2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3.1 并集与交集学案 新人教A版必修第一册

1 第第 1 1 课时课时 并集与交集并集与交集 1 理解并集 交集的概念 2 会用符号 venn 图和数轴表示并集 交集 3 会求简单集合的并集和交集 1 并集的概念及表示 2 交集的概念及表示 温馨提示 1 两个集合的并集 交集还是一个集合 2 对于a b 不能认为是由a的所有元素和b的所有元素所组成的集合 因为a与 b可能有公共元素 每一个公共元素只能算一个元素 3 a b是由a与b的所有公共元素组成 而非部分元素组成 3 并集 交集的运算性质 2 并集的运算性质交集的运算性质 a b b aa b b a a a aa a a a aa 1 已知下列集合 a x x2 1 0 b x n n 1 x 4 c 1 1 2 3 4 1 集合a与集合b各有几个元素 2 若将集合a与集合b的元素放在一起 构成一个新的集合是什么 3 集合c中的元素与集合a b有什么关系 答案 1 a有 2 个元素 b有 4 个元素 2 1 1 2 3 4 3 集合a b中的元素属于集合c 2 判断正误 正确的打 错误的打 1 a b表示由集合a和集合b中元素共同组成的集合 2 a b是由属于a且属于b的所有元素组成的集合 3 并集定义中的 或 就是 和 4 若a b c b 则a c 答案 1 2 3 4 题型一并集的运算 典例 1 1 若集合a 0 1 2 3 b 1 2 4 则集合a b等于 a 0 1 2 3 4 b 1 2 3 4 c 1 2 d 0 2 已知集合p x x 3 q x 1 x 4 那么p q等于 a x 1 x 3 b x 1 x 4 c x x 4 d x x 1 思路导引 由并集的定义 结合数轴求解 解析 1 a b 0 1 2 3 4 选 a 2 在数轴上表示两个集合 如图 3 p q x x 4 选 c 答案 1 a 2 c 求集合并集的 2 种方法 1 定义法 若是用列举法表示的数集 可以根据并集的定义直接观察或用 venn 图表 示出集合运算的结果 2 数形结合法 若是用描述法表示的数集 可借助数轴分析写出结果 此时要注意当 端点不在集合中时 应用 空心点 表示 针对训练 1 已知集合a x x 1 x 2 0 b x x 2 x 3 0 则集合a b是 a 1 2 3 b 1 2 3 c 1 2 3 d 1 2 3 解析 a 1 2 b 2 3 a b 1 2 3 答案 c 2 若集合m x 3 x 5 n x x5 则m n 解析 将 3 x 5 x5 在数轴上表示出来 则m n x x 3 答案 x x 3 题型二交集的运算 典例 2 1 设集合a x 1 x 2 b x 0 x 4 则a b等于 a x 0 x 2 b x 1 x 2 c x 0 x 4 d x 1 x 4 4 2 设a x n n 1 x 5 b x r r x2 x 6 0 则如图中阴影部分表示的集合 为 a 2 b 3 c 3 2 d 2 3 思路导引 既属于集合a 又属于集合b的所有元素组成的集合 借助图示方法求 解 解析 1 在数轴上表示出集合a与b 如下图 则由交集的定义可得a b x 0 x 2 选 a 2 a x n n 1 x 5 1 2 3 4 5 b x r r x2 x 6 0 3 2 图中阴影 部分表示的是a b a b 2 选 a 答案 1 a 2 a 求集合交集的 2 个注意点 1 求两集合的交集时 首先要化简集合 使集合的元素特征尽量明朗化 然后根据交 集的含义写出结果 2 在求与不等式有关的集合的交集运算中 应重点考虑数轴分析法 直观清晰 针对训练 3 若a 0 1 2 3 b x x 3a a a 则a b a 1 2 b 0 1 c 0 3 d 3 5 解析 a 0 1 2 3 b x x 3a a a b 0 3 6 9 a b 0 3 答案 c 4 设a x y x y 0 b x y x y 4 则a b 解析 a b x y x y 0 且x y 4 error 解方程组error 得error a b 2 2 答案 2 2 题型三由集合的并集 交集求参数 典例 3 1 设集合a x 1 x a b x 1 x 3 且a b x 1 x 3 求a 的取值范围 2 已知集合a x 3 x 4 b x 2 k x 2k 1 且a b a 试求k的取值 范围 思路导引 1 画出数轴求解 2 若a b a 则b a 若a b a 则a b 解 1 如下图所示 由a b x 1 x 3 知 12k 1 得k 1 若b 则error 解得 1 k 5 2 综上所述 k 5 2 变式 本例 2 若将 a b a 改为 a b a 其他条件不变 求k的取值范 围 解 a b a a b error 解得k 5 6 由集合交集 并集的性质解题的策略 方法及注意点 1 策略 当题目中含有条件a b a或a b b 解答时常借助于交集 并集的定义 及集合间的关系去分析 将a b a转化为a b a b b转化为a b 2 方法 借助数轴解决 首先根据集合间的关系画出数轴 然后根据数轴列出关于参 数的不等式 组 求解即可 特别要注意端点值的取舍 3 注意点 当题目条件中出现b a时 若集合b不确定 解答时要注意讨论b 的 情况 针对训练 5 已知m 1 2 a2 3a 1 n 1 a 3 m n 3 求实数a的值 解 m n 3 3 m 3 n a2 3a 1 3 即a2 3a 4 0 解得a 1 或a 4 当a 1 时 n 1 1 3 与元素的互异性矛盾 所以a 1 当a 4 时 n 1 4 3 适合题意 综上 a 4 6 设集合a x x2 3x 2 0 集合b x x2 4x a 0 a为常数 若 a b a 求实数a的取值范围 解 由已知得a 1 2 a b a b a 集合b有两种情况 b 或b 当b 时 方程x2 4x a 0 无实根 16 4a4 当b 时 若 0 则有a 4 此时b 2 a满足条件 若 0 则 1 2 是方 程x2 4x a 0 的两根 但由根与系数的关系知矛盾 0 不成立 当b 时 a 4 综上可知 a的取值范围是 a a 4 课堂归纳小结 1 对并集 交集概念的理解 1 对于并集 要注意其中 或 的意义 或 与通常所说的 非此即彼 有原则性 的区别 它们是 可兼 的 x a 或x b 这一条件 包括下列三种情况 x a但 x b x b但x a x a且x b 因此 a b是由两个集合a b的所有元素组成的集合 2 a b中的元素是 所有 属于集合a且属于集合b的元素 而不是部分 特别地 当集合a和集合b没有 公共元素时 不能说a与b没有交集 而是a b 7 2 集合的交 并运算中的注意事项 1 对于元素个数有限的集合 可直接根据集合的 交 并 定义求解 但要注意集 合元素的互异性 2 对于元素个数无限的集合 进行交 并运算时 可借助数轴 利用数轴分析法求解 但要注意端点值能否取到 1 设集合a 1 1 2 3 5 b 2 3 4 c x r r 1 x 3 则 a c b a 2 b 2 3 c 1 2 3 d 1 2 3 4 解析 因为a c 1 2 所以 a c b 1 2 3 4 选 d 答案 d 2 集合p x z z 0 x 3 m x r r x2 9 则p m等于 a 1 2 b 0 1 2 c x 0 x 3 d x 0 x2 或x 0 b x x2 或x 0 b x x a b x x 0 或 2 x 5555 a b r r 故选 b 答案 b 4 设集合m x 3 x0 b x 1 x 2 则a b a x x 1 b x x 2 c x 0 x 2 d x 1 x 2 解析 借助数轴易得a b x x 1 答案 a 2 若集合a x 5 x 2 b x 3 x 3 则a b a x 3 x 2 b x 5 x 2 c x 3 x 3 d x 5 x 3 解析 由交集的定义知a b x 5 x 2 x 3 x 3 x 3 x 2 故选 a 答案 a 3 a x n n 1 x 10 b x r r x2 x 6 0 则右图中阴影部分表示的集合为 a 2 b 3 c 3 2 d 2 3 解析 注意到集合a中的元素为自然数 因此a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 而 b 3 2 因此阴影部分表示的是a b 2 故选 a 答案 a 4 设集合a a b b a 1 5 若a b 2 则a b等于 a 1 2 b 1 5 c 2 5 d 1 2 5 解析 a b 2 2 a 2 b a 1 2 a 1 b 2 即a 1 2 b 2 5 9 a b 1 2 5 故选 d 答案 d 5 设集合a x 1 x 2 b x x a 若a b 则a的取值范围是 a a 2 c a 1d 1 a 2 解析 a x 1 x 2 b x x 1 答案 c 二 填空题 6 满足 0 1 a 0 1 2 的所有集合a的个数为 解析 由 0 1 a 0 1 2 可知a 2 或a 0 2 或a 1 2 或a 0 1 2 共 4 个 答案 4 7 已知集合a x x 3n 2 n n n b 6 8 10 12 14 则集合a b中元素的个 数为 解析 集合a的含义是被 3 除余 2 的正整数组成的集合 在集合b中 8 14 被 3 除 余 2 故a b 8 14 其中有 2 个元素 答案 2 8 已知集合a x 2 x 7 b x m 1 x 2m 1 若a b b 则实数m的取 值范围是 解析 由a b b得b a 当b 时 即m 1 2m 1 解得m 2 当b 时 error 解得 2 m 4 综上可知 m的取值范围是m 4 答案 m 4 三 解答题 9 已知集合a x 2 x 4 b x x m 0 1 若a b 求实数m的取值范围 2 若a b a 求实数m的取值范围 解 1 a x 2 x 4 b x x m 又a b m 2 10 2 a x 2 x 4 b x x m 由a b a 得a b m 4 10 设集合a 2 b x ax 1 0 a r r 若a b a 求a的值 解 a b a b a a 2 b 或b 当b 时 方程ax 1 0 无解 此时a 0 当b 时 此时a 0 则b 1 a a 即有 2 得a 1 a 1 a 1 2 综上 a 0 或a 1 2 综合运用 11 设s x x5 t x a x a 8 若s t r r 则实数a应满足 a 3 a 1d a 1 解析 在数轴上表示集合s t如图所示 因为s t r r 由数轴可得error 解得 3 a 1 故选 a 答案 a 12 设a x 3 x 3 b y y x2 t 若a b 则实数t的取值范围是 a t3d t 3 解析 因为b y y t 又因为a b 且a x 3 x 3 所以t 3 答案 a 13 设集合a x 1 x 2 b x 1 x 4 c x 3 x 2 且集合 a b c x a x b 则a b 解析 b c x 3 x 4 a b c a b c a 由题意 x a x b x 1 x 2 a 1 b 2 11 答案 1 2 14 高一某班 60 名同学参加跳远和铅球测试 及格人数分别为 40 人和 31 人 这两项 均不及格的人数有 4 人 则两项都及格的人数为 解析 设所求人数为x 则由题意知 40 31 x 4 6