2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.5.1 全称量词与存在量词学案 新人教A版必修第一册

1 1 1 5 15 1 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 1 能够记住全称量词和存在量词的概念 2 学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题 并判断真假 3 理解全称量词命题 存在量词命题与其否定的关系 能正确对含有一个量词的命题 进行否定 1 全称量词与全称量词命题 2 存在量词与存在量词命题 2 1 x 是命题吗 对任意的x r r x 是命题吗 22 答案 x 不是命题 不能判断真假 而对任意的x r r x 则是命题 22 2 全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和特称量词 答案 命题 正方形是特殊的菱形 该命题中没有全称量词 即全称量词命题不一 定含有全称量词 3 判断正误 正确的打 错误的打 1 在全称量词命题和存在量词命题中 量词都可以省略 2 三角形内角和是 180 是存在量词命题 3 有些三角形没有内切圆 是存在量词命题 4 内错角相等是全称量词命题 答案 1 2 3 4 题型一全称量词命题与存在量词命题 典例 1 判断下列语句是全称量词命题 还是存在量词命题 1 凸多边形的内角和等于 360 2 有的力的方向不定 3 矩形的对角线不相等 4 存在二次函数y ax2 bx c与x轴无交点 思路导引 找命题中的量词及其命题的含义 解 1 可以改为所有的凸多边形的内角和等于 360 故为全称量词命题 2 含有存在量词 有的 故是存在量词命题 3 可以改为所有矩形的对角线不相等 故为全称量词命题 4 含有量词 存在 是存在量词命题 判定命题是全称量词命题还是存在量词命题 主要方法是看命题中含有全称量词还是 存在量词 要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词 这时我们就要根据命题涉及 的意义去判断 针对训练 3 1 用全称量词或存在量词表示下列语句 1 不等式x2 x 1 0 恒成立 2 当x为有理数时 x2 x 1 也是有理数 1 3 1 2 3 方程 3x 2y 10 有整数解 4 若一个四边形是菱形 则这个四边形的对角线互相垂直 解 1 对任意实数x 不等式x2 x 1 0 成立 2 对任意有理数x x2 x 1 是有理数 1 3 1 2 3 存在一对整数x y 使 3x 2y 10 成立 4 若一个四边形是菱形 则所有这样菱形的对角线互相垂直 题型二判断全称量词命题的真 典例 2 判断下列全称量词命题的真假 1 任意实数的平方均为正数 2 函数y kx b为一次函数 3 同弧所对的圆周角相等 4 x r r x2 3 3 解 1 假命题 若这个实数为 0 则其平方为 0 不是正数 所以 任意实数的平 方均为正数 为假命题 2 假命题 当k 0 时 y kx b不是一次函数 为常函数 所以 函数y kx b 为一次函数 是假命题 3 真命题 根据圆周角的性质可知其为真命题 4 真命题 x r r x2 0 故有x2 3 3 成立 判断全称量词命题真假的方法 要判定一个全称量词命题为真命题 需要进行推理证明 或用前面已经学过的定义 定理作证明 而要判断其为假命题 只需举出一个反例即可 针对训练 2 判断下列全称量词命题的真假 1 对每一个无理数x x2也是无理数 2 末位是零的整数 可以被 5 整除 3 x r r 有 x 1 1 4 解 1 因为是无理数 但 2 2 是有理数 所以全称量词命题 对每一个无 22 理数x x2也是无理数 是假命题 2 因为每一个末位是零的整数 都能被 5 整除 所以全称量词命题 末位是零的整数 可以被 5 整除 是真命题 3 当x 0 时 不满足 x 1 1 所以 x r r 有 x 1 1 为假命题 题型三存在量词命题真假的判断 典例 3 判断下列存在量词命题的真假 1 有的集合中不含有任何元素 2 存在对角线不互相垂直的菱形 3 x r r 满足 3x2 2 0 4 有些整数只有两个正因数 解 1 由于空集中不含有任何元素 因此 有的集合中不含有任何元素 为真命 题 2 由于所有菱形的对角线都互相垂直 所以不存在对角线不垂直的菱形 因此存在量 词命题 存在对角线不互相垂直的菱形 为假命题 3 x r r 有 3x2 2 0 因此存在量词命题 x r r 3x2 2 0 是假命题 4 由于存在整数 3 只有正因数 1 和 3 所以存在量词命题 有些整数只有两个正因数 为真命题 判断存在量词命题真假的方法 判断存在量词命题 x m p x 的真假性的关键是探究集合m中x的存在性 若 找到一个元素x m 使p x 成立 则该命题是真命题 若不存在x m 使p x 成立 则 该命题是假命题 针对训练 3 判断下列存在量词命题的真假 1 有些二次方程只有一个实根 2 某些平行四边形是菱形 3 存在实数x1 x2 当x1x 2 12 2 解 1 由于存在二次方程x2 4x 4 0 只有一个实根 所以存在量词命题 有些 二次方程只有一个实根 是真命题 5 2 由于存在邻边相等的平行四边形是菱形 所以存在量词命题 某些平行四边形是菱 形 是真命题 3 当x1 2 x2 1 时有x x 故 存在实数x1 x2 当x1x 为 2 12 22 12 2 真命题 题型四含有量词的命题的应用 典例 4 已知命题 1 x 2 x2 m 0 为真命题 求实数m的取值范围 解 1 x 2 x2 m 0 成立 x2 m 0 对 1 x 2 恒成立 又y x2在 1 x 2 上y随x增大而增大 y x2 m的最小值为 1 m 1 m 0 解得m 1 实数m的取值范围是 m m 1 变式 若把本例中的 改为 其他条件不变 求实数m的取值范围 解 1 x 2 x2 m 0 成立 x2 m 0 在 1 x 2 有解 又函数y x2在 1 x 2 上单调递增 函数y x2在 1 x 2 上的最大值为 22 4 4 m 0 即m 4 实数m的取值范围是 m m 4 求参数范围的 2 类题型 1 全称量词命题的常见题型是 恒成立 问题 全称量词命题为真时 意味着命题对 应的集合中的每一个元素都具有某种性质 所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体 性质 也可以根据函数等数学知识来解决 2 存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论 存在 不存在 是否存在 等语句表述 解答这类问题 一般要先对结论作出肯定存在的假设 然后从肯定的假设出 发 结合已知条件进行推理证明 若推出合理的结论 则存在性随之解决 若导致矛盾 则否定了假设 针对训练 4 是否存在实数m 使不等式m x2 2x 5 0 对于任意x r r 恒成立 并说明理由 解 不等式m x2 2x 5 0 可化为 m x2 2x 5 x 1 2 4 6 要使m x 1 2 4 对于任意x r r 恒成立 只需m 4 即可 故存在实数m使不等式m x2 2x 5 0 对于任意x r r 恒成立 此时需m 4 5 若存在一个实数x 使不等式m x2 2x 5 0 成立 求实数m的取值范围 解 不等式m x2 2x 5 0 可化为m x2 2x 5 令t x2 2x 5 若存在一个实数x使不等式m x2 2x 5 成立 只需m tmin 又t x 1 2 4 tmin 4 m 4 所以所求实数m的取值范围是 m m 4 课堂归纳小结 1 判断全称量词命题的关键 一是先判断是不是命题 二是看是否含有全称量词 2 判定全称量词命题的真假的方法 定义法 对给定的集合的每一个元素x p x 都 为真 代入法 在给定的集合 内找出一个x 使p x 为假 则全称量词命题为假 3 判定存在量词命题真假的方法 代入法 在给定的集合中找到一个元素x 使命题 p x 为真 否则命题为假 1 下列命题中 不是全称量词命题的是 a 任何一个实数乘 0 都等于 0 b 自然数都是正整数 c 对于任意x z z 2x 1 是奇数 d 一定存在没有最大值的二次函数 解析 d 选项是存在量词命题 答案 d 2 下列命题中 存在量词命题的个数是 有些自然数是偶数 正方形是菱形 能被 6 整除的数也能被 3 整除 任意 x r r y r r 都有x2 y 0 a 0b 1 c 2d 3 解析 命题 含有存在量词 命题 可以叙述为 所有的正方形都是菱形 故为全 称量词命题 命题 可以叙述为 一切能被 6 整除的数也能被 3 整除 是全称量词命题 命题 是全称量词命题 故有 1 个存在量词命题 答案 b 3 下列命题是 x r r x2 3 的另一种表述方法的是 7 a 有一个x r r 使得x2 3 b 对有些x r r 使得x2 3 c 任选一个x r r 使得x2 3 d 至少有一个x r r 使得x2 3 解析 x r r x2 3 是全称量词命题 改写时应使用全称量词 答案 c 4 对任意x 8 x a恒成立 则实数a的取值范围是 解析 对于任意x 8 x a恒成立 大于 8 的数恒大于a a 8 答案 a 8 5 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题 并判断其真假 1 x r r x 2 0 2 存在一个实数 使等式x2 x 8 0 成立 3 在平面直角坐标系中 任意有序实数对 x y 都对应一点 解 1 存在量词命题 x r r x 0 x 2 2 不存在x r r 使 x 2 0 故命题为假命题 2 存在量词命题 x2 x 8 2 0 命题为假命题 x 1 2 31 4 3 在平面直角坐标系中 任意有序实数对 x y 与平面直角坐标系中的点是一一对应 的 所以该命题是真命题 课后作业 八 复习巩固 一 选择题 1 下列量词是全称量词的是 a 至少有一个b 存在 c 都是d 有些 答案 c 2 下列命题 中国公民都有受教育的权利 每一个中学生都要接受爱国主义教育 有人既能写小说 也能搞发明创造 任何一个数除 0 都等于 0 8 其中全称量词命题的个数是 a 1b 2 c 3d 4 解析 都是全称量词命题 是存在量词命题 答案 c 3 下列命题是存在量词命题的是 a 一次函数的图象都是上升的或下降的 b 对任意x r r x2 x 10b x y r r x2 y2 0 c x q q x2 q qd x z z 使x2 1 解析 首先 d 项是存在量词命题 不符合要求 a 项不是真命题 因为当x 0 时 x2 0 b 项也不是真命题 因为当x y 0 时 x2 y2 0 只有 c 项是真命题 同时也是 全称量词命题 答案 c 5 下列四个命题中 既是全称量词命题又是真命题的是 a 斜三角形的内角是锐角或钝角 b 至少有一个实数x 使x2 0 c 任意无理数的平方必是无理数 d 存在一个负数x 使 2 1 x 解析 只有 a c 两个选项中的命题是全称量词命题 且 a 显然为真命题 因为是 2 无理数 而 2 2 不是无理数 所以 c 为假命题 2 答案 a 二 填空题 6 任意一个不大于 0 的数的立方不大于 0 用 或 符号表示为 解析 命题 任意一个不大于 0 的数的立方不大于 0 表示只要小于等于 0 的数 它的立方就小于等于 0 用 符号可以表示为 x 0 x3 0 9 答案 x 0 x3 0 7 给出下列四个命题 y xy 1 矩形都不是梯形 x y r r x2 y2 1 等腰三角形的底边 1 x 的高线 中线重合 其中全称量词命题是 解析 是全称量词命题 是存在量词命题 答案 8 四个命题 x r r x2 3x 2 0 恒成立 x q q x2 2 x r r x2 1 0 x r r 4x2 2x 1 3x2 其中真命题的个数为 解析 当x 1 时 x2 3x 2 0 故 为假命题 因为x 时 x2 2 而 2 为无理数 故 为假命题 因为x2 1 0 x r r 恒成立 故 为假命题 原不等 2 式可化为x2 2x 1 0 即 x 1 2 0 当x 1 时 x 1 2 0 故 为假命题 答案 0 三 解答题 9 判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题 并判断真假 1 存在x 使得x 2 0 2 矩形的对角线互相垂直平分 3 三角形的两边之和大于第三边 4 有些素数是奇数 解 1 存在量词命题 如x 2 时 x 2 0 成立 所以是真命题 2 全称量词命题 因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直 所以全称量词命题 矩形的对角线互相垂直平分 是假命题 3 全称量词命题 因为三角形的两边之和大于第三边 所以全称量词命题 三角形的 两边之和大于第三边 是真命题 4 存在量词命题 因为 3 是素数 3 也是奇数 所以存在量词命题 有些素数是奇数 是真命题 10 用量词符号 表述下列命题 并判断真假 1 所有实数x都能使x2 x 1 0 成立 2 对所有实数a b 方程ax b 0 恰有一个解 3 一定有整数x y 使得 3x 2y 10 成立 4 所有的有理数x都能使x2 x 1 是有理数 1 3 1 2 解 1 x r r 使x2 x 1 0 真命题 10 2 a b r r 使ax b 0 恰有一解 假命题 如当a 0 b 0 时 该方程的解有 无数个 3 x y z z 使 3x 2y 10 真命题 4 x q q 使x2 x 1 是有理数 真命题 1 3 1 2 综合运用 11 下列命题中 是全称量词命题且是真命题的是 a 对任意的a b r r 都有a2 b2 2a 2b 20 则 x0满足关于x的方程ax b 的充要条件是 a x r