2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 集合的概念学案 新人教A版必修第一册

1 第第 1 1 课时课时 集合的概念集合的概念 1 了解集合与元素的含义 2 理解集合中元素的特征 并能利用它们进行解题 3 理解集合与元素的关系 4 掌握数学中一些常见的集合及其记法 1 元素与集合的概念及表示 1 元素 一般地 把研究对象统称为元素 元素常用小写的拉丁字母a b c 表 示 2 集合 把一些元素组成的总体叫做集合 简称为集 集合通常用大写的拉丁字母 a b c 表示 3 集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的 就称这两个集合是相等的 2 元素的特性 1 确定性 给定的集合 它的元素必须是确定的 也就是说 给定一个集合 那么任 何一个元素在不在这个集合中就确定了 简记为 确定性 2 互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的 也就是说 集合中的元素是不重复 出现的 简记为 互异性 3 无序性 给定集合中的元素是不分先后 没有顺序的 简记为 无序性 温馨提示 集合含义中的 研究对象 指的是集合的元素 研究集合问题的核心即研 究集合中的元素 因此在解决集合问题时 首先要明确集合中的元素是什么 集合中的元 素可以是数 点 也可以是一些人或一些物 3 元素与集合的关系 1 属于 如果a是集合a的元素 就说a属于集合a 记作a a 2 不属于 如果a不是集合a的元素 就说a不属于集合a 记作a a 温馨提示 1 符号 刻画的是元素与集合之间的关系 对于一个元素a与 一个集合a而言 只有 a a 与 a a 这两种结果 2 和 具有方向性 左边是元素 右边是集合 形如 r r 0 是错误的 4 常用的数集及其记法 2 1 某中学 2019 年高一年级 20 个班构成一集合 1 高一 3 班 高一 2 班是这个集合的元素吗 2 高二 3 班是这个集合中的元素吗 答案 1 是 2 不是 2 判断正误 正确的打 错误的打 1 本班的高个子同学组成集合 2 联合国常任理事国组成集合 3 由 1 2 2 4 1 组成的集合有五个元素 4 由a b c组成的集合与由b a c组成的集合是同一个集合 答案 1 2 3 4 题型一集合的基本概念 典例 1 判断下列每组对象的全体能否构成一个集合 1 接近于 2019 的数 2 大于 2019 的数 3 育才中学高一 1 班视力较好的同学 4 方程x2 2 0 在实数范围内的解 5 函数y x2图象上的点 思路导引 构成集合的关键是要有明确的研究对象 即元素不能模糊不清 模棱两 可 解 1 3 由于标准不明确 故不能构成集合 2 4 5 能构成集合 对集合含义的理解 3 给定一个集合 那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了 所谓 确定 是指所 有被 研究的对象 都是这个集合的元素 没有被 研究的对象 都不是这个集合的元 素 针对训练 1 下列所给的对象能构成集合的是 填序号 所有的正三角形 比较接近 1 的数的全体 某校高一年级 16 岁以下的学生 平面直角坐标系内到原点距离等于 1 的点的全体 我校教职员工中的年轻人 的近似值的全体 2 解析 能构成集合 其中的元素需满足三条边相等 不能构成集合 因为 比 较接近 1 的标准不明确 所以元素不确定 故不能构成集合 能构成集合 其中的元 素是 某校高一年级 16 岁以下的学生 能构成集合 其中的元素是 平面直角坐标系 内到原点距离等于 1 的点 不能构成集合 因为 年轻 的标准是模糊的 不确定的 故不能构成集合 不能构成集合 因为 的近似值 不明确精确到什么程度 所以不 2 能构成集合 答案 题型二元素与集合的关系 典例 2 1 下列关系中 正确的有 r r q q 3 n n q q 1 223 a 1 个b 2 个 c 3 个d 4 个 2 集合a中的元素x满足 n n x n n 则集合a中的元素为 6 3 x 思路导引 判断一个元素是否为某集合的元素 关键是抓住集合中元素的特征 解析 1 是实数 是无理数 3 3 是自然数 是无理 1 2233 数 故 正确 选 c 2 当x 0 时 2 6 3 0 当x 1 时 3 6 3 1 4 当x 2 时 6 6 3 2 当x 3 时不符合题意 故集合a中元素有 0 1 2 答案 1 c 2 0 1 2 判断元素与集合关系的 2 种方法 1 直接法 如果集合中的元素是直接给出 只要判断该元素在已知集合中是否出现即 可 2 推理法 对于一些没有直接表示的集合 只要判断该元素是否满足集合中元素所具 有的特征即可 此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征 针对训练 2 已知集合a中有四个元素 0 1 2 3 集合b中有三个元素 0 1 2 且元素 a a a b 则a的值为 a 0b 1 c 2d 3 解析 a a a b 由元素与集合之间的关系知 a 3 答案 d 3 用适当的符号填空 已知集合a中的元素x是被 3 除余 2 的整数 则有 17 a 5 a 解析 由题意可设x 3k 2 k z z 令 3k 2 17 得 k 5 z z 所以 17 a 令 3k 2 5 得 k z z 所以 5 a 7 3 答案 题型三集合中元素的特性 典例 3 已知集合a含有两个元素a和a2 若 1 a 则实数a的值为 思路导引 由集合中元素的确定性和互异性切入 解析 若a 1 则a2 1 此时集合a中两元素相同 与互异性矛盾 故a 1 若a2 1 则a 1 或a 1 舍去 此时集合a中两元素为 1 1 故a 1 综上所述a 1 答案 1 变式 1 本例若将条件 1 a 改为 2 a 其他条件不变 求实数a的值 5 2 本例若去掉条件 1 a 其他条件不变 则实数a的取值范围是什么 解 1 若a 2 则a2 4 符合元素的互异性 若a2 2 则a 或a 符合元素的互异性 22 所以a的取值为 2 22 2 根据集合中元素的互异性可知 a a2 所以a 0 且a 1 应用集合元素的特性解题的要点 1 集合问题的核心即研究集合中的元素 在解决这类问题时 要明确集合中的元素是 什么 2 构成集合的元素必须是确定的 确定性 而且是互不相同的 互异性 在书写时可 以不考虑先后顺序 无序性 3 利用集合元素的特性求参数问题时 先利用确定性解出字母所有可能值 再根据互 异性对集合中元素进行检验 要注意分类讨论思想的应用 针对训练 4 已知集合a由三个元素m m2 1 1 组成 若 2 a 求实数m的值 解 2 a m 2 或m2 1 2 则m 2 或m 1 当m 2 时 集合a中的元素为 2 5 1 符合题意 当m 1 时 集合a中的元素为 1 2 1 不满足互异性 舍去 当m 1 时 集合a中的元素为 1 2 1 符合题意 综上知 m 2 或m 1 课堂归纳小结 1 判断一组对象的全体能否构成集合 关键是看研究对象是否确定 若研究对象不确 定 则不能构成集合 2 集合中的元素是确定的 某一元素a要么满足a a 要么满足a a 两者必居其 一 这也是判断一组对象能否 构成集合的依据 3 集合中元素的三种特性 确定性 互异性 无序性 求集合中字母的取值时 一定 6 要检验是否满足集合中元素的互异性 1 已知a r r 且a q q 则a可以为 a b 2 1 2 c 2d 1 3 解析 是无理数 所以 q q r r 222 答案 a 2 若由a2 2019a组成的集合m中有两个元素 则a的取值可以是 a a 0b a 2019 c a 1d a 0 或a 2019 解析 若集合m中有两个元素 则a2 2019a 即a 0 且a 2019 故选 c 答案 c 3 下列各组对象能构成集合的有 接近于 0 的实数 小于 0 的实数 2019 1 与 1 2019 1 2 3 1 a 1 组b 2 组 c 3 组d 4 组 解析 中 接近于 0 不是一个明确的标准 不满足集合中元素的确定性 所以 不能构成集合 中 小于 0 是一个明确的标准 能构成集合 中 2019 1 与 1 2019 是 两个不同的对象 是确定的 能构成集合 注意该集合有两个元素 中的对象是确定的 可以构成集合 根据集合中元素的互异性 可知构成的集合为 1 2 3 答案 c 4 若方程ax2 ax 1 0 的解构成的集合中只有一个元素 则a为 a 4b 2 c 0d 0 或 4 解析 当a 0 时 方程变为 1 0 不成立 故a 0 不成立 当a 0 时 a2 4a 0 a 4 故选 a 答案 a 5 下列说法正确的是 及第书业的全体员工形成一个集合 2019 年高考试卷中的难题形成一个集合 方程x2 1 0 与方程x 1 0 所有解组成的集合中共有 3 个元素 x x 形成的集合中最多有 2 个元素 3 x3x2 7 解析 及第书业的全体员工是一个确定的集体 能形成一个集合 正确 难题 没有明确的标准 不能形成集合 错误 方程x2 1 0 的解为x 1 方程x 1 0 的解为x 1 由集合中元素的互异性知 两方程所有解组成的集合中共有 2 个元素 1 1 故错误 x x 故正确 3 x3x2 答案 课后作业 一 复习巩固 一 选择题 1 下列说法正确的是 a 某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 b 由 1 2 3 和 1 组成的集合不相等 94 c 不超过 20 的非负数组成一个集合 d 方程 x 1 x 1 2 0 的所有解构成的集合中有 3 个元素 解析 a 项中元素不确定 b 项中两个集合元素相同 因集合中的元素具有无序性 所以两个集合相等 d 项中方程的解分别是x1 1 x2 x3 1 由互异性知 构成的集合 含 2 个元素 答案 c 2 已知集合a由x 1 的数构成 则有 a 3 ab 1 a c 0 ad 1 a 解析 很明显 3 1 不满足不等式 而 0 1 满足不等式 答案 c 3 下列各组中集合p与q 表示同一个集合的是 a p是由 2 3 构成的集合 q是由有序数对 2 3 构成的集合 b p是由 构成的集合 q是由 3 14159 构成的集合 c p是由元素 1 构成的集合 q是由元素 1 构成的集合 33 d p是满足不等式 1 x 1 的自然数构成的集合 q是方程x2 1 的解集 解析 由于 c 中p q元素完全相同 所以p与q表示同一个集合 而 a b d 中元 素不相同 所以p与q不能表示同一个集合 故选 c 答案 c 4 已知集合a含有三个元素 2 4 6 且当a a 有 6 a a 则a为 a 2b 2 或 4 c 4d 0 8 解析 若a 2 a 则 6 a 4 a 或a 4 a 则 6 a 2 a 若a 6 a 则 6 a 0 a 故选 b 答案 b 5 由实数 a a a 所组成的集合最多含有的元素个数是 a2 a 1b 2 c 3d 4 解析 当a 0 时 这四个数都是 0 所组成的集合只有一个元素 0 当a 0 时 a error 所以一定与a或 a中的一个一致 故组成的集合中有两个元素 故选 a2 b 答案 b 二 填空题 6 给出下列关系 z z r r 5 n n 1 35 q q r r 3 2 其中 正确的个数为 解析 由 z z r r q q n n 的含义 可知 正确 不正确 故正确的个数为 2 答案 2 7 由a2 2 a 4 组成一个集合a a中含有 3 个元素 则实数a满足的条件是 解析 由元素的互异性 得error 即a 2 且a 1 答案 a 2 且a 1 8 若集合a中含有三个元素a 3 2a 1 a2 4 且 3 a 则实数a的值为 解析 若a 3 3 则a 0 此时a中元素为 3 1 4 满足题意 若 2a 1 3 则a 1 此时a中元素为 4 3 3 不满足元素的互异 性 若a2 4 3 则a 1 当a 1 时 a中元素为 2 1 3 满足题意 当 a 1 时 由 知不合题意 综上可知 a 0 或a 1 答案 0 或 1 三 解答题 9 已知集合a中含有两个元素x y 集合b中含有两个元素 0 x2 若a b 求实 数x y的值 9 解 因为集合a b相等 则x 0 或y 0 当x 0 时 x2 0 b中元素为 0 0 不满足集合中元素的互异性 故舍去 当y 0 时 x x2 解得x 0 或x 1 由 知x 0 应舍去 综上知 x 1 y 0 10 设集合a中含有三个元素 3 x x2 2x 1 求实数x应满足的条件 2 若 2 a 求实数x 解 1 由集合中元素的互异性可知 x 3 且x x2 2x x2 2x 3 解之得x 1 且x 0 x 3 2 由 2 a 知x 2 或x2 2x 2 当x 2 时 x2 2x 2 2 2 2 8 此时a中含有三个元素 3 2 8 满足条件 当x2 2x 2 即x2 2x 2 0 时 2 2 4 1 2 4 8 0 故方程无解 显然x2 2x 2 综上 x 2 综合运用 11 下面有四个命题 集合n中最小的数是 1 若 a不属于n 则a属于n 若a n b n 则a b的最小值为 2 x2 1 2x的解构成的集合有两个元素 其中正确命题的个数为 a 0 个b 1 个 c 2 个d 3 个 解析 最小的数应该是 0 反例 0 5 n 且 0 5 n 当a 0 b 1 时 a b 1 因为元素的互异性 故集合中有一个元素 答案 a 12 若以集合a的四个元