因式分解掌握方法与技巧

因因式式分分解解 一 因式分解的技巧一 因式分解的技巧 1 首选提取公因式法 即首先观察多项式中各项有没有公因式 若有 则先提首选提取公因式法 即首先观察多项式中各项有没有公因式 若有 则先提 取公因式 再考虑其他方法 取公因式 再考虑其他方法 2 当多项式各项无公因式或已提取公因式时 应考察各多项式的项数 当多项式各项无公因式或已提取公因式时 应考察各多项式的项数 1 当项数为两项或可看作两项时 考虑利用平方差公式 当项数为两项或可看作两项时 考虑利用平方差公式 a2 b2 a b a b 2 当项数为三项时 可考虑完全平方公式 十字相乘法 求根公式法 当项数为三项时 可考虑完全平方公式 十字相乘法 求根公式法 配方法 配方法 3 当项数为四项或四项以上时 可考虑分组分解法 当项数为四项或四项以上时 可考虑分组分解法 a 当项数为四项时 可按公因式分组 也可按公式分组 当项数为四项时 可按公因式分组 也可按公式分组 b 当项数为四项以上时 可按次数分组 即可将次数相同的项各分为一组 当项数为四项以上时 可按次数分组 即可将次数相同的项各分为一组 3 以上两种思路无法进行因式分解时 这时考虑展开后分解或拆 添 项后以上两种思路无法进行因式分解时 这时考虑展开后分解或拆 添 项后 再分解 再分解 二二 因式分解的方法 因式分解的方法 一 提公因式法 一 提公因式法 方法介绍 如果一个多项式的各项都含有公因式 那么就可以把这个公因方法介绍 如果一个多项式的各项都含有公因式 那么就可以把这个公因 式提出来 从而将多项式化成两个因式乘积的形式 式提出来 从而将多项式化成两个因式乘积的形式 例例 1 分析 分析 此多项式各项都有公因式此多项式各项都有公因式 x 因此可提取公因式 因此可提取公因式 x 二 应用公式法 二 应用公式法 方法介绍 应用乘法公式 将其逆用 从而将多项式分解因式 如果是两方法介绍 应用乘法公式 将其逆用 从而将多项式分解因式 如果是两 项的考虑平方差公式 如果是三项的考虑用完全平方公式 项的考虑平方差公式 如果是三项的考虑用完全平方公式 例例 2 分析 分析 此多项式看作两项 正好符合平方差公式 因此可利用平方差公式分解 此多项式看作两项 正好符合平方差公式 因此可利用平方差公式分解 解 解 例例 3 分析 分析 此多项式有三项 正好符合完全平方公式 因此考虑用完全平方公此多项式有三项 正好符合完全平方公式 因此考虑用完全平方公 式分解 式分解 解 解 三 分组分解法 三 分组分解法 方法介绍 分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一 分组的目的方法介绍 分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一 分组的目的 是为提取公因式 应用乘法公式或其它方法创造条件 以便顺利地达到分解因是为提取公因式 应用乘法公式或其它方法创造条件 以便顺利地达到分解因 式的目的 下面介绍八种常见的思路 式的目的 下面介绍八种常见的思路 1 按公因式分组 按公因式分组 例例 4 分析 分析 此题有四项 考虑将它们分组 其中第此题有四项 考虑将它们分组 其中第 1 2 项有公因式项有公因式 m 第 第 3 4 项有公因式项有公因式 p 可将它们分别分为一组 可将它们分别分为一组 解 解 2 按系数特点分组 按系数特点分组 例例 5 分析 分析 观察系数特点第一 二项和第三 四项的系数比为观察系数特点第一 二项和第三 四项的系数比为 1 2 所以可考虑 所以可考虑 将第一 二项和第三 四项分为一组 或第一 三项和第二 四项分为一组 将第一 二项和第三 四项分为一组 或第一 三项和第二 四项分为一组 解 解 3 按字母次数特点分组 按字母次数特点分组 例例 6 分析 分析 此题有一次项 也有二次项 可将一次项分为一组 二次项分为一此题有一次项 也有二次项 可将一次项分为一组 二次项分为一 组 组 解 解 4 按公式特点分组 按公式特点分组 例例 7 分析 分析 此题可将第此题可将第 2 3 4 项分为一组 运用完全平方公式 再从整体项分为一组 运用完全平方公式 再从整体 上运用平方差公式 上运用平方差公式 解 解 5 拆项分组 拆项分组 例例 8 分析 分析 为了便于运用乘法公式 可将为了便于运用乘法公式 可将 3 拆成拆成 4 1 再适当分组 达到因式 再适当分组 达到因式 分解的目的 分解的目的 解 解 7 换元分组 换元分组 例例 9 分析 分析 观察代数式中的观察代数式中的 x y xy 可考虑用换元法 使之结构简化 再分可考虑用换元法 使之结构简化 再分 组 组 解 解 则 则 四 待定系数法 四 待定系数法 方法介绍 首先判断出分解因式的形式 然后设出相应整式的字母系数 方法介绍 首先判断出分解因式的形式 然后设出相应整式的字母系数 求出字母系数 从而把多项式因式分解 求出字母系数 从而把多项式因式分解 例例 10 分析 分析 观察这个多项式没有一次因式 因而只能分解为两个二次因式 观察这个多项式没有一次因式 因而只能分解为两个二次因式 解 解 利用恒等式的性质可得 利用恒等式的性质可得 五 十字相乘法 五 十字相乘法 方法介绍 对于方法介绍 对于 mx2 px q 形式的多项式 如果形式的多项式 如果 ab m cd q 且且 ac bd p 则多项式可因式分解为 则多项式可因式分解为 ax d bx c 例例 11 分析 分析 这是一个三项式 它不符合完全平方公式 因此可考虑用十字相乘法分这是一个三项式 它不符合完全平方公式 因此可考虑用十字相乘法分 解因式 解因式 解 解 六 巧用换元法 六 巧用换元法 方法介绍 对于较复杂的一些多项式 通过适当的换元 可达到减元降次 方法介绍 对于较复杂的一些多项式 通过适当的换元 可达到减元降次 化繁为简的目的 化繁为简的目的 1 取相同部分换元取相同部分换元 例例 12 分析 分析 若将上式展开 得到一个四次多项式 更加难分解了 如将若将上式展开 得到一个四次多项式 更加难分解了 如将 m2 5m 看作一个整体 这样乘积得到的式子就简化了 看作一个整体 这样乘积得到的式子就简化了 解 解 三 分解因式 三 分解因式 1 2 234 352xxx 26 33xx 3 4 5 22 2 4 2 25xyyx 22 414yxyx xx 5 6 7 8 1 3 x 2 axabaxbxbx 2 8118 24 xx 9 10 24 369yx 24 4 3 2 1 xxxx 1 x p 2 x q 2 2 16 a b 2 9 a b 2 1 2 3 4 21112 2 xx 675 2 xx 215 2 xx 4256 2 xx 5 6 7 4254 xx 4255 2 xx 307 2 xx 8 9 10 11 25309 2 xx 6197 2 xx 20920 2 xx 93936 2 xx 12 13 14 4359 24 xx 4379 24 xx 22 22021417yyxx 15 16 1232 22 yyxxyxy cabcbabca 3223 20920 17 18 1212 33 xxxx baaba24 23 19 20 2222 1baba yzyzyx 22 21 22 23 4bayxyx 1 23 aabba 23 24 xxxx2121 33 3649 2222 yxyx 25 26 22 822baba 222 2zyzyx 27 28 4224 2bbaa 22 1yxxy 29 30 acbcabcba222 222 1444 2 baba 31 32 222 2zyzyx 12 2 baaba 33 34 22 2cbacbcab baaxb2 22 35 36 1222 2 yxxyx 122 22 yxyxyxy 37 38 abxybayx244 2222 4914 2 xx 39 40 169 2 xx 121669 2 xx 41 42 xx12136 2 22 16249baba 43 44 2 9 4 15 4 2 25 1 yxyx 422 16249yxyx 4