第三章 中值定理习题参考答案

1 习题 3 1 A 1 3 4 2 1 4 5 提示 令 满足罗尔定理上 验证在 1 0 234 xFxcbacxbxaxxF 6 提示 1 1 2 arccosarcsin 上为常数在证明令 xFxxxF 7 提示 理上应用拉格朗日中值定在令abxxF n 8 提示 ln 理上应用拉格朗日中值定在令abxxF 9 提示 xxxxxxxFcos sin 3221 再利用理上应用拉格朗日中值定分别在令 0 上的单调递减性在 10 提示 再用罗尔定理内有根在内有根在用零点定理证明 21 1 2 1 2 1 0 xf 证明 1 0 21 内有根在 xf 习题 3 1 B 1 提示 令 满足罗尔定理上 验证在 1 0 2 21 0 xFx n a x a xaxF nn 2 提示 令 xn n a x a xaxF n 12sin 12 3sin 3 sin 2 1 满足罗尔定理上验证在 1 0 xF 3 提示 0 0 21211 以此类推使 存在使由罗尔定理存在 fbfba 4 提示 0 211 bcfca 存在有证明存在由拉格朗日中值定理可 0 212 理上利用拉格朗日中值定在再对有 xff 5 提示 0 0 0 1 0 11 GG又因为 使由罗尔定理存在 0 1 上验证罗尔定理在对 x G 6 内 证明 在内二阶可导 且上连续 在在设 1 0 0 1 0 1 0 1 0 ffxf 2 1 2 2 1 1 f f f f得使分别存在 提示 使由罗尔定理存在设0 1 0 1 1 11 fxfxxF 0 1 0 1 1 在使存在所以 F 1 0 1 2 上二次应用罗尔定理在设xfxxF 7 提示 432 35 xFcbxaxxxF 上有根 再证明在用零点定理证明 上无零点在 8 提示 值定理上 所以由拉格朗日中在直线因为ABcfc 使得存在 2121 f cb cfbf ac afcf fbcca 21 上利用罗尔定理在再对baxf 9 提示 考虑 为常数先证明x e xf x x 10 提示 1 0 单调内有根 并证明在用零点定理证明令xFxFxxfxF 11 提示 0 k af af k af aaxf可证明上用拉格朗日中值公式在对 12 提示 1 利用柯西中值定理令 x xG x xf xF 习题 3 2 A 1 1 2 3 1 8 1 1 12 11 10 1 9 3 1 8 2 1 7 6 2 1 5 1 4 3 3 3 1 ee 2 简答 但若用洛必达法则 0 1 sinlim 1 sin lim sin 1 sin lim 0 2 0 2 0 x x x x x x x x xxx x x x x sin 1 sin lim 2 0 因为不能用洛必达法则 x xx x x cos 1 cos 1 sin2 lim 0 不存在 所以 x x 1 coslim 0 习题 3 2 B 1 n aaa e e 21 8 1 7 0 6 2 5 2 1 4 3 2 3 128 1 2 4 1 1 2 36 3 3 简答 x x x xx x xx x x x xx x x eee e x xf 2 1 1 1 lim 1ln lim 1 1ln 1 1 00 1 1 0000 00 2 00 lim 1 lim lim 0 2 1 1 2 1 lim 2 00 fee x x 4 简答 2lim 0 lim 0 lim 1 ln lim ln 00 00 2 00 2 00 00 lim xfxff x xf f xfx xf xf x xxf x x x x x eeeee 题设 1 0 e 5 a f 6 0 1 ga 0 1 0 2 1 0 cos sin 2 2 xg x x xxgxxgx xf 3 处处连续 习题 3 3 1 432 4 4 11 4 37 4 2156 xxxxxf 2 193045309 23456 xxxxxxxf 3 40 cos3 2 sinsin 3 1 tan 4 5 2 3 x x xx xxx 4 10 4 4 16 4 4 15 4 512 1 4 64 1 4 4 1 2 4 32 x x xxxx 5 10 1 21 3 2 n n x xO n xx xxxe 6 645 1 e 7 4 3 05 3 3 103 1 3090 0 18sin 2 1088 1 10724 3 30 1 RR 8 12 1 3 2 1 2 2 3 1 习题 3 4 A 1 单调减少 2 单调增加 4 3 2 3 2 3 1 内单调下降在内单调上升 在 2 2 0 2 内单调增加在内单调减少 在 3 内单调增加在 2 1 2 1 4 内单调增加在内单调减少 在 0 5 内单调下降在上单调上升 在 nn 4 1 提示 利用函数的单调性证明 令xxxf 1 2 1 1 2 提示 利用函数的单调性证明 令 22 1 1ln 1 xxxxxf 3 提示 利用函数的单调性证明 令 3 3 1 tan xxxxf 4 提示 利用函数的单调性证明 令 2 2 xxf x 5 提示 用零点定理证明有根 用单调性证明其根唯一 令xxxfcos xf 6 提示 的符号来说明用求出xfxf 7 1 凸 2 凹 3 4 凹内凸内凹 在在 0 0 8 内凹 拐点内凸 在 在 82 2 2 1 内凹 拐点内凸 在 在 2 2 2 2 2 2 e 内凹 无拐点 在 3 内凹 拐点 内凸 在 在 2ln1 2ln1 11 1 1 4 内凸 拐点内凹 在 在 3arctan 2 1 2 1 2 1 5e 凹 拐点 凸 在 在 001 0 1 1 0 1 6 9 2 9 3 2 ba 10 a 3 b 9 c 8 11 a 1 b 3 c 24 d 16 12 简答 由极限的保号性可知或则无论设 00 0 lim 0 0 0 kkk xx xfxf xx 0 左右异号在 xx f 5 习题 3 4 B 1 1 2 1 1 2 1 0 0 1 内单调增加在内单调减少 在 22 32 32 2 2 内单调下降在内单调上升 在 kkkk 3 2 3 2 3 内单调下降在内单调上升 在aaaa 2 1 3 1 0 2 1 1 是有一个实根时有两个实根时无实根 e a e a e a 3 2 0 内只有一个实根在 4 1 提示 利用函数的单调性证明 令xxxxf2tansin 2 提示 1 2lnln 2 1 1ln 是极小值 证明令fxxxf 3 提示 证明中可利用利用函数的单调性证明令 1ln 1 1 xxexf x 0 xfxf来证明 4 提示 证明中注意 2 1 arctan 利用函数的单调性证明令 x xxf 0 f 5 提示 212 2 1 利用函数的单调性证明令 x x xxf 6 2 2 12 2 xxx exfxaexfaxxexf证明 令 2ln0 xxf可得由 的极小值 是从表中可见 2lnx f 单调递增 即时所以当 0 2ln1 2 2 ln 2lnxfafxfx 0 0 题设得证从而 fxf 5 证明 22 ax afxfaxxf ax xfaxxf x 0 2 xa ax fxf ax axfaxxf 6 提示 用 5 题的方法证明 6 7 提示 0 上的极小值在是证明根据baxfcfxfcx 8 9 32 0实根时 方程有且仅有一个及当 kk 9 凹 拐点凹 在 2 abbb 10 略 11 略 12 8 2 k 习题 3 5 A 1 1 2 5 0 1 yy极小值极大值 0 0 4 2 2 2 yey极小值极大值 25 16 1 4 3 yy极小值极大值 205 10 1 5 12 4 y极大值 4 5 4 3 5 y极大值 0 0 6 y极小值 7 没有极值 8 1 e eey 极大值 3 1 9 y极大值 0 5 1 18 8 81 2 1 10 3 yyy极小值极大值 2 14 2 11 3 1 yy最小值最大值 22 2ln 2 1 2 1 2 1 yeey最小值最大值 2 ln 4 1 0 1 3 yy最小值最大值 3 提示 可导函数的极值点必为驻点 在题设条件下无驻点所以可证明 y 4 29 1 y最大值 5 27 3 y最小值 6 3 3 2 2为极大值 fa 7 7 2 1 2 ba 8 长为 100m 宽为 5m 9 1 1 2 2 2 33 hd v h v r 10 44 aa 正方形周长为圆的周长为 11 3 8 4 3 aah 时 最小体积为锥体的高为 12 22 1 7 7 6 小时时间为公里处应在公路右方 13 6000 2 1000 1 xx 14 45060075 3 元件 每天最大利润为元 进货量为定价为 15 167080 101 利润 p 习题 3 5 B 1 1 0 4 3 4 1 dcba 2 x 1 为极小点 y 1 1 为极小值 3 当 c 1 时 a 0 b 3 当 c 1 时 a 4 b 5 4 296 23 xxxxP 5 1 f x 在 x 0 处连续 2 当时 f x 取极小值 当 x 0 时 f x 取极大值 e x 1 6 时 三角形面积最小 3 1 0 x当 7 3 2 3 2 11 1 0 3 0 2 0 lxx xx y 8 122 2 bbbb时为当时为当 9 400 10 b ca 2 11 c ae bd L ae bd q 4 2 1 2 最大利润 eq edd 2 8 e d q 2 1 3 得当 12 2 2 4 2 5 1 ttx 13 156250 元 14 1 263 01 吨 2 19 66 批 年 3 一周期为 18 31 天 4 22408 74 元 15 2 2 1 1 1 1 1 e nn n nM n 16 提示 1 1 ln 1 22 是极小值 证明令fxxxxf 习题 3 6 A 1 1 x 0 y 1 2 x 1 y 0 3 x 1 x 1 y 0 4 x 1 x 2 x 3 2 略 习题 3 6 B 1 e xy e x 1 1 1 2 x 1 x 1 y 2 3 y x x 0 4 y 2 x 0 4 1 2 1 2 1 5 xyx 2 略 习题 3 7 A 1 k 2 2 xxksec cos 3 0 2sin3 2 ta k 4 a a kt4 4 1 5 2 33 2 2ln 2 2 处曲率半径有最小值 习题 3 7 B 1 略 2 2 2 3 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 xayyaxaxyR曲率圆心 3 8 2 3 22 4 约 1246 N 提示 作匀速圆周运动的物体所受的向心力为 R mv F 2 5 16 125 4 9 4 10 22 9 习题 3 8 1 19 0 18 0 2 19 0 20 0 3 33 0 32 0 4 51 2 50 2 总习题三 一 1 B 2 B 3 B 4 D 5 C 6 B 7 C 8 B 9 C 10 C 二 2 5 8 82 7 0 1 6 3 5 6 3 4 2 2 2 2 3 2ln 1 2 2 1 3 scm x x x x e y xy 4 1 1 4 10 9 22 22 三 9 3 0 2 3 1 7 54 1 6 50 40 31 2 2 1 1 2 3 e 0 1 0 2 1 0 1 1 8 2 xg x x exxgxgx xf x 上连续在 2 x f 9 略 四 证明题和应用题 1 提示 2 1 0 1 1 是最小值是最大值 证明令fffxxxf pp 2 提示 ln ln 明 利用函数的单调性证令xaaaxaxf 3 提示 1 0 1 2 arcsinarctan2 2 fxf x x xxf 且有 证明令 4 提示 0 ln xf证明 5 提示 令 xx xf 1 1ln 1 内单调递减 在证明 1 0 xf 1 0 fxff 所以 10 6 027 0 025 0 2 450 449 1 7 2 2 ba P 8 12ln 3 1 2ln 3 1 2 1 9 82 0 13 3 17 3 2 20 1 总收益增加 时 若价格上涨当 p p p 10 略 第三章 作业 仅供参考 习题 3 1 A 1 2