2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系

1 直线 平面垂直的判定及其性质 理解空间中三种垂直关系的定义 掌握空间中三种垂直关系判定及性质 用空间中三种垂直关系的定义 判定及性质解决垂直问题 一 直线与平面垂直 1 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点 并且交角为直角 则称这两条直线互垂 直 2 如果一条直线 AB 和一个平面 相交于点 O 并且和这个平面内过点 O 的任何直线都垂直 我们就说这条直线和这个平面互相垂直 记作 直线叫做平面的垂线 平面叫做直线的 垂面 交点叫做垂足 垂线上任一点到垂足间的线段 叫做这点到这个平面的垂线段 垂线段 的长度叫做这点到平面的距离 3 直线和平面垂直的判定 4 1 判定定理 如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于 这个平面 符号语言 l a l b a b A a b l 如图 2 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于同一个平面 符号语言 a b a b 如图 2 5 直线与平面垂直的性质 1 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 符号语言 a b a b 如图 2 一条直线垂直于一个平面 它就和平面内的任意一条直线垂直 符号语言 a b a b 如图 6 设P是三角形ABC所在平面 外一点 O是P在 内的射影 1 若PA PB PC 则O为 ABC的外心 特别地当 C 90 时 O为斜边 AB 中点 2 若PA PB PC两两垂直 则O为 ABC的垂心 3 若P到 ABC三边距离相等 则O为 ABC的内心 7 1 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 2 直线和平面平行 1 平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直 又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 互相垂直 就称这两个平面互相垂直 平面 互相垂直 记作 2 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 符号表示 a a 如图 3 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面 符号表示 CD BA BA CD B为垂足 BA 3 如图 推论 如果两个平面垂直 那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线 在第一个平 面内 类型一类型一 线面垂直线面垂直 例 1 如图 直角 ABC 所在平面外一点 S 且 SA SB SC 点 D 为斜边 AC 的中点 1 求证 SD 平面 ABC 2 若 AB BC 求证 BD 平面 SAC 解析 由于D是AC中点 SA SC SD是 SAC的高 连接BD 可证 SDB SDA 由AB BC 则 Rt ABC是等腰直角三角形 则 BD AC 利用线面垂直的判定定理即可得证 答案 1 SA SC D为AC的中点 SD AC 在 Rt ABC中 连接BD 则AD DC BD 又 SB SA SD SD ADS BDS SD BD 又AC BD D SD 面ABC 2 BA BC D为AC中点 BD AC 又由 1 知SD 面ABC SD BD 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线 BD 平面SAC 练习 1 如图所示 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 侧棱 PA 平面 ABCD E F 分别是 AB PC 的中 点 PA AD 求证 EF 平面 PCD 答案 如图 取PD的中点H 连接AH HF FHCD 1 2 FHAE 四边形AEFH是平行四边形 AH EF 4 底面ABCD是矩形 CD AD 又 PA 底面ABCD PA CD PA AD A CD 平面PAD 又 AH 平面PAD CD AH 又 PA AD AH PD PD CD D AH 平面PCD 又 AH EF EF 平面PCD 练习 2 如右图 在正方体中 为的中点 为的中心 1111 ABCDA BC D P 1 DDOABCD 求证 平面 1 BO PAC 答案 连结 111 PO PB B D 由正方体的性质可知 且 1 ACBD ACBB 1 BDBBB 面 又 面 AC 11 BDD BBO 11 BDD B 1 BOAC 设 则ABa 111 21 2 22 OBODa B Da PDPDa 222222222222 11 13113 22424 OBOBBBaaaOPPDDOaaa 222222 1111 19 2 44 PBB DPDaaa 222 1 OBPOPB 1 BOPO POACO 平面 1 BO PAC 练习 3 在如右图 在空间四边形中 ABCD ABAD BCCD 求证 ACBD 答案 设为的中点 连结EBD AE EC ABAD BDAE 同理可证 BDEC 又 面AEECE BD AEC 面 AE AECBDAC 例 2 如图在 ABC中 B 90 SA 平面ABC 点A在SB和SC上的射影分别是N M 求证 MN SC 解析 根据直线平面垂直的性质 找到所求垂直的线段中的 一条与另一条所在的平面垂直 即可证明这两条线段互相垂直 答案 证明 SA 平面ABC SA BC 又 ABC 90 E A B C D O P D1C1 B1 A1 D C B A 5 BC AB BC 平面SAB AN BC 又AN SB AN 平面SBC AN SC 又AM SC SC 平面AMN MN SC 练习 1 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为A1D AC上 的点 且EF A1D EF AC 求证 EF BD1 答案 如图所示 连接A1C1 C1D BD B1D1 由于AC A1C1 EF AC EF A1C1 又EF A1D A1D A1C1 A1 EF 平面A1C1D BB1 平面A1B1C1D1 A1C1 平面A1B1C1D1 BB1 A1C1 又 四边形A1B1C1D1为正方形 A1C1 B1D1 BB1 B1D1 B1 A1C1 平面BB1D1D 而BD1 平面BB1D1D BD1 A1C1 同理 DC1 BD1 DC1 A1C1 C1 BD1 平面A1C1D 由 可知EF BD1 练习 2 在空间中 下列命题 平行于同一条直线的两条直线平行 垂直与同一直线的两条直 线平行 平行与同一平面的两条直线平行 垂直于同一平面的两条直线平行 其中正确的由 答案 练习 3 已知及平面 则下列命题正确的是 a b c A B C D a ab b a ab b ac ab bc a ab b 答案 B 例 3 如图 在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD中 AD BC ABC 90 PA 平面 ABCD PA 3 AD 2 AB 2 BC 6 求证 BD 平面PAC 3 解析 通过计算得到直角 进而得到垂直 答案 PA 平面ABCD BD 平面ABCD BD PA BAD和 ABC都是直角 tan ABD tan BAC AD AB 3 3 BC AB3 ABD 30 BAC 60 AEB 90 即BD AC 又PA AC A BD 平面PAC 练习 1 在正方体中ABCD A1B1C1D1中 P为DD1的中点 O为底面ABCD的中心 求证 B1O 平面PAC 答案 如图所示 连接AB1 CB1 B1D1 PB1 PO 6 设AB a 则AB1 CB1 B1D1 a AO OC a 2 2 2 B1O AC B1O2 OB2 BB 2 a2 a2 2 1 2 2 a 3 2 PB PD B1D 2 a 2 a2 2 12 12 1 1 2a 2 9 4 OP2 PD2 DO2 2 a2 1 2a 2 2 a 3 4 B1O2 OP2 PB B1O OP 2 1 又PO AC O B1O 平面PAC 练习 2 如图 若测得旗杆 PO 4 PA PB 5 OA OB 3 则旗杆 PO 和地面 的关系是 答案 PO 4 OA OB 3 PA PB 5 PO2 AO2 PA2 PO2 OB2 PB2 PO OA PO OB 又 OA OB O PO 平面 AOB PO 地面 类型二类型二 平面与平面垂直平面与平面垂直 例 4 如图 在底面为正三角形的直三棱柱ABC A1B1C1中 点D是BC的中点 求证 平面 AC1D 平面BCC1B1 解析 运用平面垂直的判定 答案 ABC 为正三角形 D 为 BC 的中点 AD BC 又 CC1 底面 ABC AD 平面 ABC CC1 AD 又 BC CC1 C AD 平面 BCC1B1 又 AD 平面 AC1D 平面 AC1D 平面 BCC1B1 练习 1 三棱锥 S ABC 中 BSC 90 ASB 60 ASC 60 SA SB SC 求证 平面 ABC 平面 SBC 答案 解法一 取BC的中点D 连接AD SD 由题意知 ASB与 ASC是等边三角形 则AB AC AD BC SD BC 令SA a 在 SBC中 SD a 2 2 又 AD a AD2 SD2 SA2 AC2 CD2 2 2 即AD SD 又 AD BC AD 平面SBC AD 平面ABC 7 平面ABC 平面SBC 解法二 SA SB SC a 又 ASB ASC 60 ASB ASC都是等边三角形 AB AC a 作AD 平面SBC于点D AB AC AS D为 SBC的外心 又 BSC是以BC为斜边的直角三角形 D为BC的中点 故AD 平面ABC 平面ABC 平面SBC 练习 2 如右图 在四面体中 ABCD2 BDa ABADCBCDa 求证 平面平面 ABD BCD 答案 取的中点 连结BDE AE EC 同理ABAD AEBD CEBD 在 中 ABD 12 22 ABa BEBDa 同理 22 2 2 AEABBEa 2 2 CEa 在 中 AEC 2 2 AECEa ACa 222 ACAECE AECE 平面 平面 平面平面BDCEE AE BCDAE ABDABD BCD 练习 3 空间四边形中 若 那么有 ABCD ADBC BDAD A 平面平面 B 平面平面ABC ADCABC ADB C 平面平面 D 平面平面ABC DBCADC DBC 答案 D 例 5 已知 P 是 ABC 所在平面外的一点 且 PA 平面 ABC 平面 PAC 平面 PBC 求证 BC AC 解析 已知条件是线面垂直和面面垂直 要证明两条直线垂直 应将两 条直线中的一条放入一平面中 使另一条直线与该平面垂直 即由线面 垂直得到线线垂直 在空间图形中 高一级的垂直关系蕴含着低一级的 垂直关系 通过本题可以看到 面面垂直 线面垂直 线线垂直 答案 如图 在平面 PAC 内作 AD PC 于点 D 平面 PAC 平面 PBC AD 平面 PAC 且 AD PC AD 平面 PBC 又 BC 平面 PBC AD BC PA 平面 ABC BC 平面 ABC PA BC A B C D E 8 AD PA A BC 平面 PAC 又 AC 平面 PAC BC AC 练习 1 已知三棱锥P ABC中 侧面PAC与底面ABC垂直 PA PB PC 1 求证 AB BC 2 若AB BC 过点A作AF PB于点F 连接CF 求证 平面PBD 平面AFC 答案 如图所示 1 取AC的中点D 连接PD BD PA PC PD AC 又平面PAC 平面ABC 且平面PAC 平面ABC AC PD 平面ABC D为垂足 PA PB PC DA DB DC AC为 ABC的外接圆的直径 故AB BC 2 PA PC AB BC PB PB ABP CBP AF PB CF PB 又AF CF F PB 平面AFC 又PB 平面PBD 平面PBD 平面AFC 练习 2 已知平面 PAB 平面 ABC 平面 PAC 平面 ABC 如图所示 求证 PA 平面 ABC 答案 如图所示 在平面 ABC 内任取一点 D 作 DF AC 于点 F 作 DG AB 于点 G 平面 PAC 平面 ABC 平面 PAC 平面 ABC AC DF 平面 PAC 又 PA 平面 PAC PA DF 同理可证 DG PA DF DG D 且 DF 平面 ABC DG 平面 ABC PA 平面 ABC 1 一条直线和三角形的两边同时垂直 则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 A 平行 B 垂直 C 相交不垂直D 不确定 答案 B 2 若一条直线 l 上有两个点到平面 的距离相等 则 l 与 的关系是 A 平行B 相交 C 垂直D 不确定 答案 D 3 已知直线 l 平面 直线 m 平面 给出下列四个命题 l l m l m l m l m 其中正确的两个命题是 A B C D 答案 D 9 4 如图 四边形 ABCD 中 AD BC AD AB BCD 45 BAD 90 将 ABD 沿 BD 折 起 使平面 ABD 平面 BCD 构成三棱锥 A BCD 则在三棱锥 A BCD 中 下列命题正确的是 A 平面 ABD 平面 ABC B 平面 ADC 平面 BDC C 平面 ABC 平面 BDC D 平面 ADC 平面 ABC 答案 D 5 若有直线 m n 和平面 下列四个命题中 正确的是 A 若 m n 则 m n B 若 m n m n 则 C 若 m 则 m D 若 m m 则 m 答案 D 6 Rt ABC 所在平面 外一点 P 到直角顶点的距离为 24 到两直角边的距离都是 6 那么点 P 10 到平面 的距离等于 答案 12 基础巩固基础巩固 1 已知一平面平行于两条异面直线 一直线与两异面直线都垂直 那么这个平面与这条直线的位 置关系是 A 平行B 垂直 C 斜交D 不能确定 答案 B 2 直线 a 直线 b a 平面 则 b 与 的位置关系是 A b B b C b D b 或 b 答案 D 3 下列命题 Error Error a b Error Error b Error Error a b Error Error a Error Error b Error Error b 其中正确命题的个数是 A 3B 4 C 5D 6 答案 A 10 4 若平面 平面 直线 a 直线 b 那么 a b 的位置关系是 A 无公共点 B 平行 C 既不平行也不相交D 相交 答案 A 5 直线 a 与平面 内的两条直线都垂直 则 a 与 的位置关系是 A 垂直B 平行 C a 在平面 内D 不确定 答案 D 6 若平面 平面 且平面 内的一条直线 a 垂直于平面 内的一条直线 b 则 A 直线 a 必垂直于平面 B 直线 b 必垂直于平面 C 直线 a 不一定垂直于平面 D 过 a 的平面与过 b 的平面垂直 答案 C 7 长方体 ABCD A1B1C1D1中 MN 在平面 BCC1B1内 MN BC 于 M 则 MN 与 AB 的位置关系 为 答案 MN AB 8 如图所示 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的面对角线 A1B B1C 求证 B1C C1A 答案 如图所示 连接A1C 交AC1于点D 则点D是A1C的中点 取BC的中点N 连接AN DN 则DN A1B 又A1B B1C B1C DN 又 ABC是正三角形 AN BC 又平面ABC 平面BB1C1C 平面ABCD 平面BB1C1C BC AN 平面ABC AN 平面BB1C1C 又B1C 平面BB1C1C B1C AN 又AN 平面AND DN 平面AND AN DN N B1C 平面AND 又C1A 平面AND B1C AC1 能力提升能力提升 9 若两直线 a 与 b 异面 则过 a 且与 b 垂直的平面 A 有且只有一个B 至多有一个 C 有无数多个D 一定不存在 答案 B 10 已知三棱锥 S ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上 球心 O 在 AB 上 SO 底面 ABC AC r 则球的体积与三棱锥体积之比是 2 A B 2 C 3 D 4 11 答案 D 11 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 A 若 m n n 则 m B 若 m 则 m C 若 m n n 则 m D 若 m n n 则 m 答案 C 12 已知平面 ABC 外一点 P 且 PH 平面 ABC 于 H 给出下列 4 个命题 若 PA BC PB AC 则 H 是 ABC 的垂心 若 PA PB PC 两两互相垂直 则 H 是 ABC 的垂 心 若 ABC 90