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第二章随机信号分析 变化过程是不确定的 无法用一个或几个时间T的函数来描述 这类过程称为随机过程 具有随机性的时间信号称为随机信号 内容提要 随机过程的数字特征 数学期望 自协方差函数 自相关函数 2平稳随机过程 所谓平稳随机过程是指它的统计特性不随时间的变化而变化 或者说 它的n维概率分布函数或概率密度函数与时间起点无关 即 如果对于任意的正整数n和任意实数随机过程的n维概率密度函数满足 则称为平稳随机过程 若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关 而其相关函数仅与有关 则称这个随机过程是宽平稳过程或广义平稳随机过程 满足平稳随机过程定义 即n维概率分布函数或概率密度函数与时间起点无关 称为严平稳过程或狭义平稳过程 各态历经性与时间平均 所谓 各态历经 是指从随机过程中得到的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态 平稳随机过程的数字特征 统计平均 完全可由随机过程的一个实现的数字特征 时间平均 来代替 平稳随机过程自相关函数的性质 平稳随机过程的自相关函数与时间起点无关 具有下列性质 表示的平均功率 表示的直流功率 方差表示的交流功率 是偶函数 的上界 最大值 可以证明 平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度是一对傅立叶变换对 上式称为维纳 辛钦关系 在平稳随机过程中联系频域和时域两种分析方法的基本关系式 单边功率谱密度 高斯随机过程的一维分布特性 其定义为 式中a为高斯随机变量的数学期望 为方差 1 f x 对称于x a这条直线 即 正态分布概率密度函数f x 有如下特性 2 f x 在内单调上升 在内单调下降 且在点a处达到最大值 当或时 3 且有 4 a表示分布中心 表示集中程度 a表现为f x 图形左右平移 对不同的 固定a f x 的图形将随的减小而变高和变窄 2 3 4一维高斯过程的正态分布函数 正态分布函数为 计算正态分布函数常用的几种特殊函数 1 概率积分函数及Q函数 可查表 定义 Q函数是一种经常用于表示高斯密度函数尾部曲线下的面积的函数 Q函数与函数呈互补关系 即 2 误差函数erf x 与互补误差函数ercf x 误差函数定义 它是自变量的递增函数 互补误差函数定义 它是自变量的递减函数 令 2 4窄带随机过程 2 4 1定义与表达式 所谓窄带系统 是指其通带宽度 且远离零频率的系统 通过窄带系统的信号或噪声一定是窄带信号 如果这时通过窄带系统的信号又是随机信号 则 我们称系统此时输出的信号是窄带随机过程 窄带随机过程可用下式表示 窄带过程的另一种表达式 及分别称为窄带随机过程的同相分量和正交分量 其中 特性1 均值为0 则同相和正交分量的均值也为0 特性2 若窄带是平稳的 其同相和正交信号也是宽平稳的 特性3 窄带信号与同相正交信号具有相同的平均功率或方差 特性4 若窄带是平稳高斯随机过程 则 其同相和正交随机信号也是平稳高斯随机过程 特性5 同相和正交随机信号在同一时刻是互不相关的或统计独立的 特性6 一个均值为0 方差为的窄带平稳高斯过程 其包络的一维分布是瑞利分布 相位的一维分布是均匀分布 且 就一维分布而言 包络及相位是统计独立的 即 2 4 4高斯白噪声 定义 功率谱密度在整个频域范围内都是均匀分布的噪声 被称为白噪声 即 图2 4白噪声的谱密度和自相关函数 如果白噪声又是高斯分布的 我们称为高斯白噪声 他们一定是统计独立的 如果白噪声被限制在之内 即在该频率区间有而在该区间外 则这样的白噪声被称为带限白噪声 图 带限白噪声的功率谱和自相关函数 2 2设是一随机过程 若X1和X2是彼此独立且具有均值为零 方差为的正态随机变量 试求 1 2 的一维分布密度函数 3 与 解 1 同理 又 和彼此独立 2 Z t 是正态随机变量X1和X2经线性变换所得 Z t 也是正态随机过程 又 方差 3 协方差 又 0 2 4若随机过程 其中 平稳随机过程 且自相关函数 是宽带 1 证明是广义平稳的 2 绘出自相关函数的波形 3 求功率谱密度及功率S 是服从均匀分布的随机变量 为 是服从均匀分布的随 机变量 它与 彼此统计独立 解 1 证明 是服从均匀分布的随机变量 且与m t 统计独立 又 由此可见 的数学期望与时间无关 而其相关函数仅与时间间隔有关 因此是广义平稳的 2 自相关函数的波形如下图 1 2 1 1 3 根据三角函数的傅氏变换对 可得 平稳随机过程z t 的功率谱密度 2 6是一个平稳随机过程 它的自相关函数是周期为2s的周期函数 在区间 1 1 s上 该自相关函数 试求的功率谱密度 并用图形表示 解 则所对应的频率函数 又 根据周期函数的性质 的功率谱密度 其中 系数 4 3 2 2 3 4 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 6 7 2 7将一个均值为零 功率谱密度为的高斯白噪声加到一个中心角频率为 带宽为B的理想带通滤波器上 如图所示 1 求滤波器输出噪声的自相关函数 2 写出输出噪声的一位概率密度函数 解 1 滤波器输出噪声功率谱密度 H w w0 w0 w 根据平稳随机过程的性质可得其自相关函数 2 高斯过程通过线性系统后的输出仍是高斯过程 同时 输出噪声的一维概率密度为 2 8设RC低通滤波器如图所示 求当输入均值为零 功率谱密度为的白噪声时 输出过程的功率谱密度和自相关函数 解 RC低通滤波器的传递函数为 输出过程的功率谱密度为 2 13若通过上图的随机过程是均值为零 功率谱密度为的高斯白噪声 试求输出过程的一维概率密度函数 解 又 又 高斯过程通过线性系统之后的输出 仍为高斯过程 输出过程的一维概率密度函数 2 12