 由 1 2fxax x 因为存在垂直于y轴 的切线 故此时斜率为0 问题转化为0 x 范围内导函数 1 2fxax x 存在零点 解法 1 图像法 再将之转化为 2g xax 与 1 h x x 存在交点 当0a 不符合题意 当0a 时 如图 1 数形结合可得显然没有交点 当0a 如图 2 此时正好有一个交点 故有0a 应填 0 或是 0a a 解法 2 分离变量法 上述也可等价于方程 1 20ax x 在 0 内有解 显然可得 2 1 0 2 a x 12 2009 江苏卷 函数 32 15336f xxxx 的单调减区间为 解析 考查利用导数判断函数的单调性 2 330333 11 1 fxxxxx 由 11 1 0 xx 得单调减区间为 1 11 亦可填写闭区间或半开半闭区间 13 2009 江苏卷 在平面直角坐标系xoy中 点 P 在曲线 3 103C yxx 上 且在第二 象限内 已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 则点 P 的坐标为 解析 考查导数的几何意义和计算能力 2 31022yxx 又点 P 在第二象限内 2x 点 P 的坐标为 2 15 答案 1 a 命题立意 本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系 隐含着对指数函数的性质的考 查 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答 14 2009 福建卷理 若曲线 3 lnf xaxx 存在垂直于y轴的切线 则实数a取值范围是 答案 0 解析 由题意可知 2 1 2fxax x 又因为存在垂直于y轴的切线 所以 2 3 11 20 0 0 2 axaxa xx 15 2009 陕西卷理 设曲线 1 n yxnN 在点 1 1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 n x 令lg nn ax 则 1299 aaa 的值为 答案答案 2 1 1 1 12991299 1 11 1 1 1 1 298 991 lg lg lg2 2 399 100100 n nn x n yxnN yxynxynynx n x n aaax xx A A AA 解析 点 1 1 在函数的图像上 1 1 为切点 的导函数为切线是 令y 0得切点的横坐标 16 2009 四川卷文 设V是已知平面M上所有向量的集合 对于映射 f VV aV 记a的象为 f a 若映射 f VV 满足 对所有abV 及任意实数 都有 fabf af b 则f称为平面M上的线性变换 现有下列命题 设f是平面M上的线性变换 abV 则 f abf af b 若e是平面M上的单位向量 对 aVf aae 设 则f是平面M上的线性变换 对 aVf aa 设 则f是平面M上的线性变换 设f是平面M上的线性变换 aV 则对任意实数k均有 f kakf a 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 答案答案 解析解析 令1 则 bfafbaf 故 是真命题 同理 令0 k 则 akfkaf 故 是真命题 aaf 则有bbf bfafbababaf 是线性变换 故 是真命 题 由eaaf 则有ebbf ebfafeebeaebabaf e是单位向量 e 0 故 是假命题 备考提示备考提示 本小题主要考查函数 对应及高等数学线性变换的相关知识 试题立意新颖 突出创新能力和数学阅读能力 具有选拔性质 17 2009 宁夏海南卷文 曲线21 x yxex 在点 0 1 处的切线方程为 答案 31yx 解析 2 xx xeey 斜率 k 20 0 e 3 所以 y 1 3x 即31yx 三 解答题 18 2009 全国卷 理 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 设函数 32 33f xxbxcx 在两个极值点 12 xx 且 12 10 1 2 xx I 求bc 满足的约束条件 并在下 面的坐标平面内 画出满足这些条件的 点 b c的区域 II 证明 2 1 10 2 f x 分析 I 这一问主要考查了二次函数根的 分布及线性规划作可行域的能力 大部分考生有思路并能够得分 2 363fxxbxc 由题意知方程 0fx 有两个根 12 xx 1 10 x 且 2 1 2 x 则有 10f 00 f 1020ff 故有 右图中阴影部分即是满足这些条件的点 b c的区域 II 这一问考生不易得分 有一定的区分度 主要原因是含字母较多 不易找到突破口 此题主要利用消元的手段 消去目标 32 2222 33f xxbxcx 中的b 如果消 c会较繁琐 再利用 2 x的范围 并借助 I 中的约束条件得 2 0 c 进而求解 有较强的技巧性 解析 由题意有 2 222 3630fxxbxc 又 32 2222 33f xxbxcx 消去b可得 3 222 13 22 c f xxx 又 2 1 2 x 且 2 0 c 2 1 10 2 f x 19 2009 浙江文 本题满分 15 分 已知函数 32 1 2 f xxa xa axb a b R I 若函数 f x的图象过原点 且在原点处的切线斜率是3 求 a b的值 II 若函数 f x在区间 1 1 上不单调 求a的取值范围 解析 由题意得 2 1 23 2 aaxaxxf 又 3 2 0 0 0 aaf bf 解得0 b 3 a或1 a 函数 xf在区间 1 1 不单调 等价于 导函数 x f 在 1 1 既能取到大于 0 的实数 又能取到小于 0 的实数 即函数 x f 在 1 1 上存在零点 根据零点存在定理 有 0 1 1 ff 即 0 2 1 23 2 1 23 aaaaaa 整理得 0 1 1 5 2 aaa 解得15 a 20 2009 北京文 本小题共 14 分 设函数 3 3 0 f xxaxb a 若曲线 yf x 在点 2 f x处与直线8y 相切 求 a b的值 求函数 f x的单调区间与极值点 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值 解不等式等基础知识 考查 综合分析和解决问题的能力 2 33fxxa 曲线 yf x 在点 2 f x处与直线8y 相切 203 404 24 86828 faa babf 2 30fxxaa 当0a 时 0fx 函数 f x在 上单调递增 此时函数 f x没有极值点 当0a 时 由 0fxxa 当 xa 时 0fx 函数 f x单调递增 当 xaa 时 0fx 函数 f x单调递减 当 xa 时 0fx 函数 f x单调递增 此时xa 是 f x的极大值点 xa 是 f x的极小值点 21 2009 北京理 本小题共 13 分 设函数 0 kx f xxek 求曲线 yf x 在点 0 0 f处的切线方程 求函数 f x的单调区间 若函数 f x在区间 1 1 内单调递增 求k的取值范围 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值 解不等式等基础知识 考查 综合分析和解决问题的能力 1 01 00 kx fxkx eff 曲线 yf x 在点 0 0 f处的切线方程为yx 由 10 kx fxkx e 得 1 0 xk k 若0k 则当 1 x k 时 0fx 函数 f x单调递减 当 1 x k 时 0fx 函数 f x单调递增 若0k 则当 1 x k 时 0fx 函数 f x单调递增 当 1 x k 时 0fx 函数 f x单调递减 由 知 若0k 则当且仅当 1 1 k 即1k 时 函数 f x 1 1 内单调递增 若0k 则当且仅当 1 1 k 即1k 时 函数 f x 1 1 内单调递增 综上可知 函数 f x 1 1 内单调递增时 k的取值范围是 1 00 1 22 2009 山东卷文 本小题满分 12 分 已知函数 32 1 3 3 f xaxbxx 其中0a 1 当ba 满足什么条件时 xf取得极值 2 已知0 a 且 xf在区间 0 1 上单调递增 试用a表示出b的取值范围 解 1 由已知得 2 21fxaxbx 令0 xf 得 2 210axbx xf要取得极值 方程 2 210axbx 必须有解 所以 2 440ba 即 2 ba 此时方程 2 210axbx 的根为 22 1 244 2 bbabba x aa 22 2 244 2 bbabba x aa 所以 12 fxa xxxx 当0 a时 x x1 x 1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 增函数极大值减函数极小值增函数 所以 xf在 x 1 x2处分别取得极大值和极小值 当0 a时 x x2 x 2 x2 x1 x1 x1 f x 0 0 f x 减函数极小值增函数极大值减函数 所以 xf在 x 1 x2处分别取得极大值和极小值 综上 当ba 满足 2 ba 时 xf取得极值 2 要使 xf在区间 0 1 上单调递增 需使 2 210fxaxbx 在 0 1 上恒成立 即 1 0 1 22 ax bx x 恒成立 所以 max 1 22 ax b x 设 1 22 ax g x x 2 22 1 1 222 a x a a g x xx 令 0g x 得 1 x a 或 1 x a 舍去 当1 a时 1 01 a 当 1 0 x a 时 0g x 1 22 ax g x x 单调增函数 当 1 1 x a 时 0g x 1 22 ax g x x 单调减函数 所以当 1 x a 时 g x取得最大 最大值为 1 ga a 所以ba 当01a 时 1 1 a 此时 0g x 在区间 0 1 恒成立 所以 1 22 ax g x x 在区间 0 1 上单调递增 当1x 时 g x最大 最大值为 1 1 2 a g 所以 1 2 a b 综上 当1 a时 ba 当01a 时 1 2 a b 命题立意 本题为三次函数 利用求导的方法研究函数的极值 单调性和函数的最值 函 数在区间上为单调函数 则导函数在该区间上的符号确定 从而转为不等式恒成立 再转为函 数研究最值 运用函数与方程的思想 化归思想和分类讨论的思想解答问题 22 设函数 32 1 1 424 3 f xxa xaxa 其中常数 a 1 讨论 f x 的单调性 若当 x 0 时 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 解析解析 本题考查导数与函数的综合运用能力 涉及利用导数讨论函数的单调性 第一问本题考查导数与函数的综合运用能力 涉及利用导数讨论函数的单调性 第一问 关键是通过分析导函数 从而确定函数的单调性 第二问是利用导数及函数的最值 由恒关键是通过分析导函数 从而确定函数的单调性 第二问是利用导数及函数的最值 由恒 成立条件得出不等式条件从而求出的范围 成立条件得出不等式条件从而求出的范围 解析 I 2 2 4 1 2 2 axxaxaxxf 由1 a知 当2 x时 0 x f 故 xf在区间 2 是增函数 当ax22 时 0 x f 故 xf在区间 2 2 a是减函数 当ax2 时 0 x f 故 xf在区间 2 a是增函数 综上 当1 a时 xf在区间 2 和 2 a是增函数 在区间 2 2 a是减函数 II 由 I 知 当0 x时 xf在ax2 或0 x处取得最小值 aaaaaaaf2424 2 1 2 3 1 2 23 aaa244 3 4 23 af24 0 由假设知 0 0 0 2 1 f af a 即 0 24 0 6 3 3 4 1 a aaa a 解得 1 a 6 故a的取值范围是 1 6 23 2009 广东卷理 本小题满分 14 分 已知二次函数 yg x 的导函数的图像与直线2yx 平行 且 yg x 在1x 处取得 极小值1 0 mm 设 g x f x x 1 若曲线 yf x 上的点P到点 0 2 Q的距离的最小值为2 求m的值 2 k kR 如何取值时 函数 yf xkx 存在零点 并求出零点 解析 1 依题可设1 1 2 mxaxg 0 a 则 aaxxaxg22 1 2 又 gx 的图像与直线2yx 平行 22a 1a mxxmxxg 21 1 22 2 g xm f xx xx 设 oo P x y 则 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 x m xxyxPQ mmmmm x m x2 2222222 2 2 0 2 2 0 当且仅当 2 0 2 2 0 2 x m x 时 2 PQ取得最小值 即 PQ取得最小值2 当0 m时 2 222 m 解得12 m 当0 m时 2 222 m 解得12 m 2 由 120 m yf xkxk x x 0 x 得 2 120k xxm 当1k 时 方程 有一解 2 m x 函数 yf xkx 有一零点 2 m x 当1k 时 方程 有二解 4410mk 若0m 1 1k m 函数 yf xkx 有两个零点 1 2 1 442 k km x 即 1 1 11 k km x 若0m 1 1k m 函数 yf xkx 有两个零点 1 2 1 442 k km x 即 1 1 11 k km x 当1k 时 方程 有一解 4410mk 1 1k m 函数 yf xkx 有一零点m k x 1 1 综上 当1k 时 函数 yf xkx 有一零点 2 m x 当 1 1k m 0m 或 1 1k m 0m 时 函数 yf xkx 有两个零点 1 1 11 k km x 当 1 1k m 时 函数 yf xkx 有一零点m k x 1 1 24 2009 安徽卷理 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知函数 2 2ln 0 f xxaxa x 讨论 f x的单调性 本小题主要考查函数的定义域 利用导数等知识研究函数的单调性 考查分类讨论的思想 方法和运算求解的能力 本小题满分 12 分 解析 f x的定义域是 0 2 22 22 1 axax fx xxx 设 2 2g xxax 二次方程 0g x 的判别式 2 8a 当 2 80a 即02 2a 时 对一切0 x 都有 0fx 此时 f x在 0 上是增函数 当 2 80a 即2 2a 时 仅对2x 有 0fx 对其余的0 x 都有 0fx 此时 f x在 0 上也是增函数 当 2 80a 即2 2a 时 方程 0g x 有两个不同的实根 2 1 8 2 aa x 2 2 8 2 aa x 12 0 xx x 1 0 x 1 x 12 x x 2 x 2 x fx 0 0 f x 单调递增A极大单调递减A极小单调递增 此时 f x在 2 8 0 2 aa 上单调递增 在 22 88 22 aaaa 是上单调递减 在 2 8 2 aa 上单调递增 25 2009 安徽卷文 本小题满分 14 分 已知函数 a 0 讨论的单调性 设 a 3 求在区间 1 上值域 期中 e 2 71828 是自然对数的底数 思路 由求导可判断得单调性 同时要注意对参数的讨论 即不能漏掉 也不能重复 第 二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数 f x在 2 1 e 上的值域 解析 1 由于 2 2 1 a f x xx 令 2 1 21 0 tytatt x 得 当 2 80a 即02 2a 时 0f x 恒成立 f x 在 0 及 0 上都是增函数 当 2 80a 即2 2a 时 由 2 210tat 得 2 8 4 aa t 或 2 8 4 aa t 2 8 0 4 aa x 或0 x 或 2 8 4 aa x 又由 2 20tat 得 2222 8888 4422 aaaaaaaa tx 综上 当02 2a 时 f x在 0 0 及上都是增函数 当2 2a 时 f x在 22 88 22 aaaa 上是减函数 在 22 88 0 0 22 aaaa 及上都是增函数 2 当3a 时 由 1 知 f x在 1 2上是减函数 在 2 2 e 上是增函数 又 1 0 2 23 20ffln 22 2 2 50f ee e 函数 f x在 2 1 e 上的值域为 2 2 2 23 n2 5le e 26 2009 江西卷文 本小题满分 12 分 设函数 32 9 6 2 f xxxxa 1 对于任意实数x fxm 恒成立 求m的最大值 2 若方程 0f x 有且仅有一个实根 求a的取值范围 解析 1 2 3963 1 2 fxxxxx 因为 x fxm 即 2 39 6 0 xxm 恒成立 所以 81 12 6 0m 得 3 4 m 即m的最大值为 3 4 2 因为 当1x 时 0fx 当12x 时 0fx 当2x 时 0fx 所以 当1x 时 f x取极大值 5 1 2 fa 当2x 时 f x取极小值 2 2fa 故当 2 0f 或 1 0f 时 方程 0f x 仅有一个实根 解得 2a 或 5 2 a 27 2009 江西卷理 本小题满分 12 分 设函数 x e f x x 1 求函数 f x的单调区间 1 若0k 求不等式 1 0fxkx f x 的解集 解析 1 22 111 xxx x fxeee xxx 由 0fx 得 1x 因为 当0 x 时 0fx 当01x 时 0fx 当1x 时 0fx 所以 f x的单调增区间是 1 单调减区间是 0 0 1 2 由 2 2 1 1 x xkxkx fxkx f xe x 2 1 1 0 x xkx e x 得 1 1 0 xkx 故 当 01k 时 解集是 1 1 xx k 当 1k 时 解集是 当 1k 时 解集是 1 1 xx k 28 2009 天津卷文 本小题满分 12 分 设函数0 1 3 1 223 mRxxmxxxf其中 当时 1 m曲线 在点 11 fxfy 处的切线斜率 求函数的单调区间与极值 已知函数 xf有三个互不相同的零点 0 21 x x 且 21 xx 若对任意的 21 xxx 1 fxf 恒成立 求 m 的取值范围 答案 1 1 2 xf在 1 m 和 1 m内减函数 在 1 1 mm 内增函数 函数 xf在mx 1处取得极大值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 函数 xf在mx 1处取得极小值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 解析 解析 当1 1 2 3 1 1 2 23 fxxxfxxxfm故时 所以曲线 在点 11 fxfy 处的切线斜率为 1 2 解析 12 22 mxxxf 令0 xf 得到mxmx 1 1 因为mmm 11 0 所以 当 x 变化时 xfxf的变化情况如下表 x 1 m m 1 1 1 mm m 1 1 m xf 0 0 xf极小值极大值 xf在 1 m 和 1 m内减函数 在 1 1 mm 内增函数 函数 xf在mx 1处取得极大值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 函数 xf在mx 1处取得极小值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 3 解析 由题设 3 1 1 3 1 21 22 xxxxxmxxxxf 所以方程1 3 1 22 mxx 0 由两个相异的实根 21 x x 故3 21 xx 且 0 1 3 4 1 2 m 解得 2 1 2 1 mm 舍 因为1 2 3 32 221221 xxxxxx故所以 若0 1 1 3 1 1 1 2121 xxfxx则 而0 1 xf 不合题意 若 1 21 xx 则对任意的 21 xxx 有 0 0 21 xxxx 则0 3 1 21 xxxxxxf又0 1 xf 所以函数 xf在 21 xxx 的最 小值为 0 于是对任意的 21 xxx 1 fxf 恒成立的充要条件是 0 3 1 1 2 mf 解得 3 3 3 3 m 综上 m 的取值范围是 3 3 2 1 考点定位 本小题主要考查导数的几何意义 导数的运算 以及函数与方程的根的关 系解不等式等基础知识 考查综合分析问题和解决问题的能力 30 2009 湖北卷理 本小题满分 14 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 在 R 上定义运算 1 4 3 pqpcqbbc b c 为实常数 记 2 1 2fc 2 2fb R 令 2 1 fff 如果函数 f 在1 处有极什 4 3 试确定 b c 的值 求曲线 yf 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点 记 11g xfxx 的最大值为M 若Mk 对任意的 b c 恒成立 试 示k的最大值 解 当1 byfx 时 函数得对称轴 x b 位于区间 1 1 之外 此时max 1 1 Mggg b 由 2 1 1 4 1 1 0ffbf bfb m有 若10 max 1 bgg b 则f 1 f 1 f b g 1 于是 2 111 max 1 1 1 1 222 Mff bff bff bb 若01b 则 f 1 f 1 f b max 1 gg b g 1 于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mff bff bff bb 综上 对任意的 b c 都有 1 2 M 而当 1 0 2 bc 时 2 1 2 g xx 在区间 1 1 上的最大值 1 2 M 故MK 对任意的 b c 恒成立的 k 的最大值为 1 2 31 2009 四川卷文 本小题满分 12 分 已知函数 32 22f xxbxcx 的图象在与x轴交点处的切线方程是510yx I 求函数 f x的解析式 II 设函数 1 3 g xf xmx 若 g x的极值存在 求实数m的取值范围以及函数 g x取得极值时对应的自变量x的值 解析解析 I 由已知 切点为 2 0 故有 2 0f 即430bc 又 2 34fxxbxc 由已知 2 1285fbc 得870bc 联立 解得1 1bc 所以函数的解析式为 32 22f xxxx 4 分 II 因为 32 1 22 3 g xxxxmx 令 2 1 3410 3 g xxxm 当函数有极值时 则0 方程 2 1 3410 3 xxm 有实数解 由4 1 0m 得1m 当1m 时 0g x 有实数 2 3 x 在 2 3 x 左右两侧均有 0g x 故函数 g x无极值 当1m 时 0g x 有两个实数根 12 11 21 21 33 xmxm g x g x 情况如下表 x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x g x 0 0 g x 极大值 极小值 所以在 1 m时 函数 g x有极值 当 1 21 3 xm时 g x有极大值 当 1 21 3 xm时 g x有极小值 12 分 32 2009 全国卷 理 本小题满分 12 分 设函数 2 1f xxaInx 有两个极值点 12 xx 且 12 xx I 求a的取值范围 并讨论 f x的单调性 II 证明 2 122 4 In f x 解 I 2 22 2 1 11 axxa fxxx xx 令 2 22g xxxa 其对称轴为 1 2 x 由题意知 12 xx 是方程 0g x 的两个均 大于1 的不相等的实根 其充要条件为 480 1 0 a ga 得 1 0 2 a 当 1 1 xx 时 0 fxf x 在 1 1 x 内为增函数 当 12 xx x 时 0 fxf x 在 12 x x内为减函数 当 2 xx 时 0 fxf x 在 2 x 内为增函数 II 由 I 2 1 0 0 0 2 gax 2 22 2 axx 2 222 2222222 1 2 1f xxalnxxxx lnx 2 设 22 1 22 1 2 h xxxx lnxx 则 22 21 122 21 1h xxxlnxxxlnx 当 1 0 2 x 时 0 h xh x 在 1 0 2 单调递增 当 0 x 时 0h x h x在 0 单调递减 1112ln2 0 224 xh xh 当时 故 22 122 4 In f xh x 33 2009 湖南卷文 本小题满分 13 分 已知函数 32 f xxbxcx 的导函数的图象关于直线 x 2 对称 求 b 的值 若 f x在xt 处取得最小值 记此极小值为 g t 求 g t的定义域和值域 解 2 32fxxbxc 因为函数 fx 的图象关于直线 x 2 对称 所以 2 2 6 b 于是6 b 由 知 32 6f xxxcx 22 3123 2 12fxxxcxc 当 c 12 时 0fx 此时 f x无极值 ii 当 c 12 时 0fx 有两个互异实根 1 x 2 x 不妨设 1 x 2 x 则 1 x 2 2 x 当 x 1 x时 0fx f x在区间 1 x 内为增函数 当 1 x x 2 x时 0fx f x在区间 12 x x内为减函数 当 2 xx 时 0fx f x在区间 2 x 内为增函数 所以 f x在 1 xx 处取极大值 在 2 xx 处取极小值 因此 当且仅当12c 时 函数 f x在 2 xx 处存在唯一极小值 所以 2 2tx 于是 g t的定义域为 2 由 2 3120f tttc 得 2 312ctt 于是 3232 626 2 g tf tttctttt 当2t 时 2 6126 2 0 g ttttt 所以函数 g t 在区间 2 内是减函数 故 g t的值域为 8 35 2009 福建卷理 本小题满分 14 分 已知函数 32 1 3 f xxaxbx 且 1 0f 1 试用含a的代数式表示 b 并求 f x的单调区间 2 令1a 设函数 f x在 1212 x xxx 处取得极值 记点 M 1 x 1 f x N 2 x 2 f x P m f m 12 xmx 请仔细观察曲线 f x在点 P 处的切线与线段 MP 的 位置变化趋势 并解释以下问题 I 若对任意的 m 1 x x 2 线段 MP 与曲线 f x 均有异于 M P 的公共点 试确定 t 的最 小值 并证明你的结论 II 若存在点 Q n f n x n1 时 121a 当 x 变化时 fx与 f x的变化情况如下表 x 12 a 12 1 a 1 fx f x单调递增单调递减单调递增 由此得 函数 f x的单调增区间为 12 a 和 1 单调减区间为 12 1 a 当1a 时 1 21a 此时有 0fx 恒成立 且仅在1x 处 0fx 故函数 f x的单调增区间为 R 当1a 时 1 21a 同理可得 函数 f x的单调增区间为 1 和 12 a 单调减区间为 1 12 a 综上 当1a 时 函数 f x的单调增区间为 12 a 和 1 单调减区间为 12 1 a 当1a 时 函数 f x的单调增区间为 R 当1a 时 函数 f x的单调增区间为 1 和 12 a 单调减区间为 1 12 a 由1a 得 32 1 3 3 f xxxx 令 2 230f xxx 得 12 1 3xx 由 1 得 f x增区间为 1 和 3 单调减区间为 1 3 所以函数 f x在处 12 1 3xx 取得极值 故 M 5 1 3 N 3 9 观察 f x的图象 有如下现象 当 m 从 1 不含 1 变化到 3 时 线段 MP 的斜率与曲线 f x在点 P 处切线的斜率 f x之差 Kmp fm的值由正连续变为负 线段 MP 与曲线是否有异于 H P 的公共点与 Kmp fm的 m 正负有着密切的关联 Kmp fm 0 对应的位置可能是临界点 故推测 满足 Kmp fm的 m 就是所求 的 t 最小值 下面给出证明并确定的 t 最小值 曲线 f x在点 P m f m处的切线斜率 2 23fmmm 线段 MP 的斜率 Kmp 2 45 3 mm 当 Kmp fm 0 时 解得12mm 或 直线 MP 的方程为 22 454 33 mmmm yx 令 22 454 33 mmmm g xf xx 当2m 时 2 2g xxx 在 1 2 上只有一个零点0 x 可判断 f x函数在 1 0 上单调递增 在 0 2 上单调递减 又 1 2 0gg 所以 g x在 1 2 上没 有零点 即线段 MP 与曲线 f x没有异于 M P 的公共点 当 2 3m 时 2 4 0 0 3 mm g 2 2 2 0gm 所以存在 0 2m 使得 0g 即当 2 3 m 时MP 与曲线 f x有异于 M P 的公共点 综上 t 的最小值为 2 2 类似 1 于中的观察 可得 m 的取值范围为 1 3 解法二 1 同解法一 2 由1a 得 32 1 3 3 f xxxx 令 2 230fxxx 得 12 1 3xx 由 1 得的 f x单调增区间为 1 和 3 单调减区间为 1 3 所以函数在处 取得极值 故 M 5 1 3 N 3 9 直线 MP 的方程为 22 454 33 mmmm yx 由 22 32 454 33 1 3 3 mmmm yx yxxx 得 3222 3 44 40 xxmmxmm 线段 MP 与曲线 f x有异于 M P 的公共点等价于上述方程在 1 m 上有根 即函数 3222 3 44 4g xxxmmxmm 在 1 m 上有零点 因为函数 g x为三次函数 所以 g x至多有三个零点 两个极值点 又 1 0gg m 因此 g x在 1 m 上有零点等价于 g x在 1 m 内恰有一个极大值点 和一个极小值点 即 22 36 44 0 1 g xxxmmm 在内有两不相等的实数根 等价于 2 22 22 3612440 3 1 6 44 0 36 44 0 1 mm mm mmmm m 即 15 21 25 1 m mmm m 或解得 又因为13m 所以 m 的取值范围为 2 3 从而满足题设条件的 r 的最小值为 2 36 2009 辽宁卷文 本小题满分 12 分 设 2 1 x f xe axx 且曲线 y f x 在 x 1 处的切线与 x 轴平行 2 求 a 的值 并讨论 f x 的单调性 1 证明 当 0 f cos f sin 2 2 时 解析 2 121 x fxeaxxax 有条件知 1 0f 故3201aaa 2 分 于是 2 2 2 1 xx fxexxexx 故当 2 1 x 时 fx 0 当 2 1 x 时 fx 0 从而 f x在 2 1 单调减少 在 2 1 单调增加 6 分 由 知 f x在 0 1 单调增加 故 f x在 0 1 的最大值为 1 fe 最小值为 0 1f 从而对任意 1 x 2 x 0 1 有 12 12f xf xe 10 分 而当 0 2 时 cos sin 0 1 从而 cos sin 2ff 12 分 37 2009 辽宁卷理 本小题满分 12 分 已知函数 f x 2 1 x 2 ax a 1 ln x 1a 1 讨论函数 f x的单调性 2 证明 若5a 则对任意 x1 x2 0 x1 x2 有 12 12 1 f xf x xx 解析 1 f x的定义域为 0 2 11 1 1 axaxaxxa fxxa xxx 2 分 i 若11a 即2a 则 2 1 x fx x 故 f x在 0 单调增加 ii 若1 1a 而1a 故12a 则当 1 1 xa 时 0fx 当 0 1 xa 及 1 x 时 0fx 故 f x在 1 1 a 单调减少 在 0 1 1 a 单调增加 iii 若11a 即2a 同理可得 f x在 1 1 a 单调减少 在 0 1 1 a 单调增加 II 考虑函数 g xf xx 2 1 1 ln 2 xaxaxx 则 2 11 1 2 1 1 1 1 aa g xxaxaa xx g 由于 1 a1 证明对任意的 c 都有 M 2 若 M K 对任意的 b c 恒成立 试求 k 的最大值 本小题主要考察函数 函数的导数和不等式等基础知识 考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想 满分 14 分 I 解析 2 2fxxbxc 由 f x在1x 处有极值 4 3 可得 1 120 14 1 33 fbc fbcbc 解得 1 1 b c 或 1 3 b c 若1 1bc 则 22 21 1 0fxxxx 此时 f x没有极值 若1 3bc 则 2 23 1 1 fxxxxx 当x变化时 f x fx的变化情况如下表 x 3 3 3 1 1 1 fx 0 0 f xA 极 小 值 12 A 极 大 值 4 3 A 当1x 时 f x有极大值 4 3 故1b 3c 即为所求 证法 1 22 g xfxxbbc 当 1b 时 函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 之外 fx 在 1 1 上的最值在两端点处取得 故M应是 1 g 和 1 g中较大的一个 2 1 1 12 12 4 4 Mggbcbcb 即2M 证法 2 反证法 因为 1b 所以函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 之外 fx 在 1 1 上的最值在两端点处取得 故M应是 1 g 和 1 g中较大的一个 假设2M 则 1 12 2 1 12 2 gbc gbc 将上述两式相加得 4 12 12 4 4bcbcb 导致矛盾 2M 解法 1 22 g xfxxbbc 1 当 1b 时 由 可知2M 2 当 1b 时 函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 内 此时 max 1 1 Mggg b 由 1 1 4 ffb 有 2 1 1 0fbfb 若10 b 则 1 1 1 max 1 fffbggg b 于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mffbffbffbb 若01b 则 1 1 fffb 1 max 1 ggg b 于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mffbffbffbb 综上 对任意的b c都有 1 2 M 而当 1 0 2 bc 时 2 1 2 g xx 在区间 1 1 上的最大值 1 2 M 故Mk 对任意的b c恒成立的k的最大值为 1 2 解法 2 22 g xfxxbbc 1 当 1b 时 由 可知2M 2 当 1b 时 函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 内 此时 max 1 1 Mggg b 2 4 1 1 2 1 2 12 2 Mggg hbcbcbc 22 1 2 12 2 22 2bcbcbcb 即 1 2 M 下同解法 1 43 2009 宁夏海南卷文 本小题满分 12 分 已知函数 3223 39f xxaxa xa 1 设1a 求函数 f x的极值 2 若 1 4 a 且当 1 4xa 时 xf 12a 恒成立 试确定a的取值范围 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计 分 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 21 解析 当 a 1 时 对函数 f x求导数 得 2 369 fxxx 令 12 0 1 3 fxxx 解得 列表讨论 f xfx的变化情况 x 1 1 1 3 3 3 fx 0 0 f x A 极大值 6A极小值 26A 所以 f x的极大值是 1 6f 极小值是 3 26 f 22 369fxxaxa 的图像是一条开口向上的抛物线 关于 x a 对称 若 1 1 4 afx 则在 1 4a 上是增函数 从而 fx 在 1 4a 上的最小值是 2 1 369 faa 最大值是 2 4 15 faa 由 22 12 1236912 fxaaxaxaa 得于是有 2 2 1 36912 4 1512 faaafaaa 且 由 14 1 121 4 120 35 faafaaa 得由得 所以 1141 4 1 1 0 4354 5 aa 即 若 a 1 则 2 1212 1 4 12faaaxafxa 故当时不恒成立 所以使 12 1 4 fxa xa 恒成立的 a 的取值范围是 1 4 4 5 44 2009 天津卷理 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知函数 22 23 x f xxaxaa exR 其中aR 1 当0a 时 求曲线 1 1 yf xf 在点处的切线的斜率 2 当 2 3 a 时 求函数 f x的单调区间与极值 本小题主要考查导数的几何意义 导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值等基础 知识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 满分 12 分 I 解析 3 1 2 0 22 efexxxfexxfa xx 故 时 当 3 1 1 efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线 II 42 2 22x eaaxaxxf 解 22 3 2 2 20 aaaaxaxxf知 由 或 解得令 以下分两种情况讨论 1 a若 3 2 则a2 2 a 当x变化时 xfxf 的变化情况如下表 x a2 a2 22 aa 2 a 2a 0 0 极 大 值 极 小 值 22 2 2 内是减函数 内是增函数 在 在所以 aaaaxf 3 2 2 2 2a aeafafaxxf 且处取得极大值在函数 34 2 2 2 2 a eaafafaxxf 且处取得极小值在函数 2 a若 3 2 则a2 2 a 当x变化时 xfxf 的变化情况如下表 x 2 a 2 a aa22 a2 a2 0 0 极 大 值 极 小 值 内是减函数 内是增函数 在 在所以 22 2 2 aaaaxf 34 2 2 2 2 a eaafafaxxf 且处取得极大值在函数 3 2 2 2 2a aeafafaxxf 且处取得极小值在函数 45 2009 四川卷理 本小题满分 12 分 已知0 1aa 且函数 log 1 x a f xa I 求函数 f x的定义域 并判断 f x的单调性 II 若 lim f n n n a nN aa 求 III 当ae e为自然对数的底数 时 设 2 1 1 f x h xexm 若函数 h x的极值存在 求实数m的取值范围以及函数 h x的极值 本小题主要考查函数 数列的极限 导数应用等基础知识 考查分类整合思想 推理和运算 能力 解析 由题意知10 x a 当01 01 0af xaf x 时 的定义域是 当时 的定义域是 ln log 11 a a e g xx xx aa f x aa 当01 0 10 0 xx axaa 时 因为故f x 0 因为 n 是正整数 故 0 a1时 g x 0在R 上恒成立 故函数g x 在R 上为增函数 2 当440 k 即当k 1时 2 22 1 0 0 x ex g xx xk K 1 时 g x 在 R 上为增函数 3 440 k 即当0 k 1时 方程 2 20 xxk 有两个不相等实根 12 11 11xk xk 当 11 0 11 xkg xg xk 是故在