二一般形式的柯西不等式

柯西不等式教学设计 曾辉 三角形式 a 2 b 2 c 2 d 2 a c 2 b d 2 等号成立条件 ad bc 注 注 表示根表示根 向量形式 a1 a2 an b1 b2 bn n N n 2 等号成立条件 为零向量 或 R 一般形式 ai 2 bi 2 ai bi 2 等号成立条件 a1 b1 a2 b2 an bn 或 ai bi 均为零 上述不等式等同于图片中的不等式 推广形式 x1 y1 x2 y2 xn yn x 1 n y 1 n n 注 x 表示 x1 x2 xn 的乘积 其余同理 此推广形式又称卡尔松不等式 其表述是 在 m n 矩阵中 各行元素之和的几何平均 不小于各列元素之和的几何平均之积 应为之积的几何平均之和 概率论形式 E X E Y E XY 二维形式的证明 a b c d a b c d R a c b d a d b c a c 2abcd b d a d 2abcd b c ac bd ad bc ac bd 等号在且仅在 ad bc 0 即 ad bc 时成立 三角形式的证明 a b c d a c b d 证明 a b c d a b c d 2 a b c d a b c d 2 ac bd a b c d 2 ac bd a 2ac c b 2bd d a c b d 两边开根号即得 a b c d a c b d 注 表示绝对值 向量形式的证明 令 m a1 a2 an n b1 b2 bn m n a1b1 a2b2 anbn m n cos a1 2 a2 2 an 2 b1 2 b2 2 bn 2 cos cos 1 a1b1 a2b2 anbn a1 a2 an b1 b2 bn 注 表示平方根 一般形式的证明 ai 2 bi 2 ai bi 2 证明 等式左边 ai bj aj bi 共 n2 2 项 等式右边 ai bi aj bj aj bj ai bi 共 n2 2 项 用均值不等式容易证明 等式左边 等式右边 得证 其中 当且仅当 ai bi aj bj i j 1 n 推广形式的证明 推广形式为 x1 y1 x2 y2 xn yn x 1 n y 1 n n 证明如下 记 A1 x1 y1 A2 x2 y2 由平均值不等式得 1 n x1 A1 x2 A2 xn An x1 x2 xn A1 A2 An 1 n x A1 A2 A n 1 n 1 n y1 A1 y2 A2 yn An y1 y2 yn A1 A2 An 1 n y A1 A2 A n 1 n 上述 m 个不等式叠加得 1 x A1 A2 An 1 n y A1 A2 An 1 n 即 A1 A2 An 1 n x 1 n y 1 n 即 A1 A2 An x 1 n y 1 n n 即 x1 y1 x2 y2 xn yn x 1 n y 1 n n 因此 不等式 成立 注 推广形式即为卡尔松不等式 代数形式 设 a1 a2 an 及 b1 b2 bn