2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4.2.1 正弦函数、余弦函数的性质（一）学案 新人教A版必修第一册

1 第第 1 1 课时课时 正弦函数 余弦函数的性质正弦函数 余弦函数的性质 一一 1 了解周期函数 周期 最小正周期的定义 2 会求函数y asin x 及y acos x 的周期 3 掌握函数y sinx y cosx的奇偶性 会判断简单三角函数的奇偶性 1 周期函数 1 周期函数的概念 2 最小正周期 温馨提示 对周期函数的三点说明 1 并不是每一个函数都是周期函数 若函数具有周期性 则其周期也不一定唯一 2 如果t是函数f x 的一个周期 则nt n z z 且n 0 也是f x 的周期 3 并非所有的周期函数都有最小正周期 如f x c c为常数 x r r 所有的非零 实数t都是它的周期 不存在最小正周期 2 正弦函数 余弦函数的周期性和奇偶性 2 1 生活中 有很多 周而复始 的现象 你能举出几个常见的例子吗 答案 每天的日出日落 四季更替 每周上课用的课程表等 2 判断正误 正确的打 错误的打 1 由于 sin sin 则是函数y sinx的一个周期 2 4 4 2 2 因为 sin sin 所以函数y sin 的周期为 4 x 3 4 x 3 x 3 3 对任意实数x 若有f x 1 f x 则f x 是周期函数 t 1 是f x 的一个周 期 4 函数y sin是奇函数 2 x 答案 1 2 3 4 题型一正 余弦函数的周期性 典例 1 求下列函数的最小正周期 1 f x cos 2 f x sinx 2x 3 思路导引 求三角函数周期时可利用定义f x t f x 也可用公式t 还 2 可以利用图象求解 解 1 解法一 定义法 f x cos cos 2x 3 2x 3 2 cos f x 2 x 3 即f x f x 函数f x cos的最小正周期为 2x 3 3 解法二 公式法 y cos 2 又t 2x 3 2 2 2 函数f x cos的最小正周期为 2x 3 2 解法一 定义法 f x sinx f x sin x sinx f x f x 的最小正周期为 解法二 图象法 函数y sinx 的图象如图所示 由图象可知最小正周期为 求三角函数最小正周期的方法 1 定义法 即利用周期函数的定义求解 2 公式法 对形如y asin x 或y acos x a 是常数 a 0 0 的函数 t 2 3 观察法 即通过观察函数图象求其周期 针对训练 1 求下列函数的周期 1 y 3sin 2 x 3 2 y cosx 解 1 y 3sin 2 x 3 2 又t 4 2 2 2 4 函数y 3sin的周期t 4 2 x 3 2 f x cosx f x cos x cosx cosx f x f x cosx 的周期t 题型二正 余弦函数的奇偶性 典例 2 判断下列函数的奇偶性 1 f x sin 3x 4 3 2 2 f x sin x 3 f x 1 cosxcosx 1 思路导引 首先看定义域是否关于原点对称 再看f x 与f x 之间的关系 解 1 因为函数的定义域为 r r f x sin cos 3x 4 3 2 3x 4 所以f x cos cos f x 3x 4 3x 4 所以函数f x sin是偶函数 3x 4 3 2 2 因为函数的定义域为 r r f x sin x sin x f x 所以函数f x sin x 是偶函数 3 由error 得 cosx 1 所以x 2k k z z 此时f x 0 故该函数既是奇函数又是偶函数 判断函数奇偶性应把握好 2 个关键点 关键点一 看函数的定义域是否关于原点对称 关键点二 看f x 与f x 的关系 对于三角函数奇偶性的判断 有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断 要特别 注意化简前后式子的等价性 5 针对训练 2 判断下列函数的奇偶性 1 f x xsin 2 x 2 f x 1 sinx cos2x 1 sinx 3 f x sin 2 2x 3 2 解 1 函数f x xsin的定义域为 r r 2 x f x xsin xcosx 2 x f x x cos x xcosx f x f x 是奇函数 2 函数应满足 1 sinx 0 函数的定义域为 error 函数的定义域不关于原点对称 该函数既不是奇函数也不是偶函数 3 f x sin cos2x 定义域为 r r 2 2x 3 2 2 f x cos 2x cos2x f x 22 f x 是偶函数 题型三正 余弦函数周期性与奇偶性的应用 典例 3 定义在 r r 上的函数f x 既是偶函数又是周期函数 若f x 的最小正周期 是 且当x 时 f x sinx 求f的值 0 2 5 3 思路导引 解决此类问题的关键是利用函数的周期性与奇偶性 将x化到可求值区 间内 解 f x 的最小正周期是 f f f 5 3 5 3 2 3 f x 是 r r 上的偶函数 f f sin f 3 3 3 3 2 5 3 3 2 变式 本例中的 偶函数 改为 奇函数 其他条件不变 结果如何 6 解 f x 最小正周期为 f f f 5 3 5 3 2 3 f x 为奇函数 f f sin 3 3 3 3 2 f 5 3 3 2 解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法 利用函数的周期性 可以把x nt n z z 的函数值转化为x的函数值 利用奇偶性 可以找到 x与x的函数值的关系 从而可解决求值问题 针对训练 3 函数f x sin是周期为 的 奇或偶 函数 2x 2 解析 f x sin sin cos2x 2x 2 2 2x 周期t y cos2x为偶函数 2 2 故f x 是周期为 的偶函数 答案 偶 课堂归纳小结 1 求函数的最小正周期的常用方法 1 定义法 即观察出周期 再用定义来验证 也可由函数所具有的某些性质推出使 f x t f x 成立的t 2 图象法 即作出y f x 的图象 观察图象可求出t 如y sinx 3 结论法 一般地 函数y asin x 其中a 为常数 a 0 0 x r r 的周期t 2 2 正弦函数 余弦函数的奇偶性 1 正弦函数是奇函数 余弦函数是偶函数 反映在图象上 正弦曲线关于原点o对称 余弦曲线关于y轴对称 7 2 正弦曲线 余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形 3 注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用 1 函数y 2sinx 5 的最小正周期是 a b 2 c 2 d 4 解析 函数y 2sinx 5 的最小正周期就是函数y sinx的最小正周期 即 2 故选 c 2 1 答案 c 2 函数y cos的奇偶性为 1 2x 2 a 奇函数 b 偶函数 c 非奇非偶函数 d 既是奇函数 又是偶函数 解析 函数的定义域为 r r 且y cos sinx 故所给函数是奇函数 1 2x 2 1 2 答案 a 3 已知函数f x sin 1 则下列命题正确的是 x 2 a f x 是周期为 1 的奇函数 b f x 是周期为 2 的偶函数 c f x 是周期为 1 的非奇非偶函数 d f x 是周期为 2 的非奇非偶函数 解析 f x sin 1 x 2 sin 1 2 x cos x 1 t 2 而f x f x f x 为偶函数 2 答案 b 4 定义在 r r 上的函数f x 周期为 且是奇函数 f 1 则f的值为 4 3 4 8 a 1 b 1 c 0 d 2 解析 由题意得f f 3 4 4 f f 1 4 4 答案 b 5 函数y cos k 0 的最小正周期不大于 2 则正整数k的最小值应是 k 4x 3 解析 由题意得 2 k 4 2 k 4 8 k 正整数k的最小值为 4 答案 4 课后作业 四十四 复习巩固 一 选择题 1 下列函数中 周期为的是 2 a y sinxb y sin2x c y cosd y cos4x x 2 解析 t 4 而 0 4 2 2 答案 d 2 函数y 4sin 2x 的图象关于 a x轴对称b 原点对称 c y轴对称d 直线x 对称 2 解析 y 4sin 2x 4sin2x 奇函数图象关于原点对称 答案 b 3 函数f x 3sin是 2 3x 15 2 a 周期为 3 的偶函数b 周期为 2 的偶函数 c 周期为 3 的奇函数d 周期为的偶函数 4 3 9 解析 f x 3sin 2 3x 6 2 3sin 2 2x 3 3sin 3cosx 2 2 3x 2 3 t 3 而f x f x 则f x 为偶函数 2 2 3 答案 a 4 设函数f x x r r 满足f x f x f x 2 f x 则函数y f x 的图象是 解析 由f x f x 则f x 是偶函数 图象关于y轴对称 由f x 2 f x 则f x 的周期为 2 故选 b 答案 b 5 函数y 的奇偶性为 sinx 1 sinx 1 sinx a 奇函数b 既是奇函数也是偶函数 c 偶函数d 非奇非偶函数 解析 由题意知 当 1 sinx 0 即 sinx 1 时 y sinx sinx 1 sinx 1 sinx 所以函数的定义域为 x x 2k 2 k z z 由于定义域不关于原点对称 所以该函数是非奇非偶函数 10 答案 d 二 填空题 6 函数f x sin的最小正周期为 其中 0 则 x 6 5 解析 依题意得 10 5 2 答案 10 7 f x sinxcosx是 填 奇 或 偶 函数 解析 x r r 时 f x sin x cos x sinxcosx f x 即f x 是奇函数 答案 奇 8 若函数f x 的定义域为 r r 最小正周期为 且满足f x error 则 3 2 f 15 4 解析 t 3 2 f f 15 4 15 4 3 2 3 f sin 3 4 3 4 2 2 答案 2 2 三 解答题 9 判断下列函数的奇偶性 1 f x cos2x 3 2 f x sin 2 2x 3 2 3 f x x cosx 解 1 因为x r r f x cos 2x cos2x f x 33 所以f x cos2x是偶函数 3 2 因为x r r f x sin 2 cos 2 所以f x cos 2 cos 2x 3 2 2x 3 2 x 3 2 f x 所以函数f x sin 2 是偶函数 2x 3 2x 3 2 3 因为x r r f x x cos x x cosx f x 11 所以f x xcosx是奇函数 10 已知函数y cosx cosx 1 2 1 2 1 画出函数的图象 2 这个函数是周期函数吗 如果是 求出它的最小正周期 解 1 y cosx cosx 1 2 1 2 函数图象如图所示 2 由图象知这个函数是周期函数 且最小正周期是 2 综合运用 11 若函数f x sin是偶函数 则 的一个取值为 1 2x a 2010 b 8 c d 4 2 解析 当 时 f x sin cosx为偶函数 故选 d 2 1 2x 2 1 2 答案 d 12 函数y cos sinx 的最小正周期是 a b 2 c 2 d 4 解析 y cos sin x cos sinx cos sinx 函数y cos sinx 的最小正周期为 答案 b 13 函数f x sin 1 的图象关于 对称 填 原点 或 y轴 2 5 2 2x 12 解析 f x sin 1 2 5 2 2x cos2x 1 2 f x f x f x 是偶函数 偶函数图象关于y轴对称 f x 图象关于y轴对称 答案 y轴 14 函数f x 是以 4 为周期的奇函数 且f 1 1 则 sin f 5 2 解析 函数f x