平面向量数乘运算

平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算 指导教师 骆雄 一 教学目标设计一 教学目标设计 一 教学重难点 一 教学重难点 重点 掌握实数与向量的积的定义 运算律 理解向量共线定理 难点 向量共线定理的探究及其应用 二 三维目标设计 二 三维目标设计 1 知识与技能 通过实例 掌握向量数乘运算 理解其几何意义 理解向量共线定理 熟练运用定义 运算律进行有关计算 能够运用定理解决向量共线 三点共线 直线平行等问题 2 过程与方法 理解掌握向量共线定理及其证明过程 会根据向量共线定理判断两个向量是否共线 3 态度情感与价值观 通过由实例到概念 由具体到抽象 培养学生自主探究知识形成的过程的能力 合作 释疑过程中合作交流的能力 激发学生学习数学的兴趣和积极性 陶冶学生的情感 培养 学生实事求是的科学态度 勇于创新的精神 二二 教材感知 1 向量的数乘运算 1 向量的数乘运算的概念 实数 与向量a的积是一个向量 这种运算叫做向量的数乘 记作 a 其长度与方 向规定如下 a a a a 0 的方向Error Error 特别地 当 0 或a 0 时 0a 0 或 0 0 2 向量数乘的运算律 a a a a a a b a b 3 向量的线性运算 向量的加 减 数乘运算统称为向量的线性运算 对于任意向量a b 以及任 意实数 1 2 恒有 1a 2b 1a 2b 2 共线向量定理 向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使b a 小问题 大思维 1 若 a 0 则 0 对吗 提示 不对 当 a 0 时 0 或a 0 2 共线向量定理中b a a若为 0 如何 提示 当a 0 时 则 不存在 b 0 时 或者不唯一 b 0 时 3 已知向量a b不共线 则m a 3b与n 2a 6b共线吗 提示 n 2m 故m与n共线 4 与非零向量a共线的单位向量是什么 提示 由于单位向量的长度总等于 1 所以与非零向量a共线的单位向量应为 a a 二 典例精析 例 1 2a 8b 4a 2b 的结果是 1 3 1 2 A 2a b B 2b a C b a D a b 答案 B 变式练习 1 若a b c 化简 3 a 2b 2 3b c 2 a b A a B b C c D 以上都不对 解析 3 a 2b 2 3b c 2 a b 3a 6b 6b 2c 2a 2b a 2 b c 又a b c 故原式 a 答案 A 例 2 如图所示 四边形OADB是以向量 a b为邻边的平行四边形 又OA OB BM BC CN CD 试用a b表示 1 3 1 3 OM ON MN 变式练习 1 在本例条件中 试用a b表示 CM 2 设D E F分别是 ABC的三边BC CA AB上的点 且 2DC 2 2 则 与 BD CE EA AF FB AD BF CF BC A 反向平行 B 同向平行 C 互相垂直 D 既不平行也不垂直 答案 A 例 3 设两非零向量a和b不共线 如果 a b 3 a b 2a 8b 求证 A B D三点共AB CD BC 线 变式练习 已知e1 e2是两个不共线的向量 a 2e1 e2 b ke1 e2 若a与b是共线向量 求实数 k的值 解题高手 如图所示 已知平行四边形ABCD的边BC CD的中点分别为K L 且 e1 e2 试用e1 e2表示 AK AL BC CD 三 课后检测 1 已知两不共线的向量a b 若对非零实数 m n有ma nb与a 2b共线 则 m n A 2 B 2 C D 1 2 1 2 解析 ma nb a 2b Error Error m n 1 2 答案 C 2 如图 向量 的终点在同一直线上 且OA OB OC 3 设 p q r 则下列等式中成立的AC CB OA OB OC 是 A r p q B r p 2q 1 2