张恒茂数系的扩充和复数的概念 教学设计

1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 教学设计教学设计 平遥二中平遥二中 张恒茂张恒茂 一 三维教学目标一 三维教学目标 知识与技能目标 知识与技能目标 1 了解数系的扩充过程 感受理性思维的作用以及数与现实世界的联系 2 理解虚数单位 复数的概念 掌握复数的代数形式及复数相等的充要条件 3 把握复数集和实数集的关系 清楚虚数 纯虚数的概念及复数的分类 过程与方法目标 过程与方法目标 1 在问题情境中了解数的概念的发展和数系的扩充过程 体会实际需求与数学内部的 矛盾在数系扩充过程中的作用 感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系 2 在认识复数集的过程中 了解掌握 类比 思想 分类 思想 让学生学会对事 件归纳与认识的方法 情感态度与价值观目标 情感态度与价值观目标 1 让学生通过问题情境感受虚数引入的必要性 体会数与现实世界的联系 感受数学 来源与生活 体会人数理性思维的作用 从而提高学生学习数学的兴趣 形成学习数学知 识的积极态度 2 初步认识数学的应用价值 科学价值和人文价值 崇尚数学具有的理性精神和科学 态度 培养学生矛盾转化 分与合 实与虚等辩证唯物主义观点 树立正确的辩证唯物主 义世界观 二 教学重 难点二 教学重 难点 教学重点 数系扩充的过程和方法 复数的概念 虚数单位 i 复数的分类 实数 虚 数 纯虚数 和复数相等等概念 教学难点 数系扩充的过程和方法 及复数的概念 三 教法 学法三 教法 学法 问题驱动教学模式 学生 合作 探究 活动 多媒体课件 四 教学环节 四 教学环节 五 教学过程设计五 教学过程设计 1 1 创设情境 揭示课题 创设情境 揭示课题 问题问题 1 数 是数学中的基本概念 从小到大 我们认识了各种各样的数 进入高中 我们学习了集合 你知道的数集有哪些 分别用什么记号表示 问题问题 2 它们之间有怎样的包含关系 你能用 包含关系将这些数集 串 起来吗 板书 用 图示法可以如何表示 投影 NZQR 设计意图 数集及之间关系的回顾 特别 是 图示法 的直观表示 旨在帮助学生对 数 系的扩充 有个初步感受 我们将一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系 投影 如 自然数系 整数系 激发求知欲 引导分析 建构数学 情境设置 知识运用小结作业 方法小结 例题扩展 数学 应用 2 有理数系 实数系 所谓 运算及结构 主要是指加法与乘法的运算律 无论在哪个数集内 都满足加法 乘法的交换律 结合律以及乘法对加法的分配律 设计意图 教材中 数系 的概念这一内容放在本节课的结尾旁的注解中并未作过 多说明 笔者将其提前至开头 主要是解决课题中 数系 两个字的疑问 而 扩充 则 成为下面研究的重点 追问 能换成 吗 为什么 问题问题 3 从刚才这张 图示法 表示数集之间的包含关系的图也可以看出数逐步发展壮 大的过程 数的概念是如何不断的发展和扩充的呢 今天我们来与大家一起学习 数系的数系的 扩充和复数的概念扩充和复数的概念 板书 设计意图 设计意图 一方面从学生已有的认知入手 便于学生快速进入学习状态 激发他们的 学习热情 培养学生的归纳 概括与表达能力 另一方面为引入虚数单位 i 埋下伏笔 引入课题 2 2 新知探究 建构数学 新知探究 建构数学 1 数系的扩充 数系的扩充 问题问题 4 我们常说的运算 是指加 减 乘 除 乘方 开方等运算 思考一下 这些 运算在各个数集中总能实施吗 追问 这些问题是怎么解决的呢 追问 数集经历了哪几次扩充 设计意图 设计意图 学生已经学习过自然数 整数 分数 负数 有理数 无理数 实数等 在此 基础之上 帮助学生重新建构数集的扩充过程 即自然数集 整数集 有理数集 实数集 这是学生的 最近发展区 也是本节课知识的 生长点 问题问题 5 每一次扩充分别解决了哪些问题 计意意图 计意意图 学生通过小组合作交流 回忆 思考每次数集扩充的必要性 解决了哪些 问题 即数集为什么要扩充 通过板书 让学生感受到这些数的产生不是从天而降 是数学内部发展的需要 也是社会发展的需 要 问题问题 6 这几次扩充有什么共同的特点 设计意图 设计意图 一方面培养学生的观察 概括与表达能力 另一方面通过对前几次数集扩 充的梳理 为数系的再一次扩充以及如何扩充打好了坚实的基础 让学生感受到数系扩充 的合理性 并能提炼出数系扩充的一般原则 由此 突破本节课的一个难点 问题问题 7 那么在实数范围内加 减 乘 除 乘方 开方这些运算总能实施了吗 3 由此 追问 2 虚数的引入 虚数的引入 问题问题 8 需要添加什么样的数呢 设计意图 设计意图 教师引领学生采用类比的思想 将问题转化为找一个数的平方为 1 从而 让 引入新数 水到渠成 此时 教师适时介绍与虚数单位 i 有关历史 从而激发学生学习的兴趣 强化对 i 的 认识 并让学生感受到科学上每一步的迈出是多么的艰辛 引入 i 后 给出问题串 问题问题 9 添加的新数仅仅是 i 吗 虚数单位虚数单位 1 它的平方等于 即 2 与 1 的关系 就是 1 的一个平方根 即方程的一个根 方程 的另一个根是 3 实数可以与它进行四则运算 进行四则运算时 原有加 乘运算律仍然成立 4 的周期性 问题问题 10 你还能写出其他含有 i 的数吗 设计意图 设计意图 学生通过问题 9 10 的铺垫 引导学生由特殊到一般 抽象概括出复数的 代数形式 帮助学生主动建构复数的代数形式 3 复数的概念 复数的概念 问题问题 11 你能写出一个形式 把刚才所写出来的数都包含在内吗 概念 概念 形如 的数叫复 数 记作 其中 叫复数的实部 叫复数的虚部 说明 说明 这里容易忽视 但却是列方程求复数的重要依据 由此 追问 一定是虚数吗 i ab a b R 4 复数的分类 复数的分类 问题问题 12 实数集与扩充后的复数集是什么关系呢 设计意图 设计意图 学生通过讨论自然而然地想到要对复数进行分类 从而深化对复数概念的 4 理解 攻克本节课的重点 问题问题 13 复数集 实数集 虚数集 纯虚数集它们之 间是什么关系呢 你能用图表的形式画出来吗 设计意图 设计意图 让学生直观地感受复数的分类 进一步 深化复数的概念 归纳并理解复数有关概念是本节课的 教学目标 也是本节课的教学重点 也是教学难点 借 此环节 可强化复数有关概念的记忆 以及突破重难点 复数与实数 虚数 纯虚 复数与实数 虚数 纯虚 0 的关系 的关系 对于复数 当且仅当时 复数是实数 当且仅当时 复数叫做虚数 当且仅当且时 复数叫做纯 虚数 当且仅当时 复数就是实数 0 3 3 知识运用 熟悉新知 知识运用 熟悉新知 练一练练一练 说明下列数中 哪些是实数 哪些是虚数 哪些是纯虚数 并指出复数的实 部与虚部 1 4 2 2 3i 3 6i 4 0 5 6 1 2 i23 学生口答 略 变式训练 判断下列说法是否正确 1 复数的实部是 0 虚部是sin1isin1i 2 复数是纯虚数 虚部为sin3isin3i 3 复数的实部是 2 虚部是2 1 i i 1 i 师生总结 1 复数 的虚部仅指单独的的实数 不含有 zabi a bR bi 2 复数的实部与虚部必须是实数 例例 1 1 实数m取什么值时 复数 是 1 实数 2 虚数 immz 1 1 3 纯虚数 设计意图设计意图 练一练 变式训练主要是前后照应 采 用概念同化的方式完善认知结构 例 1 与练习的设置目 的在于熟悉复数分类标准 让学生在解决问题的过程中 内化复数有关概念 起到及时反馈 学以致用的功效 追问 问题问题 1414 要使两个复数相等需要满足什么条件 5 复数的相等 复数的相等 5 定义 定义 如果两个复数的实部和虚部分别相等 那么我们就说这两个复数相等 若 ac a b c dR abicdi bd 从而为在直角坐标系中用点表示复数提供了可 能 并设置了 例 已知 其中求 21 3 xiyy i x yR 与 xy 复数相等的充要条件复数相等的充要条件 如果两个复数的实部和虚部分别相等 那么我们就说这两个复数相等 即 如果 那么 特别地 说明 说明 1 2 一个复数一旦实部 虚部确定 那么这个复数就唯一确定 反之一样 3 复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础 4 一般地 两个复数只能说相等或不相等 而不能比较大小 如果两个复数都是实数 就可以比较大小 也只有当两个复数全是实数时才能比较大小 设计意图 设计意图 强化复数相等的充要条件 并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题 来求解 4 4 练习巩固 强化提升 练习巩固 强化提升 P52 练习练习 1 2 3 设计意图 这里我们设置了一般习题和挑战习题 以满足不同学生多层次的学习需求 使他们得到最全面的发展 5 5 小结归纳 总结知识 小结归纳 总结知识 1 扩充原因 满足实际问题解决的需要 满足数学自身完善和发展的需要 2 扩充特征 引入新的数 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩 展 3 提出新的问题 如何对实数集进行扩充 使方程在新的数集中的解 01 2 x 4 引入虚数单位 i 对虚数单位 i 的规定 1 i2 1 2 可以与实数一起进行四 6 则运算 5 学习复数的概念 复数中叫做的实部 叫做的虚部 zabi a bR azbz Z 为实数b 0 Z 为纯虚数 0 0 a b 6 规定复数相等的意义 7 研究复数的分类 8 两个复数只能说相等 ac a b c dR abicdi bd 如果两个复数都是实数 则可以比较大小 否则 不能比较大小 设计意图 设计意图 小结方式 学生整理 教师补充 既是对整节课堂教学的回顾 又能对教学效果起到及时反馈的目 的 6 6 布置作业 布置作业 1 p55 习题 3 1 A 组 1 2 3 2 抛出问题 实数能用数轴上的点来表示 所有的复数也能用数轴上的点来表示吗 设计意图 设计意图 通过学生总结 教师提炼 深化内容 让学生体会数系扩充过程中蕴含的创新 精神和实践能力 提出问题激发学生对复数的后续学习的欲望 六 反思 六 反思 本节课教学 采用问题驱动教学模式 从概念产生的背景到概念的建立 辨析再到 概念的应用 层层深入 最后完成评价检