2016北京市中考数学专题突破十：新定义问题(含答案)

专题突破 (十 ) 新定义问题 新定义题型的构造注重学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现 其内部逻辑构造呈现出比较严谨、整体性强的特点 其问题模型可以表示为阅读材料、研究对象、给出条件、需要完成认识 而规律探究、方法运用、学习策略等则是 “ 条件 ” 隐形存在的 “ 魂 ” 这种新定义问题虽然在构造方式上 “ 五花八门 ” ， 但是经过整理也能发现 它们存在着一定的规律 新定义题型是北京中考最后一题的热点题型 “ 该类题从题型上看 ， 有展示全貌 ， 留空补缺的；有说明解题理 由的；有要求归纳规律再解决问题的；有理解新概念再解决新问题的 ，等等 这类试题不来源于课本且高于课本 ， 结构独特 北京第 25 题分析 北京第 29 题分析 年份 2014 2015 考 点 新定义问题 先学习后判断 ， 函数综合 给出新定义 ， 学习 ， 应用 1 2015北京 在平面直角坐标系 ， C 的半径为 r， P 是与圆心 C 不重合的点 ，点 P 关于 O 的反称点的定义如下：若在 射线 存在一点 P， 满足 2r， 则称P为点 P 关于 C 的反称 点 ， 如 图 1 为点 P 及其关于 C 的反称点 P的示意图 (1)当 O 的半径为 1 时 分别判断点 M(2， 1)， N(32， 0)， T(1， 3)关于 O 的反称点是否存在 ， 若存在 ， 求其坐标； 点 P 在直线 y x 2 上 ， 若点 P 关于 O 的反称点 P存在 ， 且点 P不在 x 轴上 ， 求点 P 的横坐标的取值范围 (2)当 C 的圆心在 x 轴上 ， 且半径为 1， 直线 y 33 x 2 3与 x 轴、 y 轴分别交于点A， B 上存在点 P， 使得点 P 关于 C 的反称点 P在 C 的内部 ， 求圆心 C 的横坐标的取值范围 图 1 2 2014北京 对某一个函数给出如下定义：若存在实数 M0， 对于任意的函数值 y，都满足 M y M， 则称这个函数是有界函数 在所有满足条件的 M 中 ， 其最小值称为这个函数的边界值 例如 ， 图 2 中的函数是有界函数 ， 其边界值是 1. (1)分别判断函数 y 1x(x0)和 y x 1( 4a)的边界值是 2， 且这个函数的最大值也是 2， 求 b 的取值范围； (3)将函数 y 1 x m， m 0)的图象向下平移 m 个单位长度 ， 得到的函数的边界值是 t， 当 m 在什么范围时 ， 满足 34 t 1? 图 2 3 2013北京 对于平面直角坐 标系 的点 P 和 C， 给出如下定义：若 C 上存在两个点 A， B， 使得 60 ， 则称 P 为 C 的关联点 已知点 D(12， 12)， E(0， 2)， F(2 3， 0) (1)当 O 的半径为 1 时 ， 在点 D， E， F 中 ， O 的关联点是 _； 过点 F 作直线 l 交 y 轴正半轴于点 G， 使 30 ， 若直线 l 上的点 P(m， n)是 求 m 的取值范围； (2)若线段 的所有点都是某个圆的关联点 ， 求这个圆 的半径 r 的取值范围 图 3 4 2012北京 在平面直角坐标系 ， 对于任意两点 P1( P2( “ 非常距离 ” ， 给出如下定义： 若 | | 则点 2的 “ 非常距离 ” 为 | 若 | | 则点 2的 “ 非常距离 ” 为 | 例如：点 ， 2)， 点 ， 5)， 因为 |1 3| |2 5|， 所以点 2的 “ 非常距离 ”为 |2 5| 3， 也就是 图 4(a)中线段 线段 度的较大值 (点 Q 为垂直于 y 轴的直线 垂直于 x 轴的直线 交点 ) (1)已知 点 A( 12， 0)， B 为 y 轴上的一个动点 若点 A 与点 B 的 “ 非常距离 ” 为 2， 写出一个满足条件的点 B 的坐标； 直接写出点 A 与点 B 的 “ 非常距离 ” 的最小值 (2)已知 C 是直线 y 34x 3 上的一个动点 ， 如图 (b)， 点 D 的坐标是 (0， 1)， 求点 C 与点 D 的 “ 非常距离 ” 的最小值及相应的点 如图 (c)， E 是以原点 O 为圆心 ， 1 为半 径的圆上的一个动点 ， 求点 C 与点 E 的 “ 非常距离 ” 的最小值及相应的点 E 和点 C 的坐标 图 4 1 2015平谷一模 b 是任意两个不等实数 ， 我们规定：满足不等式 a x b 的实数 表示为 a， b 对于一个函数 ， 如果它的自变量 x 与函数值 m x n 时 ， 有 m y n， 我们就称此函数是闭区间 m， n上的 “ 闭函数 ” 如函数 y x 4， 当 x 1 时 ， y 3；当 x 3 时 ， y 1， 即当 1 x 3 时 ， 有 1 y 3， 所以说函数 y x 4 是闭区间 1， 3上的 “ 闭函数 ” (1)反比例 函数 y 2015x 是闭区间 1， 2015上的 “ 闭函数 ” 吗？请判断并说明理由； (2)若二次函数 y 2x k 是闭区间 1， 2上的 “ 闭函数 ” ， 求 k 的值； (3)若一次函数 y b(k 0)是闭区间 m， n上的 “ 闭函数 ” ， 求此函数的解析式 (用含m， n 的代数式表示 ) 2 2015东城一模 定义符号 a， b 的含义为：当 a b 时 ， a， b b；当 a b 时 ， a， b 1， 2 2， 1， 2 1. (1)求 1， 2 ； (2)已 知 2x k， 3 3， 求实数 k 的取值范围； (3)已知当 2 x 3 时 ， 2x 15， m(x 1) 2x m 的取值范围 3 2015海淀二模 如 图 5(a)， 在平面直角坐标系 ， 已知点 A( 1， 0)， B(1， 1)， C(1， 0)， D(1， 1)， 记线段 线段 点 P 是坐标系内一点 给出如下定义：若存在过点 P 的直线 l 与 则称点 P 是 例如 ， 点P(0， 12)是 (1)以下各点中 ， _是 填出所有正确 的序号 )； (0， 2)； ( 4， 2)； (3， 2) (2)直接在图 (a)中画出所有 用阴影部分表示 (3)已知点 M 在 y 轴上 ， 以 M 为圆心 ， r 为半径画圆 ， M 上只有一个点为 若 r 1， 求点 M 的纵坐标； 求 r 的取值范围 图 5 4 2015门头沟一模 如 图 6， 在平面直角坐标系 ， 抛物线 y c(a 0)的顶点为 M， 直线 y m 与 x 轴平行 ， 且 与抛物线交于点 A 和点 B， 如果 等腰直角三角形 ， 我们把抛物线上 A、 B 两点之间的部分与线段 成的图形称为该抛物线的准蝶形 ， 顶点 M 称为碟顶 ， 线段 长称为碟宽 图 6 (1)抛物线 y 12_， 抛物线 y a 0)的碟宽为 _ (2)如果抛物线 y a(x 1)2 6a(a 0)的碟宽为 6， 那么 a _ (3)将抛物线 cn(0)的准蝶形记为 Fn(n 1， 2， 3， )， 我们定义 2， ， 相应的碟宽之比即为相似比 如 果 n 1的相似比为 12， 且 n 1的碟宽的中点 ， 现在将 (2)中求得的抛物线记为 其对应的准蝶形记为 求抛物线 请判断 ， 果是 ， 直接写出该直线的函数解析式；如果不是 ， 说明理由 图 7 5 2015朝阳一模 定义：对于平面直角坐标系 的线段 点 M， 在 当 上的高为 2 时 ， 称 M 为 “ 等高点 ” ， 称此时 “ 等高距离 ” (1)若 P(1， 2)， Q(4， 2) 在点 A(1， 0)， B(52， 4)， C(0， 3)中 ， “ 等高点 ” 是 _； 若 M(t， 0)为 “ 等高点 ” ， 求 “ 等高距离 ” 的最小值及此时 t 的值 (2)若 P(0， 0)， 2， 当 “ 等高点 ” 在 y 轴正半轴上且 “ 等高距离 ” 最小时 ， 直接写出 点 Q 的坐标 图 8 6 2015通州 一模 如 图 9， 在平面直角坐标系中 ， 已知点 A(2， 3)， B(6， 3)， 连接 ， 线段 都存在点 Q， 使得 1， 则称点 P 是线段 “ 邻近点 ” (1)判断点 D(75， 195 )是否是线段 “ 邻近点 ” _(填 “ 是 ” 或 “ 否 ” )； (2)若点 H(m， n)在一次函数 y x 1 的图象上 ， 且是线段 “ 邻近点 ” ， 求 m 的取值范围； (3)若一次 函数 y x b 的图象上至少存在一个邻近点 ， 直接写出 b 的取值范围 图 9 7 2015海淀一模 在平面直角坐标系 ， 对于点 P(a， b)和点 Q(a， b )， 给出如下定义：若 bb， a 1， b， a 2)的图象上 ， 其限变点 Q 的纵坐标 b的取值范围是 5 b 2， 求 k 的取值范围 (3)若点 P 在关于 x 的二次函数 y 2t 的图象上 ， 其限变点 Q 的纵坐标 b的取值范围是 b m 或 b n， 其中 mn.令 s m n， 求 s 关于 t 的函数解析式及 s 的取值范围 图 10 8 2015西城 一模 给出如下规定：两个图形 2， 点 P 为 点 Q 为 如果线段 长度存在最小值 ， 就称该最小值为两个图形 2之间的距离 在平面直角坐标系 ， O 为坐标原点 (1)点 A 的坐标为 A(1， 0)， 则点 B(2， 3)和射线 间的距离为 _， 点 C( 2，3)和射线 间的距离为 _ (2)如果直线 y x 和双曲线 y ， 那么 k _ (可在 图 11(a)中进行研究 ) (3)点 E 的坐标为 (1， 3)， 将射线 原点 O 逆时针旋转 60 ， 得到射线 在坐标平面内所有和射线 间的距离相等的点所组成的图形记为图形 M. 请在图 (b)中画出图形 M， 并描述图形 M 的组成部分； (若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示 ) 将射线 成的图形记为图形 W， 抛物线 y 2 与图形 M 的公共部分记为图形 N， 请直接写出图形 W 和图形 N 之间的距离 图 11 参考答案 北京真题体验 (1) 点 M(2， 1)关于 O 的反称点不存在 点 N(32， 0)关于 O 的反称点存在 ， 反称点 N(12， 0) 点 T(1， 3)关于 O 的反称 点存在 ， 反称点 T(0， 0) 如图 ， 直线 y x 2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 E(2， 0)， 点 F(0， 2) 设点 P 的横坐标为 x. (i)当点 P 在线段 ， 即 0 x 2 时 ， 0 2， 在射线 一定存在一点 P， 使得 2， 点 P 关于 O 的反称点存在 ， 其中点 P 与点 E 或点 F 重合时 ， 2， 点 P 关于 ， 不符合题意 ， 0 x 2. (点 P 不在线段 ， 即 x 0 或 x 2 时 ， 2， 对于射线 任意一点 P， 总有 2， 点 P 关于 O 的反称点不存在 综上所述 ， 点 P 的横坐标 x 的取值范围是 0 x 2. (2)若线段 存在点 P， 使得点 P 关于 C 的反称点 P在 C 的内部 ， 则 1 2. 依题意可知点 A 的坐标为 (6， 0)， 点 B 的坐标为 (0， 2 3)， 30 . 设圆心 C 的坐标为 (x， 0) 当 x 6 时 ， 过点 C 作 点 H， 如图 ， 0 2， 0 4， 0 6 x 4， 2 x 6， 并且 ， 当 2 x 6 时 ， 2， 2， 在线段 一定存在点 P， 使得 2， 此时点 P 关于 C 的反称点为 C， 且点 C 在 C 的内部 ， 2 x 6. 当 x 6 时 ， 如图 . 0 2， 0 x 6 2， 6 x 8. 并且 ， 当 6 x 8 时 ， 2， 2， 在线段 一定存在一点 P， 使得 2， 此时点 P 关于 C 的反称点为 C， 且点 C 在 C 的内部 ， 6 x 8. 综上所述 ， 圆心 C 的横坐标 x 的取值范围是 2 x 8. 2 解： (1)y 1x(x 0)不是有界函数 y x 1( 4 x 2)是有界函数 ， 边界值为 3. (2)对于 y x 1， y 随 x 的增大而减小 ， 当 x a 时 ， y a 1 2， a 1， 当 x b 时 ， y b 1. 2 b 1 2，b a， 1 b 3. (3)由题意 ， 函数平移后的表达式为 y m( 1 x m， m 0) 当 x 1 时 ， y 1 m；当 x 0 时 ， y m； 当 x m 时 ， y m. 根据二次函数的对称性 ， 当 0 m 1 时 ， 1 m m. 当 m 1 时 ， 1 m m. 当 0 m 12时 ， 1 m m. 由题意 ， 边界值 t 1 m. 当 34 t 1 时 ， 0 m 14， 0 m 14. 当 12 m 1 时 ， 1 m m. 由题意 ， 边界值 t m. 当 34 t 1 时 ， 34 m 1， 34 m 1. 当 m 1 时 ， 由题意 ， 边界值 t m， 不存在满足 34 t 1 的 m 值 综上所述 ， 当 0 m 14或 34 m 1 时 ， 满足 34 t 1. 3 解： (1) 如图 (a)所示 ， 过点 E 作 O 的切线 ， 设切点为 R. O 的半径为 1， 1. 2， 30 ， 根据切线长定理得出 O 的左侧还有一个切点 ， 使得组成的角等于 30 ， E 点是 O 的关 联点 D(12， 12)， E(0， 2)， F(2 3， 0)， O 的关联点 ， 而在 的连线的夹角等于 60 ， 故在点 D， E， F 中 ， O 的关联点是 D， E. 由题意可知 ， 若 P 刚好是 C 的关联点 ， 则点 P 到 C 的两条 切线 间所夹的角为 60 ， 由图 (b)可知 60 ， 则 30 . 连接 则 22r， 若点 P 为 C 的关联点 ， 则需点 P 到圆心的距离 d 满足 0 d 2r. 由上述证明可知 ， 考虑临界点位置的 P 点 ， 则点 P 到原点的距离 2 1 2， 如图 (c)， 过点 O 作 l 轴的垂线 垂足为 H， 30 ， 60 ， 2， 可得点 重合 过点 2M x 轴于点 M， 可得 30 ， 3， 从而若点 P 为 O 的关联点 ， 则 P 点必在线段 0 m 3. (2)若线段 的所有点都是某个圆的关联点 ， 欲使这个圆的半径最小 ， 则这个圆的圆心应是线段 中点 考虑临界情况 ， 如图 (d)， 即恰好点 E， F 为 K 的关联点时 ， 则 2122， 此时 ， r 1， 故若线段 的所有点都是某个圆的关联点 ， 则这个圆的半径 r 的取值范围为 r 1. 4 解： (1) 点 B 的坐标是 (0， 2)或 (0， 2) 点 A 与点 B 的 “ 非常距离 ” 的最小值为 12. (2) C 是直线 y 34x 3 上的一个动点 ， 设点 C 的坐标为 (343)， 342， 此时 ， 87， 点 C 与点 D 的 “ 非常距离 ” 的最小值为 87， 此时 C( 87， 157 ) E( 35， 45) 35 343 45， 解得 85， 则点 C 的坐标为 ( 85， 95)， 点 C 与点 E 的 “ 非常距离 ” 的最小值为 1. 北京专题 训练 (1)反比例函数 y 2015x 是闭区间 1， 2015上的 “ 闭函数 ” 理由如下： 反比例函数 y 2015x 在第一象限 ， y 随 x 的增 大而减小 ， 当 x 1 时 ， y 2015； 当 x 2015 时 ， y 1， 即图象过点 (1， 2015)和 (2015， 1)， 当 1 x 2015 时 ， 有 1 y 2015， 符合闭函数的定义 ， 反比例函数 y 2015x 是闭区间 1， 2015上的 “ 闭函数 ” (2)由于二次函数 y 2x k 的图象开口向上 ， 对称轴为直线 x 1， 二次函数 y 2x k 在闭区间 1， 2内 ， y 随 x 的增大而增大 当 x 1 时 ， y 1， k 2. 当 x 2 时 ， y 2， k 2. 即图象过点 (1， 1)和 (2， 2)， 当 1 x 2 时 ， 有 1 y 2， 符合闭函数的定义 ， k 2. (3)因为一次函数 y b( )k 0 是闭区间 m， n 上的 “ 闭函数 ” ， 根据一次函数的图象与性质 ， 有： ( )当 k0 时 ， 图象过点 (m， m)和 (n， n)， b m，b n， 解得k 1，b 0， y x. ( )当 F(0， 12) 在 ， 90 ， 1， 12， 52 ， 2 55 . 在 ， 90 ， r 12， 2 55 ， FM5（ 2r 1）5 . 5（ 2r 1）5 r0， 0r 5 2. 4 解： (1)4 2a (2)13 (3) 2 1， 2221. 13， 23. 又 由题意得 1， 1)， 23( )x 12 1. ， 其解析式为 y x 5. 5 解： (1)A、 B (2)如图 ， 作点 P 关于 x 轴的对称点 P， 连接 PQ， P Q 与 x 轴的交点即为 “ 等高点 ” M，此时 “ 等高距离 ” 最小 ， 最小值为线段 PQ 的长 P(1， 2)， P (1， 2) 设直线 PQ 的函数解析式为 y b， 根据题意 ， 有 k b 2，4k b 2， 解得 k 43，b 103 . 直线 PQ 的函数解析式为 y 43x 103 . 当 y 0 时 ， 解得 x 52， 即 t 52. 根据题意 ， 可知 4， 3， ， P Q 2 5. “ 等高距离 ” 最小值为 5. (3)Q(4 55 ， 2 55 )或 Q( 4 55 ， 2 55 ) 6 解： (1)是 (2