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二重积分的变量变换公式用极坐标计算二重积分 4二重积分的变量变换 满足 一阶偏导数连续 雅可比行列式 3 变换 定理21 13 变换 是一一对应的 一 二重积分的变量变换公式 则 证 根据定理条件可知变换T可逆 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩 形 其顶点为 通过变换T 在xoy面上得到一个四边 形 其对应顶点为 则 同理得 当h k充分小时 曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四 边形 故其面积近似为 因此面积元素的关系为 从而得二重积分的换元公式 例如 直角坐标转化为极坐标时 例1 计算 其中D是x 0 y 0 x y 1所围区域 解 则 令 例2 求抛物线y2 mx y2 nx和直线 所围区域D的面积 解 令 当积分区域是圆域或圆域的一部分 或者被积函数含有x2 y2时 采用极坐标变换往往能简化二重积分的计算 此时 二 用极坐标计算二重积分 则 ii 若原点在D内 则 i 若原点在D外 iii 若原点在D的边界上 iv 若区域D可表示为 则 例3 计算 其中 例4 求球体 被圆柱面 所截得的 含在柱面内的 立体的体积 解 由对称性可知 例5 计算 其中 解 的原函数不是初等函数 故本题无法用直角 由于 坐标计算 作极坐标系变换 有 例6 求椭球体 解 由对称性 令 则 的体积V 此课件
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