不等式恒成立、存在性问题的解题方法

1 1 解集为空集 0 xf 00 且a 2 解集为空集0 xf 00 且a 不等式恒成立 存在性问题的解题方法不等式恒成立 存在性问题的解题方法 一 常见不等式恒成立问题解法一 常见不等式恒成立问题解法 1 1 用一次函数的性质 用一次函数的性质 对于一次函数有 nmxbkxxf 0 0 0 0 0 0 nf mf xf nf mf xf恒成立恒成立 例 1 若不等式对满足的所有都成立 求 x 的范围 1 12 2 xmx22 mm 解析 我们可以用变换主元的方法 将 m 看作主变元 即将原不等式化为 令 则时 恒0 12 1 2 xxm 12 1 2 xxmmf22 m0 mf 成立 所以只需即 0 2 0 2 f f 0 12 1 2 0 12 1 2 2 2 xx xx 所以 x 的范围是 2 31 2 71 x 2 2 利用一元二次函数判别式 利用一元二次函数判别式 对于一元二次函数有 0 0 2 Rxacbxaxxf 1 上恒成立 Rxxf 在0 00 且a 2 上恒成立Rxxf 在0 00 且a 例 2 若不等式的解集是 R 求 m 的范围 02 1 1 2 xmxm 解析 要想应用上面的结论 就得保证是二次的 才有判别式 但二次项系数含有参 数 m 所以要讨论 m 1 是否是 0 1 当 m 1 0 时 元不等式化为 2 0 恒成立 满足题意 2 2 时 只需 所以 01 m 0 1 8 1 01 2 mm m 9 1 m 3 3 分离变量法 分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端 从而问题转化 为求主元函数的最值 进而求出参数范围 这种方法本质也还是求最值 但它思路更清 晰 操作性更强 一般地有 1 恒成立为参数 aagxf max xfag 2 恒成立为参数 aagxf max xfag 例 3 已知不等式在时恒成立 求的取值范围 02 2 axx 1 xa 解 在时恒成立 只要在时恒成立 02 2 axx 1 xxxa2 2 1 x 而易求得二次函数在上的最大值为 所以 xxxh2 2 1 3 3 a 例 4 已知函数时恒成立 求实数的取值范围 4 0 4 2 xxxaxxf0 xfa 解 将问题转化为对恒成立 x xx a 2 4 4 0 x 令 则 x xx xg 2 4 min xga 由可知在上为减函数 故1 44 2 xx xx xg xg 4 0 0 4 min gxg 即的取值范围为 0 aa 0 注 分离参数后 思路清晰 方向明确 从而能使问题得到顺利解决 4 4 变换主元变换主元法法 处理含参不等式恒成立的某些问题时 若能适时的把主元变量和参数变量进行 换 位 思考 往往会使问题降次 简化 3 例 5 对任意 不等式恒成立 求的取值范围 1 1 a024 4 2 axaxx 分析 题中的不等式是关于的一元二次不等式 但若把看成主元 则问题可转化xa 为一次不等式在上恒成立的问题 044 2 2 xxax 1 1 a 解 令 则原问题转化为恒成立 44 2 2 xxaxaf0 af 1 1 a 当时 可得 不合题意 2 x0 af 当时 应有解之得 2 x 0 1 0 1 f f 31 xx或 故的取值范围为 x 3 1 练习 1 已知 若恒成立 求a的取值范围 aaxxxf 3 2 0 2 2 xfx 对于不等式 1 m x2 m 1 x 3 0 1 当 x 2 上式恒成立 求实数 m 的取值范围 2 当 m 2 上式恒成立 求实数 x 的取值范围 若不等式 ax2 2x 2 0 对 x 1 4 恒成立 求实数 a 的取值范围 二 存在性问题二 存在性问题 存在 x D 使得函数 f x af x max a 4 存在 x D 使得函数 f x af x min a 例 6 已知函数 f x x2 ax a 若存在 x 1 2 使得 f x 0 试求实数 a 的取值范围 解 法一 f 1 1 0 所以对 a R 均存在 x 1 2 使得 f x 0 法二 原题同解于 当 x 1 2 时 f x max 即 f 1 0 或 f 2 0 代入可得 1 2a 0 或 a 0 得 a 0 5 或 aa x D 有解 解集非空 f x max a 不等式 f x a x D 解集为空集 f x min a 方程 f x a x D 有解 解集非空 a f x x D 即的值域 xfDx且 例 7 方程 x2 x a 在区间 内有解 则实数 a 的取值范