小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)分解

精品文档 1欢迎下载 模型三模型三 蝴蝶模型蝴蝶模型 任意四边形模型 任意四边形模型 任意四边形中的比例关系任意四边形中的比例关系 蝴蝶定理蝴蝶定理 S4 S3 S2 S1 O D CB A 或者或者 1243 SSSS 1324 SSSS 1243 AO OCSSSS 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径 通过构造模型 一方面可以使不规则四边通过构造模型 一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系 另一方面 也可以得到与面积对应的对角线的比例关系形的面积关系与四边形内的三角形相联系 另一方面 也可以得到与面积对应的对角线的比例关系 例例 1 小数报竞赛活动试题小数报竞赛活动试题 如图 某公园的外轮廓是四边形如图 某公园的外轮廓是四边形ABCD 被对角线 被对角线AC BD分成四个部分 分成四个部分 AOB面积为面积为 1 平方千米 平方千米 BOC面积为面积为 2 平方千米平方千米 COD的面积为的面积为 3 平方千米 公园由陆地面积平方千米 公园由陆地面积 是是 6 92 平方千米和人工湖组成 求人工湖的面积是多少平方千米 平方千米和人工湖组成 求人工湖的面积是多少平方千米 O D C B A 分析分析 根据蝴蝶定理求得平方千米 公园四边形的面积是平3 121 5 AOD S ABCD1231 57 5 方千米 所以人工湖的面积是平方千米7 56 920 58 巩固巩固 如图 四边形被两条对角线分成如图 四边形被两条对角线分成 4 个三角形 其中三个三角形的面积已知 个三角形 其中三个三角形的面积已知 求 求 三角形三角形的面积 的面积 BGC AG GC A B C D G 32 1 解析 根据蝴蝶定理 那么 123 BGC S A 6 BGC S A 根据蝴蝶定理 12 361 3AG GC 例例 2 四边形四边形的对角线的对角线与与交于点交于点 如图所示如图所示 如果三角形如果三角形的面积等于三角形的面积等于三角形ABCDACBDOABD 任意四边形 梯形与相似模任意四边形 梯形与相似模 型型 精品文档 2欢迎下载 的面积的的面积的 且 且 那么 那么的长度是的长度是的长度的的长度的 倍倍 BCD 1 3 2AO 3DO CODO A BC D O H G A BC D O 解析 在本题中 四边形为任意四边形 对于这种 不良四边形 无外乎两种处理方法 利用ABCD 已知条件 向已有模型靠拢 从而快速解决 通过画辅助线来改造不良四边形 看到题目中给出 条件 这可以向模型一蝴蝶定理靠拢 于是得出一种解法 又观察题目中给出的 1 3 ABDBCD SS AA 已知条件是面积的关系 转化为边的关系 可以得到第二种解法 但是第二种解法需要一个中介来 改造这个 不良四边形 于是可以作垂直于 垂直于 面积比转化为高之比 AHBDHCGBDG 再应用结论 三角形高相同 则面积之比等于底边之比 得出结果 请老师注意比较两种解法 使 学生体会到蝴蝶定理的优势 从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题 解法一 1 3 ABDBDC AO OCSS 236OC 6 32 1OC OD 解法二 作于 于 AHBD HCGBD G 1 3 ABDBCD SS 1 3 AHCG 1 3 AODDOC SS 1 3 AOCO 236OC 6 32 1OC OD 例例 3 如图 平行四边形如图 平行四边形的对角线交于的对角线交于点 点 的面积依次是的面积依次是ABCDOCEF OEF ODF BOE 2 4 4 和和 6 求 求 求求的面积 的面积 求求的面积的面积 OCF GCE O G F E D CB A 解析 根据题意可知 的面积为 那么和的面积都是 BCD 244616 BCO CDO 1628 所以的面积为 OCF 844 由于的面积为 8 的面积为 6 所以的面积为 BCO BOE OCE 862 根据蝴蝶定理 所以 2 41 2 COECOF EG FGSS 1 2 GCEGCF SSEG FG 那么 112 2 1233 GCECEF SS 例例 4 图中的四边形土地的总面积是图中的四边形土地的总面积是 52 公顷 两条对角线把它分成了公顷 两条对角线把它分成了 4 个小三角形 其中个小三角形 其中 2 个小三角形个小三角形 的面积分别是的面积分别是 6 公顷和公顷和 7 公顷 那么最大的一个三角形的面积是多少公顷 公顷 那么最大的一个三角形的面积是多少公顷 精品文档 3欢迎下载 7 6 7 6 E D C BA 解析 在 中有 所以 的面积比为 ABEACDEAAEBCED ABEACDEA AEEB CEDE 同理有 的面积比为 所以有 也ADEABCEA AEDEBEEC ABE SA CDE SA ADE SA BCE SA 就是说在所有凸四边形中 连接顶点得到 2 条对角线 有图形分成上 下 左 右 4 个部分 有 上 下部分的面积之积等于左右部分的面积之积 即 所以有与6 ABE S A7 ADE S AABEA 的面积比为 公顷 公顷 ADEA7 6 ABE SA 7 3921 67 ADE SA 6 3918 67 显然 最大的三角形的面积为 21 公顷 例例 5 2008 年清华附中入学测试题年清华附中入学测试题 如图相邻两个格点间的距离是如图相邻两个格点间的距离是 1 则图中阴影三角形的面积为 则图中阴影三角形的面积为 C A B D O C A B D 解析 连接 ADCDBC 则可根据格点面积公式 可以得到的面积为 的面积为 ABC 4 112 2 ACD 的面积为 3 313 5 2 ABD 4 213 2 所以 所以 2 3 54 7 ABCACD BO ODSS 4412 3 471111 ABOABD SS 巩固巩固 如图 每个小方格的边长都是如图 每个小方格的边长都是 1 求三角形 求三角形的面积 的面积 ABC A B C D E 解析 因为 且 所以 2 5BD CE BDCE 2 5DA AC 5 25 ABC S 510 2 77 DBC S 例例 6 2007 年人大附中考题年人大附中考题 如图 边长为如图 边长为 1 的正方形的正方形中 中 求三角形 求三角形ABCD2BEEC CFFD 的面积 的面积 AEG 精品文档 4欢迎下载 A BC D E F G A BC D E F G 解析 连接 EF 因为 所以 2BEEC CFFD 1111 23212 DEFABCDABCD SSS AA 因为 根据蝴蝶定理 1 2 AEDABCD SS A 11 6 1 2 12 AG GF 所以 6613 6 77414 AGDGDFADFABCDABCD SSSSS AA 所以 1322 21477 AGEAEDAGDABCDABCDABCD SSSSSS AAA 即三角形的面积是 AEG 2 7 例例 7 如图 长方形如图 长方形中 中 三角形 三角形的面积为的面积为平方厘米 求长平方厘米 求长ABCD 2 3BE EC 1 2DF FC DFG2 方形方形的面积 的面积 ABCD A BC D E F G A BC D E F G 解析 连接 AEFE 因为 所以 2 3BE EC 1 2DF FC 3111 53210 DEFABCDABCD SSS A长方形长方形 因为 所以平方厘米 所以 1 2 AEDABCD SS A长方形 11 5 1 2 10 AG GF 510 AGDGDF SS AA 平方厘米 因为 所以长方形的面积是平方厘米 12 AFD S A 1 6 AFDABCD SS A长方形 ABCD72 例例 8 如图 已知正方形如图 已知正方形的边长为的边长为 10 厘米 厘米 为为中点 中点 为为中点 中点 为为中点 求三角中点 求三角ABCDEADFCEGBF 形形的面积的面积 BDG A BC D E F G O A BC D E F G 解析 设与的交点为 连接 BDCEOBEDF 由蝴蝶定理可知 而 BEDBCD EO OCSS AA 1 4 BEDABCD SS AA 1 2 BCDABCD SS AA 所以 故 1 2 BEDBCD EO OCSS AA 1 3 EOEC 精品文档 5欢迎下载 由于为中点 所以 故 FCE 1 2 EFEC 2 3EO EF 1 2FO EO 由蝴蝶定理可知 所以 1 2 BFDBED SSFO EO AA 11 28 BFDBEDABCD SSS AAA 那么 平方厘米 111 10 106 25 21616 BGDBFDABCD SSS AAA 例例 9 如图 在如图 在中 已知中 已知 分别在边分别在边 上 上 与与相交于相交于 若若 ABC MNACBCBMANOAOM 和和的面积分别是的面积分别是 3 2 1 则 则的面积是的面积是 ABO BON MNC N M O C B A 解析 这道题给出的条件较少 需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解 根据蝴蝶定理得 3 13 22 AOMBON MON AOB SS S S 设 根据共边定理我们可以得 MON Sx 解得 ANMABM MNCMBC SS SS 3 3 32 2 3 1 2 x x 22 5x 例例 10 2009 年迎春杯初赛六年级年迎春杯初赛六年级 正六边形正六边形的面积是的面积是 2009 平方厘米 平方厘米 分分 123456 A A A A A A 123456 B B B B B B 别是正六边形各边的中点 那么图中阴影六边形的面积是别是正六边形各边的中点 那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米 平方厘米 B6 B5 B4 B3 B2 B1 A6 A5A4 A3 A2A1 O B6 B5 B4 B3 B2 B1 A6 A5A4 A3 A2A1 解析 如图 设与的交点为 则图中空白部分由个与一样大小的三角形组成 只要 62 B A 13 B AO6 23 A OA 求出了的面积 就可以求出空白部分面积 进而求出阴影部分面积 23 A OA 连接 63 A A 61 B B 63 B A 设的面积为 则面积为 面积为 那么面积为 116 AB B 1 126 B A B 1 126 A A B 2 636 A A B 的倍 为 梯形的面积为 的面积为 126 A A B 24 1236 A A A A224212 263 A B A 6 的面积为 123 B A A 2 根据蝴蝶定理 故 126326 13 1 6 B A BA A B BOA OSS 2 3 6 16 A OA S 123 12 7 B A A S 所以 即的面积为梯形面积的 故为六边形 231236 12 12 1 7 7 A OAA A A A SS 梯形23 A OA 1236 A A A A 1 7 面积的 那么空白部分的面积为正六边形面积的 所以阴影部分面积为 123456 A A A A A A 1 14 13 6 147 精品文档 6欢迎下载 平方厘米 3 200911148 7 精品文档 7欢迎下载 板块二板块二 梯形模型的应用梯形模型的应用 梯形中比例关系梯形中比例关系 梯形蝴蝶定理梯形蝴蝶定理 A BC D O b a S3 S2 S1 S4 22 13 SSab 22 1324 SSSSabab ab 的对应份数为的对应份数为 S 2 ab 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上 下底之间关系互相转换的渠道 通过构造模型 直接应用结梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上 下底之间关系互相转换的渠道 通过构造模型 直接应用结 论 往往在题目中有事半功倍的效果 论 往往在题目中有事半功倍的效果 具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明 例例 11 如图 如图 求梯形的面积 求梯形的面积 2 2S 3 4S S4 S3 S2 S1 解析 设为份 为份 根据梯形蝴蝶定理 所以 又因为 所 1 S 2 a 3 S 2 b 2 3 4Sb 2b 2 2Sab 以 那么 所以梯形面积 或者1a 2 1 1Sa 4 2Sab 1234 12429SSSSS 根据梯形蝴蝶定理 22 129Sab 巩固巩固 2006 年南京智力数学冬令营年南京智力数学冬令营 如下图 梯形如下图 梯形的的平行于平行于 对角线 对角线 交于交于 ABCDABCDACBDO 已知已知与与的面积分别为的面积分别为 平方厘米与平方厘米与平方厘米 那么梯形平方厘米 那么梯形的面积是的面积是AOB BOC 2535ABCD 平方厘米 平方厘米 35 25 O AB CD 解析 根据梯形蝴蝶定理 可得 再根据梯形蝴蝶定理 2 25 35 AOBBOC SSaab AA 5 7a b 所以 平方厘米 那么梯形的面积为 2222 5 725 49 AOBDOC SSab AA 49 DOC S A ABCD 平方厘米 25353549144 例例 12 梯形梯形的对角线的对角线与与交于点交于点 已知梯形上底为 已知梯形上底为 2 且三角形 且三角形的面积等于三角的面积等于三角ABCDACBDOABO 形形面积的面积的 求三角形 求三角形与三角形与三角形的面积之比的面积之比 BOC 2 3 AODBOC 精品文档 8欢迎下载 O A BC D 解析 根据梯形蝴蝶定理 可以求出 2 2 3 AOBBOC SSab b AA 2 3a b 再根据梯形蝴蝶定理 2222 2 34 9 AODBOC SSab AA 通过利用已有几何模型 我们轻松解决了这个问题 而没有像以前一样 为了某个条件的缺乏而千 辛万苦进行构造假设 所以 请同学们一定要牢记几何模型的结论 例例 13 第十届华杯赛第十届华杯赛 如下图 四边形如下图 四边形中 对角线中 对角线和和交于交于点 已知点 已知 并且 并且ABCDACBDO1AO 那么 那么的长是多少 的长是多少 3 5 ABD CBD 三角形的面积 三角形的面积 OC A B C D O 解析 根据蝴蝶定理 所以 又 所以 ABDAO CBDCO 三角形的面积 三角形的面积 3 5 AO CO 1AO 5 3 CO 例例 14 梯形的下底是上底的梯形的下底是上底的倍 三角形倍 三角形的面积是的面积是 问三角形 问三角形的面积是多少 的面积是多少 1 5OBC 2 9cmAOD A BC D O 解析 根据梯形蝴蝶定理 1 1 52 3a b 2222 2 34 9 AODBOC SSab 所以 2 4 cm AOD S 巩固巩固 如图 梯形如图 梯形中 中 的面积分别为的面积分别为和和 求梯形 求梯形的面积 的面积 ABCDAOB COD 1 22 7ABCD O D C BA 解析 根据梯形蝴蝶定理 所以 22 4 9 AOBACOD SSab AA 2 3a b 2 3 2 AODAOB SSab ab a AA 3 1 21 8 2 AODCOB SS AA 1 21 81 82 77 5 ABCD S 梯形 例例 15 如下图 一个长方形被一些直线分成了若干个小块 已知三角形如下图 一个长方形被一些直线分成了若干个小块 已知三角形的面积是的面积是 三角形 三角形 ADG11 的面积是的面积是 求四边形 求四边形的面积 的面积 BCH23EGFH 精品文档 9欢迎下载 H G F E DC B A H G F E DC B A 解析 如图 连结EF 显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形 于是我们可以得到三角形EFG的面积 等于三角形ADG的面积 三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积 所以四边形EGFH的面积是 112334 巩固巩固 人大附中入学测试题人大附中入学测试题 如图 长方形中 若三角形如图 长方形中 若三角形 1 的面积与三角形的面积与三角形 3 的面积比为的面积比为 4 比比 5 四边形 四边形 2 的面积为的面积为 36 则三角形 则三角形 1 的面积为的面积为 321 321 解析 做辅助线如下 利用梯形模型 这样发现四边形 2 分成左右两边 其面积正好等于三角形 1 和三角 形 3 所以 1 的面积就是 3 的面积就是 4 3616 45 5 3620 45 例例 16 如图 正方形如图 正方形面积为面积为 平方厘米 平方厘米 是是边上的中点 求图中阴影部分的面积 边上的中点 求图中阴影部分的面积 ABCD3MAD G M D C B A 解析 因为是边上的中点 所以 根据梯形蝴蝶定理可以知道MAD 1 2AM BC 设份 则 22 1 1 2 1 2 21 2 2 4 AMGABGMCGBCG SSSS 1 AGM S 123 MCD S 份 所以正方形的面积为份 份 所以 所以1224312 224S 阴影 1 3SS 阴影正方形 平方厘米 1S 阴影 巩固巩固 在下图的正方形在下图的正方形中 中 是是边的中点 边的中点 与与相交于相交于点 三角形点 三角形的面积为的面积为 1 平平ABCDEBCAEBDFBEF 方厘米 那么正方形方厘米 那么正方形面积是面积是 平方厘米 平方厘米 ABCD A BC D E F 解析 连接 根据题意可知 根据蝴蝶定理得 平方厘米 DE 1 2BE AD 2 129S 梯形 平方厘米 那么 平方厘米 3 ECD S 12 ABCD S A 例例 17 如图面积为如图面积为平方厘米的正方形平方厘米的正方形中 中 是是边上的三等分点 求阴影部分的面边上的三等分点 求阴影部分的面12ABCD E FDC 积 积 精品文档 10欢迎下载 O FE DC B A 解析 因为是边上的三等分点 所以 设份 根据梯形蝴蝶定理可以知道 E FDC 1 3EF AB 1 OEF S 份 份 份 因此正方形的面积为3 AOEOFB SS 9 AOB S 13 ADEBCF SS 份 所以 所以平方厘米 2 44 13 24 6S 阴影 6 241 4SS 阴影正方形 3S 阴影 例例 18 如图 在长方形如图 在长方形中 中 厘米 厘米 厘米 厘米 求阴影部分的面积 求阴影部分的面积 ABCD6AB 2AD AEEFFB B C A D EF O B C A D EF O 解析 方法一 如图 连接 将阴影部分的面积分为两个部分 其中三角形的面积为DEDEAED 平方厘米 26322 由于 根据梯形蝴蝶定理 所以 而 1 3EF DC 3 1 DEOEFO SS AA 3 4 DEODEF SS AA 平方厘米 所以平方厘米 阴影部分的面积为平方厘2 DEFADE SS AA 3 21 5 4 DEO S A 21 53 5 米 方法二 如图 连接 由于 设份 根据梯形蝴蝶定理 DEFC 1 3EF DC 1 OEF S 份 份 份 因此3 OED S 2 13 16 EFCD S 梯形 134 ADEBCF SS 份 份 而平方厘米 所以416424 ABCD S 长方形 437S 阴影 6212 ABCD S 长方形 平方厘米3 5S 阴影 例例 19 2008 年年 奥数网杯奥数网杯 六年级试题六年级试题 已知已知是平行四边形 是平行四边形 三角形 三角形的的ABCD 3 2BC CE ODE 面积为面积为 6 平方厘米 则阴影部分的面积是平方厘米 则阴影部分的面积是 平方厘米 平方厘米 O E A BC D O E A BC D 解析 连接 AC 由于是平行四边形 所以 ABCD 3 2BC CE 2 3CE AD 根据梯形蝴蝶定理 所以 平方 22 2 23 23 34 6 6 9 COEAOCDOEAOD SSSS AAAA 6 AOC S A 厘米 平方厘米 又 平方厘米 阴影部分面积为9 AOD S A 6915 ABCACD SS AA 平方厘米 61521 巩固巩固 右图中右图中是梯形 是梯形 是平行四边形 已知三角形面积如图所示是平行四边形 已知三角形面积如图所示 单位 平方厘米单位 平方厘米 阴影部 阴影部ABCDABED 分的面积是分的面积是 平方厘米 平方厘米 精品文档 11欢迎下载 21 A BC D E 9 4 21 A BC D E O 9 4 分析 连接 AE 由于与是平行的 所以也是梯形 那么 ADBCAECD OCDOAE SS 根据蝴蝶定理 故 4936 OCDOAEOCEOAD SSSS 2 36 OCD S 所以 平方厘米 6 OCD S 巩固巩固 2008 年三帆中学考题年三帆中学考题 右图中右图中是梯形 是梯形 是平行四边形 已知三角形面积如图所示是平行四边形 已知三角形面积如图所示 单单ABCDABED 位 平方厘米位 平方厘米 阴影部分的面积是 阴影部分的面积是 平方厘米 平方厘米 16 8 2 A BC D E O 16 8 2 A BC D E 解析 连接 AE 由于与是平行的 所以也是梯形 那么 ADBCAECD OCDOAE SS 根据蝴蝶定理 故 所以 平方厘米 2 816 OCDOAEOCEOAD SSSS 2 16 OCD S 4 OCD S 另解 在平行四边形中 平方厘米 ABED 11 16812 22 ADEABED SS A 所以 平方厘米 1284 AOEADEAOD SSS 根据蝴蝶定理 阴影部分的面积为 平方厘米 8244 例例 20 如图所示 如图所示 将长方形将长方形分成分成 4 块 块 的面积是的面积是 5 平方厘米 平方厘米 的面积的面积BDCFABCDDEF CED 是是 10 平方厘米 问 四边形平方厘米 问 四边形的面积是多少平方厘米 的面积是多少平方厘米 ABEF F A BC D E 10 5 F A BC D E 10 5 分析 连接 根据梯形模型 可知三角形的面积和三角形的面积相等 即其面积也是 10 平BFBEFDEC 方厘米 再根据蝴蝶定理 三角形的面积为 平方厘米 所以长方形的面积为BCE10 10520 平方厘米 四边形的面积为 平方厘米 2010260 ABEF605102025 巩固巩固 如图所示 如图所示 将长方形将长方形分成分成 4 块 块 的面积是的面积是 4 平方厘米 平方厘米 的面积是的面积是 6BDCFABCDDEF CED 平方厘米 问 四边形平方厘米 问 四边形的面积是多少平方厘米 的面积是多少平方厘米 ABEF 精品文档 12欢迎下载 6 4 A BC D E F 6 4 A BC D E F 解析 法 1 连接 根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理 可知三角形的面积和三角形的面BFBEFDEC 积相等 即其面积也是 6 平方厘米 再根据蝴蝶定理 三角形的面积为 平方厘米 BCE6649 所以长方形的面积为 平方厘米 四边形的面积为 平方厘 96230 ABEF3046911 米 法 2 由题意可知 根据相似三角形性质 所以三角形的面积 42 63 EF EC 2 3 EDEF EBEC BCE 为 平方厘米 则三角形面积为 15 平方厘米 长方形面积为 平方厘米 2 69 3 CBD15230 四边形的面积为 平方厘米 ABEF3046911 巩固巩固 98 迎春杯初赛迎春杯初赛 如图 如图 长方形中 阴影部分是直角三角形且面积为长方形中 阴影部分是直角三角形且面积为 的长是的长是 ABCD54OD16 的长是的长是 那么四边形那么四边形的面积是多少 的面积是多少 OB9OECD E O D C B A 解析 因为连接知道和的面积相等即为 又因为 所以的面EDABO EDO 5416 9OD OB AOD 积为 根据四边形的对角线性质知道 的面积为 所549 1696 BEO 54549630 375 以四边形的面积为 平方厘米 OECD549630 375119 625 例例 21 2007 年年 迎春杯迎春杯 高年级初赛高年级初赛 如图 长方形如图 长方形被被 分成四块 已知其中分成四块 已知其中 3 块的块的ABCDCEDF 面积分别为面积分别为 2 5 8 平方厘米 那么余下的四边形平方厘米 那么余下的四边形的面积为的面积为 平方厘米 平方厘米 OFBC 8 5 2 O AB CD EF 8 5 2 O AB CD EF 解析 连接 四边形为梯形 所以 又根据蝴蝶定理 DECFEDCF EODFOC SS A 所以 所以 平方厘米 EODFOCEOFCOD SSSS 2 816 EODFOCEOFCOD SSSS 4 EOD S 平方厘米 那么长方形的面积为平方厘米 四边形的面4812 ECD S ABCD12224 OFBC 积为 平方厘米 245289 例例 22 98 迎春杯初赛迎春杯初赛 如图 长方形如图 长方形中 中 是直角三角形且面积为是直角三角形且面积为 54 的长是的长是 16 的的ABCDAOBODOB 长是长是 9 那么四边形 那么四边形的面积是的面积是 OECD 精品文档 13欢迎下载 A BC D E O A BC D E O 解析 解法一 连接 依题意 所以 DE 11 954 22 AOB SBOAOAO A 12AO 则 11 16 1296 22 AOD SDOAO A 又因为 所以 1 5416 2 AOBDOE SSOE AA 3 6 4 OE 得 1133 9630 2248 BOE SBOEO A 所以 35 549630119 88 OECDBDCBOEABDBOE SSSSS AAAA 解法二 由于 所以 而 根据 16 9 AODAOB SSOD OB AA 16 5496 9 AOD S A 54 DOEAOB SS AA 蝴蝶定理 所以 BOEAODAOBDOE SSSS AAAA 3 54549630 8 BOE S A 所以 35 549630119 88 OECDBDCBOEABDBOE SSSSS AAAA 例例 23 如图 如图 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 是正方形 线段是正方形 线段与与相交于相交于点 已知正方形点 已知正方形ABC DEFGABCDK 的面积的面积 48 则 则的面积是多少 的面积是多少 DEFG 1 3AK KB BKD K G FE D CB A M K G FE D CB A 解析 由于是正方形 所以与平行 那么四边形是梯形 在梯形中 DEFGDABCADBCADBC 和的面积是相等的 而 所以的面积是面积的 BDK ACK 1 3AK KB ACK ABC 11 134 那么的面积也是面积的 BDK ABC 1 4 由于是等腰直角三角形 如果过作的垂线 为垂足 那么是的中点 而且ABC ABCMMBC 可见和的面积都等于正方形面积的一半 所以的面积与正AMDE ABM ACM DEFGABC 方形的面积相等 为 48 DEFG 那么的面积为 BDK 1 4812 4 例例 24 如图所示 如图所示 是梯形 是梯形 面积是面积是 的面积是的面积是 9 的面积是的面积是 27 那么 那么ABCDADE 1 8ABF BCF 阴影阴影面积是多少 面积是多少 AEC F E D C B A 解析 根据梯形蝴蝶定理 可以得到 而 等积变换 所以可得 AFBDFCAFDBFC SSSS AFBDFC SS 精品文档 14欢迎下载 99 3 27 AFBCDF AFD BFC SS S S 并且 而 3 1 81 2 AEFADFAED SSS 9 271 3 AFBBFC SSAF FC 所以阴影的面积是 AEC 41 244 8 AECAEF SS 例例 25 如图 正六边形面积为如图 正六边形面积为 那么阴影部分面积为多少 那么阴影部分面积为多少 6 2 2 4 1 2 2 4 1 解析 连接阴影图形的长对角线 此时六边形被平分为两半 根据六边形的特殊性质 和梯形蝴蝶定理把 六边形分为十八份 阴影部分占了其中八份 所以阴影部分的面积 88 6 183 例例 26 如图 已知如图 已知是是中点 中点 是是的中点 的中点 是是的中点 三角形的中点 三角形由由 这这 6 部分部分DBCECDFACABC 组成 其中组成 其中 比比 多多 6 平方厘米 那么三角形平方厘米 那么三角形的面积是多少平方厘米 的面积是多少平方厘米 ABC B F ED C A 解析 因为是中点 为中点 有且平行于 则四边形为梯形 在梯形EDCFAC2ADFE ADADEF 中有 4 又已知 6 所以 ADEF 2 AD 2 FE 所以 16 而 所以 4 梯形的面积6 41 2 48 ADEF 为 四块图形的面积和 为 有与的面积比为平方844218 CEFAADCACE 与平方的比 即为 1 4 所以面积为梯形面积的 即为 因为CDADCAADEF 4 4 1 4 3 4 1824 3 是中点 所以与的面积相等 而的面积为 的面积和 即DBCABDAADCAABCAABDAADCA 为平方厘米 三角形的面积为 48 平方厘米 242448 ABC 例例 27 如图 在一个边长为如图 在一个边长为 6 的正方形中 放入一个边长为的正方形中 放入一个边长为 2 的正方形 保持与原正方形的边平行 现在的正方形 保持与原正方形的边平行 现在 分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点 形成了图中的阴影图形 那么阴影部分的面分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点 形成了图中的阴影图形 那么阴影部分的面 积为积为 解析 本题中小正方形的位置不确定 所以可以通过取特殊值的方法来快速求解 也可以采用梯形蝴蝶定 理来解决一般情况 解法一 取特殊值 使得两个正方形的中心相重合 如右图所示 图中四个空白三角形的高均为 因此空白处的总面积为 阴影部分的面积为 1 56 1 5242222 662214 解法二 连接两个正方形的对应顶点 可以得到四个梯形 这四个梯形的上底都为 2 下底都为 6 上底 下底之比为 根据梯形蝴蝶定理 这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面2 61 3 精品文档 15欢迎下载 积之比为 所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的 阴影部分 22 1 1 3 1 3 31 3 3 9 9 16 的面积占该梯形面积的 所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的 那么阴影部分的面 7 16 7 16 积为 22 7 62 14 16 例例 28 如图 在正方形如图 在正方形中 中 分别在分别在与与上 且上 且 连接 连接 ABCDEFBCCD2CEBE 2CFDF BF 相交于点 相交于点 过 过作作 得到两个正方形得到两个正方形和和 设正方形 设正方形的面积的面积DEGGMNPQMGQAPCNGMGQA 为为 正方形 正方形的面积为的面积为 则 则 1 SPCNG 2 S 12 SS Q P NM A BC D E F G Q P NM A BC D E F G 解析 连接 设正方形边长为 3 则 所以 BDEFABCD2CECF 1BEDF 因为 所以 由梯 222 228EF 222 3318BD 222 8 1814412EFBD 12EF BD 形蝴蝶定理 得 22 8 18 12 124 9 6 6 GEFGBDDGFnBGE SSSSEFBDEF BD EF BD 所以 因为 66 496625 BGEBDFEBDFE SSS 梯形梯形 9 3 32 2 BCD S 2222 CEF S 所以 所以 5 2 BCDCEFBDFE SSS 梯形 653 2525 BGE S 由于底边上的高即为正方形的边长 所以 BGE BEPCNG 36 21 55 CN 69 3 55 ND 所以 则 3 2AM CNDN CN 22 12 9 4SSAMCN 例例 29 如下图 在梯形如下图 在梯形中 中 与与平行 且平行