中考二次函数问题解析

1 中考二次函数问题解析 王兴忠 二次函数问题一直以来是初中代数的重点 中考的热点和初中生学习数学的难点 在中考复习中 如何指导学生熟练地解决二次函数问题 建议从以下十个方面入手 一 二次函数的解析式 1 一般式 2 yaxbxc 0 a 2 顶点式 2 0 ya xhk a 3 两根式 12 ya xxxx 2 40 bac 例 1 二次函数图像经过点 对称轴为直线 抛物线与轴的两交点 3 8 A 2x x 之间的距离为 6 求其解析式 解 方法 1 设其解析式为 2 yaxbxc 令 方程的两个解为和 0y 2 0axbxc 1 x 2 x 则 6 2 1212 xxxx 2 4bac a 22 436baca 依题意 893abc 2 2 b a 解这个方程组得 解析式为1 4 5abc 2 45yxx 方法 2 设其解析式为 依题意 12 ya xxxx 12 1 5xx 图像过点 3 8 1 5 ya xx 解得 解析式为 8 3 1 35 a 1a 2 45yxx 方法 3 设其解析式为 2 ya xhk 依题意 图像过点 3 8 2h 所以 8ak 8ka 2 2 8 ya xa 即 又 2 438yaxaxa 22 436baca 22 164 38 36aaaa 解得 舍去 或 即 解析式为 1 0a 2 1a 2 2 9yx 2 45yxx 求二次函数的解析式 要善于根据题目的条件 选择恰当的解析式形式 可使事 半功倍 方法是待定系数法 二 二次函数的图像及其性质 2 熟练掌握以下解析式所确定的抛物线性质 1 2 2 yax 2 ya xh 3 4 5 2 yaxk 2 ya xhk 2 2 2 4 24 yaxbxc bacb ya x aa 6 列表如下 12 ya xxxx 解析式 0 a 图像 开 口 方 向 对称轴顶点坐标最值 1 o 上0 x 0 0 min 0y 2 上xh h 0 min 0y 3 上0 x 0 k min yk 4 上xh h k min yk 5 上2 b x a 2 4 24 bacb aa 2 min 4 4 acb y a 6 上 12 2 xx x 1212 22 xxxx f 12 min 2 xx yf x o y h x o y x o y k h x o y y x1 x ox2 x a bac 4 4 2 x a b 2 3 例 2 指出二次函数的开口方向 对称轴 顶点坐标和最大值或最 2 47yxx 小值 并说明随的增大而减小的的取值范围 yxx 解 2 47yxx 公式法 所以开口方向向上10a 4 2 22 b x a 2 428 16 11 44 acb y a 所以对称轴为直线 2x 顶点坐标为 2 11 配方法 222 4744 11 2 11yxxxxx 所以对称轴为直线 2x 顶点坐标为 2 11 函数有最小值为 11 当时随的增大而减小 2x yx 三 二次函数图像的平移 202 hxayaxy h khxaykaxy h 202 例 3 把抛物线向上平移 1 个单位 得到的抛物线是 2 2yx A B 2 2 1 yx 2 2 1 yx C D 2 21yx 2 21yx 选 C 四 二次函数的最值 二次函数 2 yaxbxc 当时 y 有最小值 0 2 b ax a 2 4 4 acb a 当时 y 有最大值 0 2 b ax a 2 4 4 acb a 五 二次函数的系数 a b c 2 yaxbxc 向右平移 向右平移 向 上 平 移 向 上 平 移 k 0 k 0 k 0 k 0 4 1 a 确定开口方向 当 a 0 时开口向上 当 a0 时 0 时 0Aabc abc 当 1 在第四象限时 0 2 yaxbxc x 2 4bac 当抛物线与轴有一个交点时 0 2 yaxbxc x 2 4bac 当抛物线与轴没有交点时 0 2 yaxbxc x 2 4bac 7 20ba 抛物线的对称轴时 2 yaxbxc 2 b x a 1 20ba 例 4 二次函数的图像如图所示 则下列结论成立的是 2 yaxbxc A B 0 0abc 0 0ab x o y 5 C D 0 0abc 0 0abc 解 因为抛物线开口向下 0 a 又顶点在轴左侧 0 0 2 b b a 又抛物线与轴的交点 0 c 在轴正半轴上 yy 即 故选0c 0bc D 六 二次函数的图像与轴的交点问题x 抛物线 2 yaxbxc 0 a 令 方程的两个实数根为0y 2 0axbxc 0 12 x x 则 1212 bc xxx x aa 抛物线与轴的交点为和 x 1 0 A x 2 0 B x 两交点的距离 2 1212 ABxxxx 2 1212 4xxx x 22 2 222 444 bcbacbac aaaaa 2 4bac aa 抛物线与轴的交点之间的距离为 x A BAB a 0 七 二次函数图像中的三角形问题 抛物线与轴的交点为 与轴交于点 顶点为 2 yaxbxc 0 a x A ByCD 求 和 ABC S ABD S 抛物线与轴的交点和 则 与 2 yaxbxc x 1 0 A x 2 0 B xAB a 0 轴交于点 顶点y 0 CcD 2 4 24 bacb aa ABC S 1 2 AB c 1 22 c c aa ABD S 1 2 2 4 4 acb aa 2 8a 八 二次函数与一元二次方程 一元二次不等式的关系 6 0a 2 yaxbxc 2 0axbxc 2 0axbxc 2 0axbxc 0 有两实根 12 xx 2 1 2 4 2 bbac x a 或 1 xx 2 xx 12 xxx 0 有两等根 12 2 b xx a 2 b x a 空集 0 没有实数根空集空集 例 5 已知抛物线 的部分图像如图所示 若 则的取值范围 2 yaxbxc 0y 是 B A B 14x 13x C 或 D 或1x 4x 1x 3x 九 二次函数与几何的联系综合 数形结合思想 1 三角形与二次函数 例 6 等边三角形的边长是 1 点分别在上 且是ABC D E F AB BC CADEF 等边三角形 设 的面积为 写出关于的函数关系式及自变量ADx DEF yyx 的取值范围 并求出面积的最小值 xDEF 解 可证得设 则边上的ADFCFEBDE ADCF ADx 1 AFx AF 高为 0 sin60 x 0 13 1 sin60 1 24 ADF Sx xxx 而3 DEFABCADF SSS 333 3 1 444 ABC Syxx 其中 2 3 331 4 yxx 01 x 当时 有最小值是 1 22 b x a y 3 16 在三角形内建立二次函数 常是将一边设为自变量 把其它边用自变量的代数式 y x1 x ox2 o x a b 2 y o x y o 1x y 3 1 A B C D E F 7 表示 这时边长是关于一边 自变量 的一次函数 面积是关于一边的二次函数 2 四边形与二次函数 例 7 如图 对称轴为直线的抛物线过点和 7 2 x 6 0 A 0 4 B 1 求抛物线解析式及顶点坐标 2 设点是抛物线上一动点 且位于第四象限 四边形是以 E x yOEAF 为对角线的平行四边形 求的面积与之间的函数关系式 OAOEAFASx 并写出自变量的取值范围 x 当的面积为 24 时 请判断是否为菱形 OEAFAOEAFA 是否存在点 使为正方形 若存在 求出点的坐标 若不存在 EOEAFAE 请说明理由 解 1 由抛物线的对称轴是 可设解析式为 7 2 x 2 7 2 ya xk 把两点坐标代入上式 得 A B 2 2 7 6 0 2 7 0 4 2 ak ak 解之 得 225 36 ak 故抛物线的解析式为 2 2725 326 yx 顶点为 725 26 2 点在抛物线上 位于第四象限 且坐标适合 E x y 即表示点到的距离 2 2725 326 yx 0 y 0 yy EOA 是的对角线 OAOEAFA 2 1 22 2 7 64 25 2 OAE SSOA y yx A 因为抛物线与轴的两个交点是和 x 1 0 6 0 所以 自变量的取值范围是x16x 根据题意 当时 即化简 得 解之 得24S 2 7 4 2524 2 x 2 71 24 x 故所求的点有两个 分别为 12 3 4xx E 12 3 4 4 4 EE 点满足 是菱形 1 3 4 E OEAE OEAF A o x y F E 4 0 B 0 6 A 2 7 x 8 点不满足 不是菱形 2 4 4 E OEAE OEAF A 当且时 是正方形 此时点的坐标只能是 OEEF OAEF OEAFAE 3 3 而坐标为的点不在抛物线上 3 3 故不存在这样的点 使为正方形EOEAFA 灵活运用二次函数的相关知识 菱形和正方形的性质是解决此类问题的关键 在 解决此题时要注意符号问题 本题难度较大 考察学生的分析 计算 综合运用能力 3 与圆有关的二次函数 例 8 如图 中 直角边在轴负半轴上 在轴正半轴上 点Rt AOC OAxOCy 在上 以为圆心的圆与轴 边相切 切点分别为 与轴的另FAOFyAC O DFAx 一个交点为 若 的半径为 E 3 tan 4 A FA 3 2 1 求过 A C 两点的一次函数的解析式 2 求过三点 E D O 的二次函数的解析式 3 证明 2 中抛物线的顶点在直线上 AC 解 1 切于 FAACDFDAC 中 Rt ADF 1 53 2 4 DF tgAAD ADAD 5 2 AF 4OAOFAF 4 0 A 3 tan43 4 OCOAA A 0 3 C 所以直线的解析式为 AC 3 3 4 yx 2 设过 三点的抛物线解析式为 EDO 12 ya xxxx 据题意 12 6 0 0 3 0 55 OED 把点代入此式得 0 3 ya xx 12 6 55 D 61212 3 555 a 5 6 a 所以该抛物线的解析式为 2 55 62 yxx 3 抛物线的顶点坐标为 2 55 62 yxx 3 15 2 8 把代入直线 3 2 x 3 3 4 yx 3315 3 428 y 所以抛物线的顶点在直线上 AC 与圆有关的一次函数问题 常与切线有关 建立二次函数 常与半径等关键线段 和锐角三角函数联系紧密 有时要用到 圆幂定理 4 动点问题中的二次函数 AE0F D C x y 9 例 9 如图在平行四边形 ABCD 中 AD 4cm A 60o BDAD 一动点 P 从 A 出发 以每秒 1cm 的速度沿的路线匀速运动 过点 P 作直线 PM 使ABC PMAD 1 当点 P 运动 2 秒是 设直线 PM 与 AD 相交于点 E 求APE 的面积 2 当点 P 运动 2 秒时 另一动点 Q 也从 A 出发沿的路线运动 ABC 且在 AB 上以每秒 1 的速度运动 在 BC 上以每秒 2cm 的速度运动 过 Q 做直线 QN 使 QN PM 设点 Q 运动的时间为 t 秒 直线 PM 010 t 与 QN 截平行四边形 ABCD 所得的面积为 Scm2 求 S 关于 t 的函数关系式 求 S 的最大值 解 1 当点 P 运动 2 秒时 AP 2cm 由A 60o 知 AE 1 PE 3 3 2 APE S 2 当时 点 P 与点 Q 都在 AB 上运动 06t 设 PM 与 AD 交于点 G QN 与 AD 交于点 F 则 AQ t AF QF AP t 2 AG 1 PG 1 2 t 3 2 t 1 2 t 3 3 2 t 两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 33 22 St 当时 点 P 在 BC 上运动 点 Q 仍在 AB 上运动 设 PM 与 CD 交于点68t G QN 与 AD 交于点 F 则 AQ t AF DF 4 QF BP t 6 CP 10 2 t 2 t3 2 t t PG 而 BD 10 3t 4 3 两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 2 5 3 10 334 3 8 Stt 当时 点 P 和点 Q 都在 BC 上运动 设 PM 与 DC 交于点 G QN 与 DC810t 交于点 F 则 CQ 20 2t QF CP 10 t PG 202 3t 10 3t 两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 2 3 3 30 3150 3 2 Stt 当时 S 的最大值为 06t 7 3 2 当时 S 的最大值为 68t 6 3 当时 S 的最大值为 810t 6 3 A M E P DC B 10 解决动点问题 常是 以静制动 以时间 t 为自变量 以时间 t 内的路程为联 系函数的 纽带 再结合几何图形的相关性质来解决 十 二次函数与生活实际问题的联系综合 转化思想 例 10 某公司经销一种绿茶 每千克成本为 50 元 市场调查发现 在一段时间 内 销售量 千克 随销售单价 元 千克 的变化而变化 具体关系式为 wx 设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 元 解答下列问题 2240wx y 1 求 y 与 x 的关系式 2 当 x 取何值时 y 的值最大 最大值是多少 3 如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于 90 元 千克 公司想要在这 段时间内获得 2250 元的销售利润 销售单价应定为多少元 解 1 2 50 50 2240 234012000 yxwxxxx 所以与的关系式为 yx 2 234012000yxx 2 2 234012000yxx 2 2 85 2450 x 当时 的最大值是 2450 元 85x y 3 当时 可得方程2250y 2 2 85 24502250 x 解得 不合题意舍去 12 75 95xx 所以当销售单价为 75 元时 可获得销售单价 2250 元 生活实际问题中的最值问题 常要转化为二次函数问题来解决 可通过应用问题 的等量关系建立函数关系 求最值时要注意符合题目的条件和生活实际 总之 要想熟练的解决二次函数问题 首先要记忆和理解基本概念 挖掘吃透教 材 其次要善于归纳和总结相关的知识要点和思想方法 复习和训练是要分析透彻 理清思路 树立数形结合 分类讨论 方程和转化的数学思想方法 为将来高中学习 函数夯实基础 论文论文 中考二次函数问题解析中考二次函数问题解析 11 王兴忠王兴忠 专题复习 中考中的运动变化问题专题复习 中考中的运动变化问题 王兴忠王兴忠 时间 时间 地点 初三 地点 初三 11 班教室班教室 题型透析 题型透析 动点问题常由图形中的某一元素的变化 导致问题的结论 或改变或保持不变 其解题关键是将运动的几何元素当做静止来加以 解答 常见的类型有 利用几何图形的变化去探求几何图形性质的变 12 化 由点的运动探求图形变化 这类题常与方程和函数知识联系起来解 答 或由几何图形的运动变化使图形中的面积或线段取得最值 解题技巧 解题技巧 运用转化的思想进行有关的计算 证明是解决运动型问题 的常用方法 同时要善于挖掘题目的隐含条件 以静制动 运用方程 思想建立函数关系 善于对综合性问题进行分解和综合 典题例析 典题例析 1 三角形中的动点问题 三角形中的动点问题 例 在钝角 ABC 中 AB 6cm AC 12cm 动点 D 从点 A 出发到 B 点 至 动点 E 从 C 点出发到 A 点止 点 D 的运动速度是 点 E 的scm1 运动速度是 如果两点同时运动 那么当点 A D E 为顶点的scm2 三角形与 ABC 相似时 运动的时间是 A 3s 或 4 8s B 3s C 4 5s D 4 5s 或 4 8s 2 四边形中的动点问题四边形中的动点问题 例 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 四边形 OABC 是矩形 点 A C 的坐标分别为 A 10 0 C 0 4 点 是 OA 的中点 点 在 边上运动 当 ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时 点 的坐标 为 3 二次函数中的动点问题 二次函数中的动点问题 13 例 如图 抛物线与轴 x 交于点 A