微分的概念、性质及应用

第 二 章 第 6 节 函数的微分 教学目的 掌握微分的定义 了解微分的运算法则 会计算函数的微分 会利 用微分作近似计算 教学重点 微分的计算 教学难点 微分的定义 利用微分作近似计算 教学内容 1 微分的定义 计算函数增量是我们非常关心的 一般说来函数的增量的计 00 xfxxfy 算是比较复杂的 我们希望寻求计算函数增量的近似计算 方法 先分析一个具体问题 一块正方形金属薄片受温度变 化的影响 其边长由变到 图 2 1 问此薄 0 xxx 0 片的面积改变了多少 设此薄片的边长为 面积为 则是的函数 xAAx 薄片受温度变化的影响时面积的改变量 可以 2 xA 看成是当自变量自取得增量时 函数相应的增x 0 xx A 量 即A 2 0 2 0 2 0 2xxxxxxA 从上式可以看出 分成两部分 第一部分是的线性函数 即图中带有斜A Ax 0 2A 线的两个矩形面积之和 而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积 当 2 x 时 第二部分是比高阶的无穷小 即 由此可见 如果0 x 2 x x xx 0 2 边长改变很微小 即很小时 面积的改变量可近似地用第一部分来代替 x A 一般地 如果函数满足一定条件 则函数的增量可表示为 xfy y xxAy 0 其中是不依赖于的常数 因此是的线性函数 且它与之差Ax xA x y 图 2 1 2 xxAy 0 是比高阶的无穷小 所以 当 且很小时 我们就可近似地用来代替x 0 Ax xA y 定义定义 设函数设函数在某区间内有定义 在某区间内有定义 及及 x x 在这区间内 如果函数的增在这区间内 如果函数的增 xfy xx 00 量量 00 xfxxfy 可表示为可表示为 xxAy 0 其中其中是不依赖于是不依赖于的常数 而的常数 而是比是比高阶的无穷小 那么称函数高阶的无穷小 那么称函数在点在点Ax x 0 x xfy 是可微的 而是可微的 而叫做函数叫做函数在点在点相应于自变量增量相应于自变量增量的微分 记作的微分 记作 0 xxA xfy 0 xx dy 即即 xAdy 定理定理 1 1 函数函数在点在点可微的充分必要条件是函数可微的充分必要条件是函数在点在点可导 且当可导 且当在在 xf 0 x xf 0 x xf 点点可微时 其微分一定是可微时 其微分一定是 0 x xxfdy 0 设函数在点可微 则按定义有 式成立 式两边除以 得 xfy 0 xx x x A x y 0 于是 当时 由上式就得到0 x 0 0 limxf x y A x 因此 如果函数在点可微 则在点也一定可导 即存在 且 xf 0 x xf 0 x 0 x f 0 xfA 反之 如果在点可导 即 xfy 0 x 0 0 limxf x y x 存在 根据极限与无穷小的关系 上式可写成 0 xf x y 其中 当 由此又有0 0 x 3 xxxfy 0 因 且不依赖于 故上式相当于 式 所以在点也是可微的 xx 0 x xf 0 x 由此可见 函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导 且当 xf 0 x xf 0 x 在点可微时 其微分一定是 xf 0 x xxfdy 0 例例 1 设 求xey x cos dy 解 解 xexe dx dy xx sincos dxxxedy x sin cos 微分在近似计算中的应用 微分在近似计算中的应用 在的条件下 以微分近似代替增量 0 0 x f xxfdy 0 时 相对误差当时趋于零 因此 在很小时 有精 00 xfxxfy 0 xx 确度较好的近似等式 dyy 即 xxfxfxxf 000 或xxfxfxf 00 特别地 当很小时 有 3 xx 0 0 xffxf 00 3 式是计算零点附近的函数值 当很小时 有下列近似计算公式 x x n x n 1 11 xx sinxtgx xe x 1 xx ln 1 例 证明 当很小时 x n x n 1 11 x 令 n xxf 1 因为 n x n ff x n 1 1 1 010 0 1 1 4 由xffxf 00 故 当很小时 x x n x n 1 11 例例 2 一个充好气的气体 m 升空后 因外面气压降低 气球半径增大了4 rr 10cm 求体积增加了多少 解 解 因为 3 3 4 rV 所以xrxrdvV 23 4 3 4 32 201041434m 例例 3 求的近似值 24 解解 设 取 则xxf 204 0 xx 4 1 424 2 1 24 ff x xfx 所以 0524244424 ff 或者 0520505012 050120501424 2 2 微分的几何意义微分的几何意义 为了对微分有比较直观的了解 我们来说明微分的几何意义 在直角坐标系中 函数的图形是一条曲线 对于某一固定的值 曲线上有 xfy 0 x 一个确定点当自变量有微小增量时 就 00 yxM xx 得到曲线上另一点 从图 2 2 可知 yyxxN 00 xMQ yQN 过 M 点作曲线的切线 它的倾角为 则 0 tanxfxMQQP 即 QPdy 图 2 2 5 由此可见 当是曲线上的 M 点的纵坐标的增量时 就是曲线的切线上y xfy dy M 点的纵坐标的相应增量 当很小时 比小得多 因此在点的邻近 x dyy x M 我们可以用切线段来近似代替曲线段 3 微分运算法则及微分公式表 由 很容易得到微分的运算法则及微分公式表 当都可导 dxxfdy vu dvduvud CduCud udvvduvud 2 v udvvdu v u d 微分公式表 dxxxd 1 xdxxdcossin xdxxdsincos xdxxd 2 sectan xdxxd 2 csccot xdxxxdtansecsec xdxxxdcotcsccsc adxaad xx ln dxeed xx dx ax xd a ln 1 log dx x xd 1 ln dx x xd 2 1 1 arcsin 6 dx x xd 2 1 1 arccos dx x xd 2 1 1 arctan dx x xarcd 2 1 1 cot 注 上述公式必须记牢 对以后学习积分学很有好处 而且上述公式要从右向左背 例如 xddx x 2 1 x ddx x 11 2 baxd a dx 1 xx da a dxa ln 1 4 复合函数微分法则 与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下 设及都可导 则复合函数的微分为 ufy xu xfy dxxufdxydy x 由于 所以 复合函数的微分公式也可以写成 dudxx xfy 或 duufdy duydy u 由此可见 无论是自变量还是另一个变量的可微函数 微分形式保持u duufdy 不变 这一性质称为微分形式不变性 这性质表示 当变换自变量时 即设为另一变量u 的任一可微函数时 微分形式并不改变 duufdy 例例 4 求的微分ye x sin 解解 xdxexdeeddy xxx