江苏省扬州市宝应县曹甸高级中学2013届高三9月第一次效益检测(数学)

曹甸高级中学曹甸高级中学 2013 届高三第一次效益检测届高三第一次效益检测 数学试题数学试题 普通类 普通类 2012 09 22 命题 李兆江命题 李兆江 审核 李兆江审核 李兆江 试卷共 4 页 包括填空题 第 1 题 第 14 题 解答题 第 15 题 第 20 题 两部 分 本试卷满分为 160 分 考试时间为 120 分钟 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 请把答案填写在答卷纸相应位置分 请把答案填写在答卷纸相应位置 上 上 1 已知集合 RxxxxA 43 2 则ZA 中元素的个数为 2 已知iRbabia i i 32 为虚数单位 则 ab 3 命题 若实数a满足2a 则 2 4a 的否命题是 命题 填 真 假 之一 4 曲线 3 2yxx 在点 1 1 处的切线方程是 5 已知非零向量 a b 满足 a a b 1 a 与 b 夹角为 120 则向量 b 的模为 6 设实数x y满足约束条件 20 2 2 xy x y 则目标函数yxz 2的最大值 为 7 已知等比数列 an 的公比 q Sn为其前 n 项和 则 1 2 S4 a4 8 已知二次函数14 2 cxaxxf的值域是 1 则 ca 91 的最小值为 9 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 a 1 A 60 c 则 ABC 的面积为 10 如右图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 3cmABAD 1 2cmAA 则四棱锥 11 ABB D D 的体积为 cm3 11 已知函数 f x 是 R 上的增函数 则实数 k ex k x 0 1 k x k x 0 的取值范围是 12 已知 为平面 m n 为直线 下列命题 若 m n n 则 m 若 m m 则 若 n m m 则 m n 若 m n 则 m n 其中是真命题的有 填写所有正确命题的序号 13 已知直线 x a 0 a 与函数 f x sinx 和函数 g x cosx 的图象分别交于 M N 两 2 点 若 MN 则线段 MN 的中点纵坐标为 1 5 14 已知函数 f x 2x2 m 的图象与函数 g x ln x 的图象有四个交点 则实数 m 的取值 范围为 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 请在答卷纸指定区域内作答 解答时应写出文分 请在答卷纸指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知平面向量 a 1 2sin b 5cos 3 1 若 a b 求 sin2 的值 2 若 a b 求 tan 的值 4 16 本小题满分 14 分 如图 已知斜三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC D 为 BC 的中点 1 若平面 ABC 平面 BCC1B1 求证 AD DC1 2 求证 A1B 平面 ADC1 17 本小题满分 15 分 已知数列 n a满足 1 1 a 0 2 aaa 数列 n b满足 2 Nnaab nnn 1 若 n a是等差数列 且45 3 b 求a的值及 n a的通项公式 A B C D A1 B1 C1 第 16 题 2 若 n a是等比数列 求 n b的前 n 项和 n S 18 本小题满分 15 分 经观察 人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为 E kv3t 其中 v 为鲑鱼 在静水中的速度 t 为行进的时间 单位 h k 为大于零的常数 如果水流的速度为 3 km h 鲑鱼在河中逆流行进 100 km 1 将鲑鱼消耗的能量 E 表示为 v 的函数 2 v 为何值时 鲑鱼消耗的能量最少 19 本小题满分 16 分 已知函数 2 x f xaxx e 其中 是自然数的底数 aR 当0a 时 解不等式 0f x 若 f x在 上是单调增函数 求a的取值范围 当0a 时 求整数 的所有值 使方程 2f xx 在 上有解 20 本小题满分 16 分 已知数列 an 的首项 a1 a Sn是数列 an 的前 n 项和 且满足 S 3n2an S an 0 n 2 n N N 2 n 2 n 1 1 若数列 an 是等差数列 求 a 的值 2 确定 a 的取值集合 M 使 aM 时 数列 an 是递增数列 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 分 1 4 2 6 3 真 4 x y 2 0 5 1 6 6 7 5 8 3 9 10 6 11 1 12 13 14 ln2 1 2 7 10 1 2 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 骤 15 本小题满分 14 分 解 1 因为 a b 所 以 1 3 2sin 5cos 0 3 分 即 5sin2 3 0 所以 sin2 6 分 3 5 2 因为 a b 所以 1 5cos 2sin 3 0 8 分 所以 tan 10 分 5 6 所以 tan 14 分 4 1 11 16 本小题满分 14 分 证明 1 因为 AB AC D 为 BC 的中点 所以 AD BC 因为平面 ABC 平面 BCC1B1 平面 ABC 平面 BCC1B1 BC AD 平面 ABC 所以 AD 平面 BCC1B1 5 分 因为 DC1 平面 BCC1B1 所以 AD DC1 7 分 2 证法一证法一 连结 A1C 交 AC1于点 O 连结 OD 则 O 为 A1C 的中点 因为 D 为 BC 的中点 所以 OD A1B 11 分 因为 OD平面 ADC1 A1B平面 ADC1 所以 A1B 平面 ADC1 14 分 证法二证法二 取 B1C1的中点 D1 连结 A1D1 D1D D1B 则 D1C1BD 所以四边形 BDC1D1是平行四边形 所以 D1B C1D 因为 C1D平面 ADC1 D1B平面 ADC1 所以 D1B 平面 ADC1 同理可证 A1D1 平面 ADC1 因为 A1D1平面 A1BD1 D1B平面 A1BD1 A1D1 D1B D1 所以平面 A1BD1 平面 ADC1 11 分 因为 A1B平面 A1BD1 所以 A1B 平面 ADC1 14 分 A B C D A1 B1 C1 第 16 题图 O A B C D A1 B1 C1 第 16 题图 D1 17 本小题满分 15 分 解 1 因为 n a是等差数列 1da 1 1 n an a 2 分 12 1 14 1 45aa 解得3a 或 7 4 a 舍去 5 分 21 n an 7 分 2 因为 n a是等比数列 qa 1n n aa 2n n ba 9 分 当1a 时 1 n b n Sn 11 分 当1a 时 22 2 1 1 n n aa S a 15 分 漏1a 扣分 18 本小题满分 15 分 解 1 鲑鱼逆流匀速行进 100km 所用的时间为 t 2 分 100 v 3 所以 E kv3t kv3 v 3 6 分 100 v 3 100kv3 v 3 2 E 100k 100k 10 分 3v2 v 3 v3 v 3 2 2v2 v 4 5 v 3 2 令 E 0 解得 v 4 5 或 v 0 舍去 因为 k 0 v 3 所以当 v 3 4 5 时 E 0 当 v 4 5 时 E 0 故 E 在 3 4 5 上单调递减 在 4 5 上单调递增 13 分 100kv3 v 3 所以 当 v 4 5 时 E 取得最小值 即 v 4 5km h 时 鲑鱼消耗的能量最小 15 分 19 本小题满分 16 分 因为e0 x 所以不等式 0f x 即为 2 0axx 又因为0a 所以不等式可化为 1 0 x x a 所以不等式 0f x 的解集为 1 0 a 4 分 22 21 e e 21 1 e xxx fxaxaxxaxax 当0a 时 1 exfxx 0fx 在 1 1 上恒成立 当且仅当1x 时 取等号 故0a 符合要求 6 分 当0a 时 令 2 21 1g xaxax 因为 22 21 4410aaa 所以 0g x 有两个不相等的实数根 1 x 2 x 不妨设 12 xx 因此 f x有极大值又有极小值 若0a 因为 1 0 0gga 所以 f x在 1 1 内有极值点 故 f x在 1 1 上不单调 8 分 若0a 可知 12 0 xx 因为 g x的图象开口向下 要使 f x在 1 1 上单调 因为 0 10g 必须满足 1 0 1 0 g g 即 320 0 a a 所以 2 0 3 a 综上可知 a的取值范围是 2 0 3 10 分 当0a 时 方程即为e2 x xx 由于e0 x 所以0 x 不是方程的解 所以原方程等价于 2 e10 x x 令 2 e1 x h x x 因为 2 2 e0 x h x x 对于 00 x 恒成立 所以 h x在 0 和 0 内是单调增函数 13 分 又 1 e30h 2 2 e20h 3 1 3 e0 3 h 2 2 e0h 所以方程 2f xx 有且只有两个实数根 且分别在区间 1 2 和 32 上 所以整数k的所有值为 3 1 16 分 20 本小题满分 16 分 解 1 在 S 3n2an S中分别令 n 2 n 3 及 a1 a 得 2 n 2 n 1 a a2 2 12a2 a2 a a2 a3 2 27a3 a a2 2 因为 an 0 所以 a2 12 2a a3 3 2a 因为数列 an 是等差数列 所以 a1 a3 2a2 即 2 12 2a a 3 2a 解得 a 3 经检验 a 3 时 an 3n Sn Sn 1 满足 S 3n2an S 6 分 3n n 1 2 3n n 1 2 2 n 2 n 1 2 由 S 3n2an S 得 S S 3n2an 即 Sn Sn 1 Sn Sn 1 3n2an 2 n 2 n 1 2 n 2 n 1 即 Sn Sn 1 an 3n2an 因为 an 0 所以 Sn Sn 1 3n2 n 2 所以 Sn 1 Sn 3 n 1 2 得 an 1 an 6n 3 n 2 所以 an 2 an 1 6n 9 得 an 2 an 6 n 2 即数列 a2 a4 a6 及数列 a3 a5 a7 都是公差为 6 的等差数列 10 分 因为 a2 12 2a a3 3 2a 所以