2.3.1数学归纳法

1 数学归纳法数学归纳法 一 用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是 一 用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是 1 证明当 取第一个值 如或 2 等 时结论正确 n 0 n 0 1n 2 假设当 时结论正确 证明时结论也正确 0 N nk kkn 1nk 综合 1 2 注意 数学归纳法使用要点 两步骤 一结论 二 题型归纳 二 题型归纳 题型题型 1 证明代数恒等式证明代数恒等式 例 1 用数学归纳法证明 121212 1 75 1 53 1 31 1 n n nn 证明 n 1 时 左边 右边 左边 右边 等式成立 3 1 31 1 3 1 12 1 假设 n k 时 等式成立 即 121212 1 75 1 53 1 31 1 k k kk 当 n k 1 时 3212 1 1212 1 75 1 53 1 31 1 kkkk 3212 1 12 kkk k 3212 112 3212 132 2 kk kk kk kk 112 1 32 1 k k k k 这就说明 当 n k 1 时 等式亦成立 由 可知 对一切自然数 n 等式成立 2 题型题型 2 证明不等式证明不等式 例 2 证明不等式 n N n n 2 1 3 1 2 1 1 证明 当 n 1 时 左边 1 右边 2 左边 右边 不等式成立 假设 n k 时 不等式成立 即 k k 2 1 3 1 2 1 1 那么当 n k 1 时 1 11 3 1 2 1 1 kk 1 112 1 1 2 k kk k k 12 1 12 1 11 k k k k kk 这就是说 当 n k 1 时 不等式成立 由 可知 原不等式对任意自然数 n 都成立 说明 这里要注意 当 n k 1 时 要证的目标是 当代入归纳假设后 就是要证明 12 1 11 3 1 2 1 1 k kk 12 1 1 2 k k k 认识了这个目标 于是就可朝这个目标证下去 并进行有关的变形 达到这个目标 题型题型 3 证明数列问题证明数列问题 例 3 x 1 n a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a3 x 1 3 an x 1 n n 2 n N 1 当 n 5 时 求 a0 a1 a2 a3 a4 a5的值 2 设 bn Tn b2 b3 b4 bn 试用数学归纳法证明 当 n 2 时 Tn a2 2n 3 n n 1 n 1 3 解 1 当 n 5 时 3 原等式变为 x 1 5 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a3 x 1 3 a4 x 1 4 a5 x 1 5 令 x 2 得 a0 a1 a2 a3 a4 a5 35 243 2 因为 x 1 n 2 x 1 n 所以 a2 Cn2 2n 2 bn 2Cn2 n n 1 n 2 a2 2n 3 当 n 2 时 左边 T2 b2 2 右边 2 左边 右边 等式成立 2 2 1 2 1 3 假设当 n k k 2 k N 时 等式成立 即 Tk 成立 k k 1 k 1 3 那么 当 n k 1 时 左边 Tk bk 1 k 1 k 1 1 k k 1 k k 1 k 1 3 k k 1 k 1 3 k k 1 k 1 3 1 k k