两道每日一题及“双变量问题训练”

1 两道每日一题两道每日一题 1 已知是椭圆的左 右焦点 直线 与椭圆相切 12 FF 2 2 1 4 x Cy l 1 分别过作切线 的垂线 垂足分别为 求的值 12 FFlM N 12 FMF N 2 设直线 与轴 轴分别交于两点 求的最小值 lxy A BAB 解 1 设直线 的方程为 由已知 lykxm 1 3 0 F 2 3 0 F 所以 1 2 3 1 km FM k 2 2 3 1 km F N k 于是 22 12 2 22 333 1 11 kmkmkm FMF N k kk 联立 消去 y 的 2 2 1 4 ykxm x y 222 14 8440kxkmxm 因为直线 与椭圆相切 所以l 2 2222 84 14 44 041kmkmmk 所以 为定值 222 12 22 3 41 1 1 11 kkk FMF N kk 2 易知 0 m A k 0 Bm 所以 2 222 22 11 1 41 1 m ABmmk kkk 当且仅当 即时取等 2 2 1 45453k k 2 2 1 4k k 2 2 k 2 号 所以 min 3AB 2 已知椭圆 过点作直线 与椭圆顺次交于两点 22 1 94 xy C 0 3P l A B 在之间 1 求的取值范围 2 是否存在这样的直线 使得以弦A P B PA PB l 为直径的圆经过坐标原点 若存在 求 的方程 若不存在 说明理由 ABl 解 1 方法一 联立方程法 当直线 的斜率存在时 设直线的方程为l3ykx 且设 1122 A xyB xy 联立 消去 并整理得 22 3 1 94 ykx xy y 22 9454450kxkx 则有 求得 2 2 544 94 450kk A 2 5 9 k 又有 12 2 54 94 k xx k 12 2 45 94 k x x k 设 则有 即 01 AP PB 1 2 x x 12 xx 从 中消去可得 12 xx 2 2 13241 4 5 9 k A 而 所以 而 故求得 2 5 9 k 2 1136 45 0 1 1 1 5 当直线 的斜率不存在时 l 1 5 3 综上所述 的取值范围是 AP PB 1 1 5 方法二 点差法 设 1122 A xyB xy 01 PA PB 则有 所以 即PAPB 12 xx 12 33yy 22 33Axy 于是有 2 2 2 2 22 22 33 1 1 94 1 2 94 yx xy 1 2 得 即 2 22 6191 1 4 y 2 135 6 y 由已知 所以 2 22y 1351 225 65 而 所以 0 1 1 1 5 2 假设满足条件的直线存在 设 则 1122 A xyB xy 1212 0 x xy y 由 1 可知 12 2 54 94 k xx k 12 2 45 94 k x x k 从而求得 2 1212 2 3636 33 94 k y ykxkx k 于是有 满足 2 3 4536360 2 kk 2 5 9 k 故满足条件的直线 存在 且直线方程为 或l 3 3 2 yx 3 3 2 yx 4 利用导数解决利用导数解决 双变量双变量 问题问题 例 1 全国卷 III 已知函数 2 47 2 x f x x 01x 求的单调区间和值域 f x 设 函数 若对于任意 总存在1a 32 3201g xxa xax 1 01x 使得成立 求的取值范围 0 01x 01 g xf x a 问题发散 问题发散 在主干条件 函数 2 47 2 x f x x 01x 32 32g xxa xa 0 1 x 不变的前提下 对问题 进行如下变式 1a 变式变式 1 若存在 使得成立 求实数的范围 1 x 2 0 1 x 12 f xg x a 变式变式 2 若存在 使得成立 求实数的范围 1 x 2 0 1 x 12 f xg x a 变式变式 3 若对任意 总存在 使得成立 求实数的范围 1 0 1 x 2 0 1 x 12 f xg x a 变式变式 4 若对任意 总存在 使得成立 求实数的范围 1 0 1 x 2 0 1 x 12 f xg x a 变式变式 5 若对任意 使得成立 求实数的范围 1 x 2 0 1 x 12 f xg x a 5 变式变式 6 若存在 使得成立 求实数的范围 1 x 2 0 1 x 12 1f xg x a 2 已知函数 为常数 2 11 ln 22 f xaxxax a0a I 若是函数的一个极值点 求的值 1 2 x f xa II 求证 当时 在上是增函数 02a f x 1 2 III 若对任意的 1 2 a 总存在 使不等式成立 求实 0 1 1 2 x 2 0 1 f xma 数的取值范围 m 3 已知函数 2 22 ln m f xmxmx x 1m I 讨论的单调性 f x II 设 当时 若对任意 存在 2 25 1 113 1 22 x xxx g x x 2m 1 0 2 x 使 求实数的最小值 2 1 xk k kN 12 f xg x k 6 4 已知函数 其定义域为 设 2 33 x f xxxe 2 t 2t 2 fm 1 试确定 的取值范围 使得函数在上为单调函数 f tn t f x 2 t 2 试判断 的大小并说明理由 mn 3 求证 对于任意的 总存在 满足 并确定这2t 0 2 xt 0 2 0 2 1 3 x fx t e 样的的个数 0 x 5 设函数在上是增函数 1 ln x f xx ax 1 1 求正实数的取值范围 a 2 设 求证 0b 1a 1 ln abab abbb 7 6 2010 山东理数 已知函数 1 ln1 a f xxax x aR 当 1 2 a 时 讨论 f x的单调性 设 当 1 4 a 时 若对任意 1 0 2 x 存在 2 1 2x 使 2 24g xxbx 12 f xg x 求实数b取值范围 解 因为 1 ln1 a f xxax x 所以 2 22 111 aaxxa fxa xxx 0 x 令 2 1 0 h xaxxa x 1 当时 0a 1h xx 0 x 当时 此时 函数单调递减 0 1 x 0h x 0fx f x 当时 此时 函数单调递增 1 x 0h x 0fx 2 当时 由 即 解得 0a 0fx 2 10axxa 1 1x 2 1 1x a 当时 恒成立 此时 函数在上 1 2 a 12 xx 0h x 0fx f x 0 单调递减 当时 1 0 2 a 1 110 a 时 此时 函数单调递减 0 1 x 0h x 0fx f x 时 此时 函数单调递增 1 1 1 x a 0h x 0fx f x 时 此时 函数单调递减 1 1 x a 0h x 0fx f x 当时 0a 1 10 a 时 函数单调递减 0 1 x 0h x 0fx f x 时 函数单调递增 1 x 0h x 0fx f x 综上所述 综上所述 8 当时 函数在上单调递减 0a f x 0 1 函数在上单调递增 f x 1 当时 函数在上单调递减 1 2 a f x 0 当时 函数在上单调递减 1 0 2 a f x 0 1 函数在上单调递增 f x 1 1 1 a 函数在上单调递减 f x 1 1 a 因为 由 知 11 0 22 a 12 1 3 0 2 xx 当时 函数单调递减 0 1 x 0fx f x 当时 函数单调递增 1 2 x 0fx f x 所以在上的最小值为 f x 0 2 1 1 2 f 由于由于 对任意对任意 存在 存在 使 使 等价于等价于 1 0 2 x 2 1 2 x 12 f xg x 在在上的最小值不大于上的最小值不大于在在上的最小值上的最小值 g x 1 2 f x 0 2 1 2 又 所以 22 4g xxbb 1 2 x 当时 因为 此时与 矛盾 1b min 1 520g xgb 当时 因为 同样与 矛盾 1 2 b 2 min 40g xb 当时 因为 2 b min 2 84g xgb 解不等式 可得 1 84 2 b 17 8 b 综上 的取值范围是 b 17 8 9 8 2010 辽宁理数 辽宁理数 已知函数1ln 1 2 axxaxf 讨论函数 xf的单调性 II 设1 a 如果对任意 0 21 xx 4 2121 xxxfxf 求a的取 值范围 解 f x的定义域为 0 2 121 2 aaxa fxax xx 当0a 时 故 f x在单调递增 0fx 0 当1a 时 故 f x在单调递减 0fx 0 当时 令 解得 1 2 a x a 10a 0fx 则当 1 0 2 a x a 时 fx 0 1 2 a x a 时 fx 0 故 f x在 1 0 2 a a 单调递增 在 1 2 a a 单调递减 不妨假设 12 xx 而 由 知在单调递减 从而1a 0 12 0 x x 1212 4 f xf xxx 等价于等价于 12 0 x x 2211 4 4f xxf xx 令 4g xf xx 则 1 24 a g xax x 等价于 g x在 0 单调减少 即 1 240 a ax x 从而 222 222 41 21 42 21 2 212121 xxxx a xxx 故的取值范围为 a 2 10 9 设且 为自然对数的底数 函数 aR 0a e 1 x f xex 2 2 x a g xx e 1 求证 当时 对一切非负实数恒成立 1a