对称美在数学解题教学中的应用

1 对称美在数学解题教学中的应用 济水一中郑艳霞 初中数学课本上讲过轴对称 中心对称等 而且这些对称的数 学名词 抽象于大千世界 现实生活中的对称现象比比皆是 自然 形成的 人类创造的 把世界装扮的无比美丽 然而 对称不仅仅 是一种现象 也是一种思想 一种哲学思想 20 多年前 毛主席会见李政道博士时 毛主席问 为什么 对 称 是您的一种指导思想 李政道先生回答 我所说的对称 是平 衡 是指世上万物 一切都处在它应该处在的位置上 他还表演了 一个小演示 他把一张纸倾斜着 让一支笔向下滚去 在笔滚动过 程中 他把值得倾斜方向改变 使笔滚了回来 他说 有 去 就有 回 去 与 回 就是一个对称 就像有 矛 就有 盾 矛和盾是对立的 但有互相依存 共存于一个统一体内 依据一定 条件向对方转化 这是一种思想 广义对称思想 孙维刚的理 论 如果我们能把这种思想运用在我们的教学中 可使思维高瞻远 瞩 下面举例谈谈我的浅显认识 如图 已知 A 30 C 25 试求 ADC 的度数 解法一 延长 AD 交 BC 于点 E 再根据三角形外角的性质很容 2 易解决 若延长 CD 交 AB 于一点 也完全可以解决 因为线段 AD 和 CD 所处的地位是平衡的 即对称的 所以他们应有相同的作用 解法二 过点 D 作 BC 的平行线交 AB 于点 E 再利用平行线 的性质和三角形外角的知识容易解决 显然 线段 AB 的地位和 BC 是平衡的 对称的 所以过点 D 作线段 AB 的平行线 会起到同样 的效果 解法三 过点 A 作 DC 的平行线交 BC 的延长线于点 E 在根 据平行线的性质和三角形的内角和容易解决 同样 发现线段 AD 和线段 CD 的地位是平衡的 对称的 以及点 A 和点 C 的位置也是 平衡的 对称的 所以过点 C 作 AD 的平行线交 BA 的延长线于一 点 会起到一样的效果 再来看 解法二和解法三 看起来是两种不同的解法 其实有 着千丝万缕的联系 初中研究的是凸多边形 不研究凹多边形 就 像 去 和 回 凸和凹也是一个对称 它们的地位是平衡的 就 是对称的 线段 AB 和 CD 是凸出去的边 线段 AD 和 CD 凹进去 的边 它们的地位是平衡的 对称的 所以有同样的功能 再让我们宏观观察上述解法 可以统一为割补法 割 和 补 也是一种对称 能割就能补 如图 AC 平分 BAD CE AB BC CD ADC B 180 试探究线段 2AE 与 AB AD 的数量关系 3 解法一 由于已知条件中 有角平分线 所以根据角平分线的 性质 马上想到过点 C 作 AD 的垂线段 在角平分线的两边构造对 称全等 其实 我们也可以这样思考 观察图形 发现线段 AD 和 线段 AB 平等的位居于角平分线的两侧 它们是对称的 既然线段 AB 上已经有了垂线段 CE 线段 AD 上也应有垂线段 起到补短的 作用 解法二 进一步思考 我们还可以在长线段 AB 上构造出和线 段 AD 一样的线段 从而在角平分线 AC 两旁构造对称全等 起到 了截长的作用 解法三 以 CE 为对称轴在 CE 的左边构造和 CEB 全等的三 角形 可归为截长 解法四 还是以 CE 为对称轴在 CE 的右边构造和 ACE 全等 的三角形 可归为补短 以上解法看似不同 其实可以归一 尽管构造的角度不同 都 充分利用了图形中隐含部分线段或图形的对称性在添加辅助线构造 对称全等 也与我们常说的截长补短呼应 而 截长 与 补短 也是一种对称 1998 年 据说在北京大学学生中间风靡一本书叫 可怕的对称 作者美国 阿 热 这是阐释 对称 如何奠定现代物理学上的 4 思想和美学的基础的第一本书 通过这本书 我们可以从身边左右 对称的活生生的形式深入到大自然基本规律的深刻而抽象的对称 展现了 对称 是如何规划大自然的宏伟构造的 人类研究的各个领域 无不来源于这个世界 这个世界的 对 称 即平衡 和谐无处不在 数学的美就体现在它的高度的严谨和 合理而达到内在和谐 这种合理和和谐 正是数学科学的广义的对 称 在数学教学中 数学思想的建构无比重要 是授人以渔的一个 方向 刚看到 广义对称 这