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广义振动 任何物理量在某定值附近的周期变化 第8章振动 机械振动 物体在平衡位置附近来回往复的运动 周期性复杂振动可以表示为Fourier 级数 非周期性复杂振动可表示为Fourier 积分 一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开 x t 被分解为 常数项除外 频率为的一系列简谐振动 构成离散的傅里叶频谱A0 An Bn为相应简谐振动的振幅 方波 锯齿波 弹簧振子 8 1简谐振动的微分方程 令 单摆 令 较小时 不同振动系统的微分方程具有相同的数学形式 8 2简谐振动的运动学方程 1 振幅 2 周期 频率 圆频率 3 称相位 是描述状态的物理量 称初相位 相位比时间更直接更清晰地反映振动的状态和周期性 4 周期由系统本身性质决定 振幅和初相由初始条件决定 解 设振动方程为 当t 1时 有 由图 A 2m 当t 0时有 例 某质点作简谐运动 振动曲线如图所示 试根据图中数据写出振动表达式 解得 旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动 8 3旋转矢量 例 定滑轮质量为M 半径为R 跨过滑轮的轻绳分别与重物 m 和弹簧 k 相连 弹簧它端固定 求系统的振动周期 托住重物使绳子刚好拉直且弹簧无形变时将其释放 写出重物的振动方程 解 R x 例 半径为r的均匀小球 可以在一半径R为的球形碗底部作纯滚动 求圆球在平衡位置附近做小振动的周期 解 建立图示坐标系 以小球为研究对象 质心沿圆周切向方程 小球绕质心转动方程 接触点纯滚动 小幅度振动条件 联立解得 周期 小球作平面平行运动可分解为质心的运动 绕质心的转动 例 设想地球内有一光滑隧道 如图所示 证明质点m在此隧道内的运动为简谐振动 并求其振动周期 解 满足简谐振动方程 故为简谐振动 周期 8 4简谐振动的能量 可由能量守恒确定系统的微分方程和振动周期 例 U形管截面面积S 管中流体的质量m 密度 求液体振荡周期T 解 设偏离平衡位置的液柱高度为y 液柱作简谐振动 机械能守恒 两边求导 分析受力 微分方程 振动周期 质心位置上升了y 例 半径为r的小球在半径为R的半球形大碗内作纯滚动 这种运动是简谐振动吗 如果是 求出它的周期 机械能守恒 将上三式代入后 对时间求导数 其中 小角度振动时的周期 解 设小球质心速度 角速度 例 劲度系数为K的轻弹簧一端固定 另一端连接在圆柱体的转轴上 圆柱体的质量和半径为m和R 并可绕其转轴在平面上作纯滚动 试求该系统的振动周期 解 由质心运动定理 相对质心的转动定理 由纯滚动条件 另解 由系统的机械能守恒 由纯滚动条件 消去可得 对上式求导 8 5简谐振动的合成 1 方向相同 频率相同 合振动与分振动同方向 且频率相同 矢量合成方法 由几何关系直接写出 设t 0时刻对应两振动的旋转矢量A1和A2与x轴的夹角分别为 由于两旋转矢量以相同的角速度旋转因此它们的合矢量也以相同的角速度旋转 合矢量A在方向的投影也代表一个简谐振动 且 表明合矢量的模就是合成振动的振幅 两个同方向 同频率简谐振动的合成 讨论 相位差对合成振动的影响 两振动同相位 合成振幅最大 两振动反相位 合成振幅最小 一般情况下 合振幅在下述范围之间 为简单起见 设两个振动的振幅相同 初相位相同并为零 2 方向相同 频率相近 拍频 单位时间内合振动振幅强弱变化的次数 拍频是 振幅 频率的两倍 电子测频差拍振荡同步锁模音调校准 3 方向垂直 频率相同 椭圆方程 4 方向垂直 频率不同 如果两个互相垂直的振动频率成整数比 合成运动具有周期性 运动轨道是封闭曲线 称为利萨如图形 按阻尼大小的不同 微分方程有三种不同形式的解 代表了振动物体的三种运动方式 振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动 8 6阻尼振动 其中 将形如的解代入微分方程 得特征方程 其特征根是 弱阻尼 其中 A0和 决定于初始条件 振幅随时间作指数衰减振动周期大于固有周期 系统从周期运动变为非周期振动 临界阻尼 时 特征方程有两个相同实根 方程的解为 时 方程的解为 过阻尼 这种过阻尼运动方式是非周期运动 振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置 不再做往复运动 时 特征方程有两个不同的实根 方程的解为 系统在周期性外力持续作用下所发生的振动称为受迫振动 强迫力 阻尼力 恢复力 1 方程与解 8 7受迫振动 把稳态解代入原方程 通过比较系数确定振幅和相位 驱动力的圆频率为某定值时 受迫振动的振幅达到极大 共振振幅 共振圆频率 电磁共振选台 提高音响效果 改变固有频率增大阻尼系数 避免共振 利用共振 据说 160多年前 不可一世的拿破仑率领法国军队入侵西班牙时 部队行军经过一座铁链悬桥 随着军官雄壮的口令 队伍跨着整齐的步伐趋向对岸 正在这时 轰隆一声巨响 大桥坍塌 士兵 军官纷纷坠水 几十年后 圣彼得堡卡但卡河上 一支部队过桥时也发生了同样的惨剧 从此 世界各国的军队过桥时都不准齐步走 必须改用凌乱无序的碎步通过 一般认为 这是由于军队步伐的周期与桥的固有周期相近 发生共振所致 1940年 美国的一座大桥刚启用四个月 就在一场不算太强的大风中坍塌了 风的作用不是周期性的 这难道也是共振所致 其实 风有时也能产生周期性的效果 君不见节日的彩旗迎风飘扬吗 随后在大风中因产生共振而断塌 1940年华盛顿的塔科曼大桥在大风中产生振动 解 代入简谐振动表达式 则有 例 一放置在水平桌面上的弹簧振子 周期为0 5s 当t 0时 求运动方程 例 木板质量为M 水平放在两相同的柱体 质量为m 半径为r 上 板两端用两个弹性系数为k的轻弹簧连接 弹簧水平地挂在两固定点上 当系统作振动时 柱与板以及柱与地面间均作纯滚动 问 系统是否作简谐振动 如果是 求振动周期 解 以板为研究对象 由牛顿第二定律有 因圆柱体作平面平行运动 则 质心运动定理 绕质心转动定理 圆柱与木板接触点纯滚动 圆柱与地面接触点纯滚动 联立可得 木板作简谐振动 例 半径为r的均匀小球 可以在一半径R为的球形碗底部作纯滚动 求圆球在平衡位置附近做小振动的周期 解 建立图示坐标系 以小球为研究对象 质心沿圆周切向方程 小球绕质心转动方程 接触点纯滚动 小幅度振动条件 联立解得 周期 小球作平面平行运动可分解为质心的运动 绕质心的转动 例 一弹簧振子由倔强系数为的弹簧和质量为的物块组成 将弹簧的一端与顶板相连 开始时物块静止 一颗质量为 速度为的子弹由下而上射入物块 并停留在物块中 系统碰撞前后动量守恒 物块碰撞前振子的平衡位置 物块和子弹碰撞后的新平衡位置 碰后系统动力学方程 解 以物块和子弹为对象 以系统碰撞后的平衡位置为坐标原点 向下为正方向 设物块碰前 物块相对弹簧原长的平衡位置为 碰后