数学建模论文

题目 生物多样性的评估 2010 年是联合国大会确定的国际生物多样性年 保护地球上的生物多样性已经越来越 被人类社会所关注 相关的大规模科研和考察计划也层出不穷 为了更好地建立国际 交流与专家间的合作 联合国还建立了生物多样性和生态系统服务政府间科学政策平 台 IPBES 但迄今为止 几乎所有的考察计划都面临着一个基本的困难 如何评价 被考察区域的生物多样性 传统的方法是清点物种数量 但现在有许多科学家认为这 种方法具有很大的局限性 譬如有人提出应当考虑物种的相似程度 有人则提出有一 些物种的基因多样性程度远远超过另一些物种 所以应当考虑基因的多样性等 但现 在还缺少一种能全面考虑不同因素的对生物多样性进行测定的方法 摘要摘要保护地球上的生物多样性已经越来越被人类社会所关注 本文结合亚马孙热 带雨林及其他相关自然环境 对该区域的生物多样性做出了初步评估 得出了一种在 物种密度较大的自然环境中 生物多样性的计算方法和自然环境中的瓶颈现象 并提 出了采用 logistic 规律评价生物未来的发展趋势 发展趋势越好说明种群数量越来越 大 灭绝的可能性越小 更有利于生物多样性 问题提出问题提出 问题 建立合理的数学模型 设计一个全面而有效的评价生物多样性的指标 以利于 今后考察和科研工作的开展 问题分析问题分析 1 评价指标遴选的原则 生物多样性评价指标的遴选应遵循下列原则 1 科学性原则指标的选取应建立在对生物多样性充分认识深入研究的基础上选取的 指标应目的明确定义准确 必须能客观真实地反映生物多样性的基本特征变化规律和 保护现状 2 代表性原则选择指标时 应选取最能直接反映生物多样性本质特征的指标 排除 一些与主要特征关系不密切的从属指标 使指标体系具有较高的代表性 3 实用性原则包括四层含义 一是所选指标的数据容易采集 二是便于更新 三是 指标体系简明 综合性强 四是指标体系的应用具有较强的可操作性 2 评评价指价指标标的涵的涵义义 作者在分析生物多样性的重要概念 生物多样性的层次生物多样性的价值生物多样性丧 失的原因生物多样性的保护等理论的基础上 先是提出了包括17个指标和64个参数的 生物多样性指标体系 在此基础上 征求了国家相关部门和有关管 理专家的意见 最后选定了5个指标 即 物种丰富 度生态系统类型多样性 植被垂 直层谱的完整性和物种特有性和外来物种入侵度 2 1 各评价指标的涵义 1 物种丰富度指被评价区域内已记录的野生高等动植物物种数 用于比较物种的多 样性 2 生态系统类型多样性指被评价区域内生态系统的类型数 用于比较生态系统的类 型多样性分类体系参照中国植被 吴征镒 1980 以群系为分类单位 3 物种特有性指被评价区域内特有种的数量 用于比较生态系统的特殊价值然而特 有种数目前系统地采集数据较困难表2列出了部分省份中国高等植物特有种数与中国种 子植物特有属数 分析表明两者相关性显著 P1说明其他物种 的竞争力总体大于甲 甲是一个逐渐衰败的种群 这对于物种的多样性是不利的 13 稳定性分析 14 为了研究种群甲的在环境中生存的结局 即当t趋于无穷时 x1 t x2 t 的趋向 不必要解方程 2 3 只需对它的平衡点进行稳定性分析 首先根据微分方程 2 3 解代数方程组 x1 t r1x1 1 x1 N m1x2 N2 x2 t r2x2 1 x2 N2 m2x1 N1 5 15 上述两式联立得到四个平衡点 16 P1 N1 0 P2 0 N2 P3 N1 1 m1 1 m1m2 N2 1 m2 1 m1m2 P4 0 0 17 因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时 x1 x2 0 才有实际意义 所以 对P3而言 要求m1 m2同时大于1或同时小于1 18 按照判断平衡点稳定性的方法 计算 A fx1fx2gx1gx2 r1 1 2x1 N1 m1x2 N2 r1m1x1 N2 r2m2x2 N1r2 1 m2x1 N1 r2 1 m2x1 N1 2x2 N2 p fx1 gx2 pi i 1 2 3 4 q det A Pi i 1 2 3 4 19 将4个平衡点p q的结果及稳定条件列入表1 表 1 平衡点pq稳定条件 P1 N1 0 r 1 r2 1 m2 r1r2 1 m2 m 1 1 P2 0 N2 r1 1 m1 r2 r1r2 1 m1 m 1 1 m2 1 P3 N1 1 m1 1 m1m2 N1 1 m1 1 m1m2 r1 1 m1 r2 1 m2 1 m1m2 r1r2 1 m1 1 m2 1 m1m2 m 1 1 m2 0 q 0得到的P1的稳定条件只有m2 1 表1中的m1 1是根据以下 用相轨线分析的的结果添加的 P2的稳定条件m2 1有类似的情况 21 对于由非线性方程 2 3 描述的种群竞争 人们关心的是平衡点的全局稳定 即不论初始值如何 平衡点是稳定的 这需要在上面得到的局部稳定性的基础上辅 之以相轨线分析 22 在代数方程组 5 中记 x1 x2 1 x1 N1 m1 x2 N2 x1 x2 1 m2 x1 N1 x2 N2 23 对于m1 m2的不同取值范围 直线 0和 0在相平面上的相对位置不同 图1 给出了它们的4中情况 24 下面分别对这4种情况进行分析 1 m11 图1 a 种 0和 0两条直线将相平面 x1 x2 0 划分为3个 区域 S1 x1 0 x2 0 S2 x1 0 x2 0 S3 x1 0 x2 0 即 x1 t 一直是增加的 若轨线从 S3的某点出发 由 8 可知轨线向左下方运动 那么它或者趋向 P1点 或 者进入 S2 而进入 S2后 根据上面的分析最终也将趋向 P1 综上分析可以画出轨线示意图 图 1 a 因为直线 0 上 dx1 0 所以在 0 上轨 线方向垂直于 x1轴 在 0 上 dx2 0 轨线方向平行于 x1 轴 2 m1 1 m2 1 类似的分析可知 P2 0 N2 稳定 3 m1 1 m21 m2 1 由表 1 知 对于 P3点 q 0 故 P3 不稳定 轨线或者趋向 P1 或者趋 向 P2 由轨线的初始位置决定 示意图见图 1 d 在这种情况下 P1和 P2都不能说 是全局稳定的 它们只是局部稳定 正因为这样 所以 P1 全局稳定的条件需要加上 m1 1 P2全局稳定的条件加上 m2 1 计算与验证 下面用计算机求方程 2 3 的数值解 画出轨线的图像 可使我们对两种群的数 量变化有进一步的认识 并对以上的分析给以验证 仅讨论上述第 1 中情况 设 m1 0 5 m2 1 6 r1 1 8 N1 1 6 N2 1 用 MATLAB 软 件计算 为简明起见 只给出图形结果 图 2 a 图 2 b 是 x1 t x2 t 的图 形 初值分别取 x1 0 0 1 x2 0 0 1 和 x1 0 1 x2 0 2 图 2 c 是两条相轨线的图形 将图 2 c 与图 1 a 比较可知二者的一致性 从图 2 a 图 2 b 还能看出 虽 然 t 时 x1 t N1 x2 t 0 是可预见的 但是 若初值较小 x2 t 会有一 段时间增长 若初值较大 x1 t 会有一段时间减少 却是由计算结果得到的 结果解释 根据建模过程中 m1 m2的含义 说明 P1 P2 P3点稳定在生态学上的意义 1 m11 m11 意味着在对 供养乙的资源的竞争中甲强于乙 种群甲趋向最大容量 即 x1 t x2 t 趋向平衡 点 P1 N1 0 2 m1 1 m2 1 甲的数量会越来越小 3 m1 1 m20 现根据巴西亚马孙年度的毁林情况和其物种减少数来求出 k 的值 如图为巴西亚马孙 1990 年到 2009 年以及以后的估计的年度的毁林情况 由图可以看出从 1990 年到 2004 年毁林大体呈直线上升趋势 但斜率较小 2005 年 以后有明显的下降趋势 但毁林速度还是很大 由于很难确定毁林后物种的减少程度 又毁林度与物种减少度呈正比关系 故可设 k x0k1 其中 k1 为 1990 到 2004 年毁林 的直线的斜率 x 为特定的系数 于是可得 d x0k1s1 内陆和水域生态系统 内陆水域生态系生物多样性的比例很难评估 千年生态系统 评估 估计 世界内陆水域有 12 100 涵盖在保护区内 然而 一个特定水域的生物多 样性取决于最上游或是最下游 如上游污染很严重 下游 生物多样性状况肯定受到严 重的影响 但现在很多流域都有明显的改观 为此 我们暂不考虑内陆水域 生态系统对 生物多样性的影响 海洋和沿海生态系统 我们主要研究营养指数与生物多样性的关系 假设生物 多 样性与营养指数呈正比关系 我们了解到亚马孙河从1950年到2006年的营养指数图像情 况大致如下 从图中可以看出 1980年到1990年 营养指数明显下降 大体呈直线方式 若此直线 的方程为y kx 显然k 0 其意义是若其绝对值越大 则营养指数下降越快 由于很多 国家和地区采取一系列的有效措施 使得1998年以后营养指数呈现上升趋势 又由于 营养指数是有限度的 根据1998年以来的大致图像 可以看出其走势大体呈二次曲线 形状 于是可设营养指数y kx2 bx c的形式 其中x为时间 对于式中的k 先看图像 开口向下 故k大于0 再根据二次函数图像的性质可知 k越大 开口就越小 也就是 说k越大 达到最大值的速度就越快 由于是研究1998年以后营养指数的情况 于是式 中的c虽然根据二次函数的图像可知其小于0 但不能说起始研究时营养指数为负 通过上面的说明 可设 生态系统多样性e k1y 于是e k1y k2 kx2 bx c 这同样是e与x的二次函数 将系数整理后 仍然可以设 e kx2 bx c 2 物种特有性 引用 生物多样性评价标准 中的公式 物种特有性t 被评价区域内特有的野生高等数n0 特有的野生高等动物总 数N0 被评价区域内特有的野生维管束植物总数m0 特有的野生维管束植物总数M0 2 4 外来物种的入侵度 根据定义 不难得出外来物种入侵度w 被评价区域内外来入侵野生高等动物种数W01 本地野生高等动物物总数W0 被评价 区域内外来野生维管束植物种数W11 被评价区域内野生维管束植物种数W1 2 模型建立 模型建立 综上 可以得出有关生物多样性bi与五个因素的一个式子 bi a1r a2 d e a3t a4w a5s 公式中存在的问题 1 公式中r d e t w s需要同一个标准来衡量 否则不能进行和的运算 2 公式中a1到a5是待定系数 不同的研究地区取值可能不同 1 为什么d要用减号 为了方便计算和易于评估 把r d e t w s转化为100以内的数 a1到a5之和为 1 至于d用减号 是因为d相关的是毁林程度 然后可以根据bi的取值情况来评估推测 生物多样性的丰富度情况 下面的问题就是怎样将r d e t w s转化为100以内的 数和怎样解出待定系数a1到a5 采用 生物多样性评价标准 中的做法 将评价指标归一化处理 归一化后的评价指标 归一化前的评价指标 归一化系数 其中 归一化系数 100 A最大值 A最大值为被计算指标归一化处理前的最大值 以我国为例 各项指标的A最大值见表1 表1 相关评价指标的最大值 指 标 A最大值 野生维管束植物丰富度 3662 野生高等动物丰富度 635 生态系统类型多样性 124 物种特有性 0 3340 受威胁物种的丰富度 0 1572 外来物种入侵度 0 1441 指标权重 各评价指标的权重见表2 表2 各指标的权重 评价指标 权重 野生维管束植物丰富度 0 20 野生高等动物丰富度 0 20 生态系统类型多样性 0 20 物种特有性 0 20 受威胁物种的丰富度 0 10 外来物种入侵度 0 10 生物多样性状况的分级 根据生物多样性指数 BI 将生物多样性状况分为四级 即 高 中 一般和低 表3 表3 生物多样性状况的分级标准 生物多样性等级 生物多样性指数 生物多样性状况 高 BI 60 物种高度丰富 特有属 种繁多 生态系统丰富 多样 中 30 BI 60 物种较丰富 特有属 种较多 生态系统类型 较多 局部地区生物多 样性高度丰富 一般 20 BI 30 物种较少 特有属 种 不多 局部地区生物多 样性较丰富 但生物多 样性总体水平一般 低 BI 20 物种贫乏 生态系统类 型单一 脆弱 生物多 样性极低 由上面数据可知a1到a5分别为0 4 0 2 0 2 0 1 0 1 故 bi a1r a2 d e a3t a4w a5s 0 4r 0 2 d e 0 2t 0 1w 0 1s 此处的r d e t w s是归一化后的评价指标 模型完善模型完善 上面的模型建立过程中 很多地方某一变量随着另一变量的增加而增加时 都用的是 一次函数的形式 为了对模型进行改进且容易处理 将公式