特殊平行四边形

凤台四中 庞学素 特殊平行四边形特殊平行四边形 一 教学目标 1 掌握矩形 菱形 正方形的概念和性质 2 探索并掌握四边形是矩形 菱形 正方形的条件 3 了解平行四边形 矩形 菱形 正方形之间的关系 了解四边形的不稳定性 二 知识考点梳理 知识点一 矩形 1 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2 矩形的性质 矩形具有平行四边形的所有性质 1 矩形的对边平行且相等 2 矩形的四个角都相等 且都是直角 3 矩形的对角线互相平分且相等 3 矩形的判定方法 1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 定义 2 有三个角是直角的四边形是矩形 3 对角线相等的平行四边形是矩形 4 面积公式 S ab a b 是矩形的边长 知识点二 菱形 1 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 凤台四中 庞学素 2 菱形的性质 菱形具有平行四边形的所有性质 1 菱形的对边平行 四条边都相等 2 菱形的对角相等 3 菱形的对角线互相垂直平分 并且每一条对角线平分一组对角 3 菱形的判定方法 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 定义 2 四条边都相等的四边形是菱形 3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4 面积公式 S ah a 是平行四边形的边长 h 是这条边上的高 或 s mn m n 是菱形的两条对角线长 知识点三 正方形 1 正方形的定义 有一组邻边相等的矩形叫做正方形 或有一个角是直角的菱形叫做正方形 2 正方形的性质 正方形具有平等四边形 矩形 菱形的所有性质 1 正方形的对边平行 四条边都相等 2 正方形的四个角都是直角 3 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 3 正方形的判定方法 1 有一组邻边相等的矩形是正方形 2 有一个角是直角的菱形是正方形 3 对角线相等的菱形是正方形 4 对角线互相垂直的矩形是正方形 凤台四中 庞学素 4 面积公式 S a2 a 是边长 或 s b2 b 正方形的对角线长 三 数学思想 1 数形结合思想 多边形是反映了数的抽象性与形的直观性这一对矛盾的对立统一 以及在一定条件下的互相转化 由数构 形 由形思数的数形结合思想 尤其在平行四边形和矩形 菱形 正方形 梯形中 图形的特点非常鲜明 与我 们现实生活的联系很大 利用它们的性质和判定能解决实际中的问题 2 分类讨论思想 根据题目中的已知判断是哪种特殊的平行四边形 不同的特殊的平行四边形的性质和判定不同 结合各自的 特点进行分类 得出最终的结论 3 化归与转化思想 要记清和分清平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定 要体会化归思想的应用 如 多边形转化为三 角形 平行四边形 梯形及特殊的平行四边形性质的讨论通过对角线转化为全等三角形等 4 注意观察 分析 总结 在判断边相等或角相等的问题上 常以平行四边形 梯形及特殊的平行四边形的性质或判定为依据 当条 件结论的关系无法找到时 可以通过辅助线将图形适当变化 使条件集中 以便应用条件达到解题的目的 由 繁变简 一般与特殊之间的转化 四 经典例题透析 例 1 如图 将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠 使点 C 与点 A 重合 折痕交 AD 于点 E 交 BC 于点 F 连接 AF CE 1 求证 四边形 AFCE 为菱形 2 设 AE a ED b DC c 请写出一个 a b c 三者之间的数量关系式 凤台四中 庞学素 答案 1 证明 四边形 ABCD 是矩形 AD BC AEF EFC 由折叠的性质 可得 AEF CEF AE CE AF CF EFC CEF CF CE AF CF CE AE 四边形 AFCE 为菱形 2 解 a b c 三者之间的数量关系式为 a2 b2 c2 理由如下 由折叠的性质 得 CE AE 四边形 ABCD 是矩形 D 90 AE a ED b DC c CE AE a 在 Rt DCE 中 CE2 CD2 DE2 a b c 三者之间的数量关系式可写为 a2 b2 c2 考点 翻折变换 折叠问题 矩形的性质 折叠的性质 平等的性质 菱形的判定 勾股定理 分析 1 由矩形 ABCD 与折叠的性质 易证得 CEF 是等腰三角形 即 CE CF 即可证得 AF CF CE AE 即 可得四边形 AFCE 为菱形 2 由折叠的性质 可得 CE AE a 在 Rt DCE 中 利用勾股定理即可求得 a b c 三者之间的数量 关系式为 a2 b2 c2 答案不唯一 例 2 在菱形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O AC BD 的长分别为 5 厘米 10 厘米 则菱形 ABCD 的面 积为 cm2 思路点拔 菱形的对角线互相垂直 面积公式有两个 1 底乘高 2 对角线乘积的一半 解 菱形 ABCD 的面积 AC BD 5 10 25cm2 例 3 能够判别一个四边形是菱形的条件是 A 对角线相等且互相平分 B 对角线互相垂直且相等 C 对角线互相平分 D 一组对角相等且一条对角线平分这组对角 解析 A 选项可判定为矩形 B 选项不能判定是平行四边形 也不能判定是菱形 C 选项只能判定是平行 四 边形 D 选项由等角对等边和三角形全等得到四条边都相等 故选 D 总结升华 菱形在平行四边形的基础上进一步特殊化 菱形的对角线互相垂直 把菱形分成四个全等的直 角三角形 常利用这一性质求线段和角 以及菱形的面积 凤台四中 庞学素 举一反三 变式 已知菱形的一条对角线与边长相等 则菱形的两个邻角度数分别为 A 45 135 B 60 120 C 90 90 D 30 150 思路点拔 菱形的一条对角线与边长相等 则构成等边三角形 从而求出菱形的内角度数 答案 B 例 4 正方形具有而矩形不一定具有的特征是 A 四个角都是直角 B 对角线互相平分 C 对角线互相垂直 D 对角线相等 思路点拔 正方形是满足矩形和菱形的所有性质 正方形的对角线互相垂直 而矩形对角线则不一定互相 垂直 答案 C 例 5 下列选项正确的是 A 四边相等的四边形是正方形 B 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 C 对角线垂直的平行四边形是正方形 D 四角相等的四边形是正方形 考点 正方形的判定方法 思路点拔 掌握正方形的判定方法要从边 角 对角线各方面考虑 解析 A C 选项能判定是菱形 D 选项能判定是矩形 故应选 B 例 6 正方形 ABCD 中 对角线 BD 长为 16cm P 是 AB 上任意一点 则点 P 到 AC BD 的距离之和等于 cm 思路点拔 本题方法很多 1 可以利用三角形面积去求 连接 PO ABO 的面积等于 APO 和 BPO 的 面积之和 2 也可证明矩形 PEOF 得 PF EO 再证 PE AE 从而得出结论 总之 P 在 AB 上移动时 点 P 到 AC BD 的距离之和总等于对角线长的一半 解析 PE PF OA 8cm 变式 1 顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是 A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 凤台四中 庞学素 2 顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形一定是 A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 3 顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是 A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 4 顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是 A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 考点 中点四边形的判定由原四边形的对角线决定 思路点拔