对称性在初中数学中的运用

对称性在初中数学中的运用 对称 不仅是中学数学内容中一个重要的概念 更是一种重要的思想方 法 在 对称 中往往体现出数学的 美 来 对称性问题是一类用运动的观点 运动的思想去研究图形位置变化或图形 性质的数学问题 有时在代数中若能运用 就更会有独到的效果 这类数学问 题常常要运用 动 的思想去观察 分析 推理 猜想 在运动中寻找不变的 量 从而发现规律 达到解决问题的目的 这类问题一般有两类 一类是根据条件中的图形运动 研究图形在运动过 程中或经过运动后的位置变化与相关性质 另一类是条件中无图形的运动 要 利用运动的思想研究其有关性质 在初中数学中 图形的运动的基本形式有三种 1 平移 包括点的移动 2 图形的翻折 3 图形的旋转 无论哪种运动都有一个极为重要的基 本结论 任何图形经过运动后 其形状 大小都保持不变 即对应边 对应角 都相等 变化的只是图形的位置 这在解题中是潜在的重要前提 下面通过几 个例题进行简单的分析说明 对称性 在解题中的运用 一 初中数学解题中图形的对称性的灵活运用 一 初中数学解题中图形的对称性的灵活运用 例 1 如图 1 ABC 中 AB AC BAC BD 平分 ABC 且与 AC 相交于 0 120 点 D 求 AD DC 的值 A D B C 图 1 分析 读完题目 要抓住 BD 平分 BAC 的条件 将ABD 翻折过来 点 A 落在 BC 边的点处 如图 2 这样 AD 与D 重合 则 AD D 1 A 1 A 1 A 问题就归纳为在DC 中求D DC 的问题 1 A 1 A A D B C 1 A 1 A 解法一 如图 2 在 BC 边上截取一点 使 B BA 1 A 1 A BD 平分 BAC 即 ABD DB 且 BD BD 1 A ABD BD 1 A AD D BD BAC 1 A 1 A 0 120 DC BD 1 A 0 180 1 A 0 60 又 AB AC C B 则 DC 0 30 1 A 0 90 在 Rt DC 中 D DC tgC tg 1 A 1 A 0 30 3 3 AD DC 3 3 F A D B C E 如图 3 解法二 如图 3 过 D 作 DE BC 于 E DF BA 于 F BD 平分 BAC DE DF 同解法一 BAC C B 得到 FAD 0 120 0 30 0 60 在 Rt DEC 中 DE DCsinC DCsin DC 0 30 2 1 在 Rt DAF 中 DF ADsin FAD ADsin AD 0 60 2 3 DC AD AD DC 2 1 2 3 3 3 说明 无论是解法一中作辅助线的作用在于把ABD 翻折过来 还是解法 二种的由对称性导出的角平分线的性质的运用 都是应用了图形的对称性的翻 折的性质解决问题 方法简单便于联想 当然还有其它方法 请读者自己完成 例 2 设 x 的一个二次函数的图象过 A 0 1 B 1 3 C 1 1 三点 求这个二次函数的解析式 思路 如果不仔细观察三个点的坐标特点 设一般式求解 计算就很复杂 但通过观察掌握了三个点的特点 利用点的 对称 性 则达到事半功倍的效 果 解 A 0 1 C 1 1 两点是抛物线上的两个关于对称轴对称的点 所以该抛物线对称轴为 x 结合 A 0 1 是抛物线 y 轴的交点 即函 1 2 数的一般表达式中的常数项应为 1 据此可设所求函数表达式为 Y a x 2 1 1 2 a 4 将 B 1 3 代入求得 a 1 所求函数解析式为 y x2 x 1 例 3 O 的内接四边形 ABCD 的对角线 AC BD 于 P 又 OE AB 于 E 求证 CD 2OE 思路 如何将看似联系不紧密的 OE CD 拉到一起 或者说如何构造 2AE 这里应用 对称 效果就很好 证明 如图 以 O 为中心作 A 关于 O 的对称点 A 则 AA 为直径 连 A B A C 则 A C AC 又 BD AC 故 A C BD 所以 CD A B 另易知 A B 2OE 从而 CD 2OE 例 4 ABC 中 C 2 B 求证 AB2 AC2 AC BC 思路 待证式中出现平方 联想到直角三角形 作 AD BC 有勾股定理 推知 只要证 BD2 CD2 AC BC 移项后整理知 只要证 BD CD AC 证明 如图 作 AD BC 以 D 为中心作 C 关于 D 的对称点 C 则有 AC AC 故 C AC C 又 C 2 B AC C B BAC 于是 B BAC 故 BC AC AC 此时 BD CD BD C D BC AC BC BD CD AC BC BD CD BD CD AC BC BD2 CD2 AC BC AD2 BD2 AD2 CD2 AC BC AB2 AC2 AC BC 命题得证 例 5 已知锐角 AOB P 点位于角的内部 试在角的两边上各确定一点 M N 使 PMN 的周长最小 思路 将三条线围成的封闭折线打开 结合两点间 以线段最短的性质加以研究 解 如图 作 P 点关于 AO 的对称点 P 再作 P 点关于 BO 的对称点 P 由对称性易知 PM P M PN P N 此时 PM MN PN P M MN P N 欲使 周长最小 M N 应在 P P 上 取 M N 点为 P P 与 AO 与 BO 的交点 此时 PMN 的周长最小 E O P A C B A D CDC B A P N M P A B P O 例 6 已知平行四边形 ABCD 中 BC AC 3 AB 2 将平行四边形折叠 633 使 A 点与 C 点重合 求折痕的长度 思路 首先要找出折痕位置 根据 A 与 C 重合 的折叠要求 我们知道折痕为 AC 的中垂线 解 如图 过对角线交点 O 作 EF AC 分别交 AB CD 于 E F 再作 CG AB 交 AB 延长线于 G 设 CG x 在 Rt AGC 中有 3 2 x2 2 233 2 6x 整理得 4x2 12 6 3 2x 3612 2x 3 即 x 3 2 33 所以 CAG 30 在 Rt OAE 中 OE OA tg30 3 3 2 33 于是 EF 2OE 1 3 下面的三个题留作思考题 请读者朋友思考 1 如图 长方形纸片 ABCD 中 AD 9 AB 3 将其折叠 使其点 D 与点 B 重合 点 C 至点 C 折痕为 EF 求 BEF 的面 积 2 已知 O 的半径为 5 两条平行弦长分别为 6 和 8 则两条平行弦间的距离 是 3 矩形 ABCD 中 AB 5 BC 12 将对角线 BD 绕点 B 旋转 点 D 落在 BC 的延长线上的点处 那么 tg BA 的值等于 D D 二 初中数学题型的设计中对称变换法的运用 二 初中数学题型的设计中对称变换法的运用 加强初中数学思想和方法的训练应该落实到平时的教学中 总复习 时应注重双基 注重数学思想方法培养的基础上 能力的培养也必不可少 当然能力的培养是多方面的 这里主要是谈谈如何在题型的设计中 体现 对称变化法 使数学的复习更加有效 达到举一反三 事半功倍的效果 例 1 如图ABC 中 D 为 BC 中点 E 为 AD 中点 连 BE 延长交 AC 于 F 求 AF FC 的值 O G CFD EBA C F ED C B A A F E G B D C 分析 1 要解决这个问题 方法多种 一般地只要过点作相应的平行线 构造 A 字型或 X 字型 通过三角形全等 得到 AF DG 把 AF FC 的问题转化为 DG FC BD BC 1 2 即可 2 学会对称变换 在ADC 中 由 AD 中点 E 就可 对称 的联想到 AC 中点 时 问题得到了变式转化为 如下图在ABC 中 D 为 BC 中点 F 为 AC 中点 连结 BF 交 AD 于 E 求 AE ED 的值 过 F 点作 FG AD 交 BC 于 G 过程请读 者思考后自己完成 A E F B D G C 例 2 如图 G 是 RtABC 斜边 AB 上任意一点 GD AB 于 G 交 BC 的延长线于 D 交 AC 于 F 以 AB 为直径的半圆交 GD 于 E 求证 DGDGFGE 2 E C F A G B 分析 1 要解决本题方法多种 利用基本的三角形的相似即可 如 AFG BDG 得到 再连接 AE BE 易得 BGAG