2019-2020学年九年级数学下册 第二十九章 直线与圆的位置关系 29.3 切线的性质和判定教案 （新版）冀教版

29 329 3 切线的性质和判定切线的性质和判定 学习目标 1 掌握判定直线与圆相切的方法 并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明 重 点 2 掌握直线与圆相切的性质 并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明 重点 难点 3 能运用直线与圆的位置关系解决实际问题 教学过程 一 情境导入 约在 6000 年前 美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子 圆形的木盘 你能设计 一个办法测量这个圆形物体的半径吗 二 合作探究 探究点一 切线的性质 类型一 切线的性质的运用 例 1 如图 点o是 bac的边ac上的一点 o与边ab相切于点d 与线段ao相交 于点e 若点p是 o上一点 且 epd 35 则 bac的度数为 a 20 b 35 c 55 d 70 解析 连接od o与边ab相切于点d od ad ado 90 epd 35 eod 2 epd 70 bac 90 eod 20 故选 a 方法总结 此题考查了切线的性质以及圆周角定理 解题时要注意运用切线的性质 注意掌握辅助线的作法 灵活运用数形结合思想 类型二 利用切线的性质进行证明和计算 例 2 如图 pa为 o的切线 a为切点 直线po与 o交于b c两点 p 30 连接ao ab ac 1 求证 acb apo 2 若ap 求 o的半径 3 1 证明 pa为 o的切线 a为切点 oap 90 又 p 30 aob 60 又oa ob aob为等边三角形 ab ao abo 60 又 bc为 o的直径 bac 90 在 acb和 apo中 bac oap ab ao abo aob acb apo 2 解 在 rt aop中 p 30 ap ao 1 即 o的半径为 1 3 方法总结 运用切线进行证明和计算时 一般连接切点与圆心 根据切线的性质转化 已知条件 构造出等量关系求解 类型三 探究圆的切线的条件 例 3 如图 o是 abc的外接圆 ab ac 10 bc 12 p是上的一个动点 过点 bc p作bc的平行线交ab的延长线于点d 1 当点p在什么位置时 dp是 o的切线 请说明理由 2 当dp为 o的切线时 求线段bp的长 解析 1 当点p是的中点时 得 得出pa是 o的直径 再利用 bc pba pca dp bc 得出dp pa 问题得证 2 利用切线的性质 由勾股定理得出半径长 进而得 出ab的长 在 rt abp中再次利用勾股定理即可求出bp的长 解 1 当点p是的中点时 dp是 o的切线 理由如下 ab ac 又 bc ab ac pa是 o的直径 1 2 又 pb pc pba pca pb pc ab ac pa bc 又 dp bc dp pa dp是 o的切线 2 连接ob 设pa交bc于点e 由垂径定理 得be bc 6 在 rt abe中 由勾股 1 2 定理 得ae 8 设 o的半径为r 则oe 8 r 在 rt obe中 由勾股定理 ab2 be2 得r2 62 8 r 2 解得r 在 rt abp中 ap 2r ab 10 bp 25 4 25 2 25 2 2 102 15 2 方法总结 判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手 结合垂径定理与勾股定 理 合理转化已知条件 得出结论 探究点二 切线的判定 类型一 判定圆的切线 例 4 如图 点d在 o的直径ab的延长线上 点c在 o上 ac cd d 30 求 证 cd是 o的切线 证明 连接oc ac cd d 30 a d 30 oa oc 2 a 30 1 60 ocd 90 oc cd cd是 o的 切线 方法总结 切线的判定方法有三种 利用切线的定义 即与圆只有一个公共点的直 线是圆的切线 到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线 经过半径的外端 并且垂 直于这条半径的直线是圆的切线 类型二 切线的性质与判定的综合应用 例 5 如图 ab是 o的直径 点f c是 o上的两点 且 连接ac af af fc cb 过点c作cd af交af的延长线于点d 垂足为d 1 求证 cd是 o的切线 2 若cd 2 求 o的半径 3 分析 1 连接oc 由弧相等得到相等的圆周角 根据等角的余角相等推得 acd b 再根据等量代换得到 aco acd 90 从而证明cd是 o的切线 2 由 推得 dac bac 30 再根据直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜 af fc cb 边的一半即可求得ab的长 进而求得 o的半径 1 证明 连接oc bc dac bac cd af adc 90 ab fc cb 是直径 acb 90 acd b bo oc ocb obc aco ocb 90 ocb obc acd abc aco acd 90 即oc cd 又 oc是 o的半径 cd是 o的切线 2 解 dac bac 30 cd af cd 2 ac 4 在 af fc cb 33 rt abc中 bac 30 ac 4 bc 4 ab 8 o的半径为 4 3 方法总结 若证明切线时有交点 需 连半径 证垂直 然后利用切线的性质构造直 角三角形 在解直角三角形时常运用勾股定理求边长 三 板书设计 1 切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径 2 切线的判定 经过