管理统计学第7章习题解答

习题习题 7 17 1 1 随机地从一批钉子中抽取 10 枚 测得长度 单位 cm 如下 2 11 2 14 2 10 2 13 2 15 2 13 2 12 2 14 2 12 2 13 试求这批钉子长度总体均值 及方差 2的矩估计值 并求样本方差 s2 解 解 2 127 0 014182 0 000201 X 10 1 1 10 i i X 2 10 2 1 1 10 i i XX 10 222 1 1 0 014940 00022 9 i i sXX 2 设总体 X 服从几何分布 其分布律为 P X k 1 p k 1p k 1 2 其中 p 为未知参数 X1 X2 Xn 是取自总体 X 的一个样本 求 p 的矩估计 解 解 EX 11 11 1 1 kk kk kpppkp 设 x 0 X1 X2 Xn 是取自总体 X 的一个样本 试求未知参数 的矩估计 解 解 EX 3EX 2 0 2 3 xf x dxxx dx 3X 4 设 X1 X2 Xn 是取自总体 X 的一个样本 求下述各总体的概率密度函数中的未知 参数 的最大似然估计 1 1 01 0 xx f x 其他 解 解 似然函数为 L 0 xi 1 i 1 2 n 1 21 111 nnn n iii iii f xxx 0 xi 1 i 1 2 n 1 ln ln 1 ln 2 n i i n Lx 令 1 ln 1 ln0 22 n i i dLn x d 从中解得 此即为 的最大似然估计 2 2 1 ln n i i n x 2 2 2 0 0 x xex f x 其他 解 解 似然函数为 L 0 xi i 1 2 n 2 2 1 111 2 2 n i ii nnnx xn iii iii f xxex e 0 xi i 1 2 n 2 11 ln ln2ln nn ii ii Lnxx 令 2 1 ln 0 n i i dLn x d 从中解得 此即为 的最大似然估计 2 1 n i i n x 5 设总体 X 服从二项分布 B m p 其中 m 已知 p 为未知参数 X1 X2 Xn 是取自 总体 X 的一个样本求 p 的矩估计和最大似然估计 解 解 EX mp p EX p 1 1 n i i X pX mmn 6 设总体 X 服从指数分布 Exp 概率密度函数为 0 0 0 x ex f x x X1 X2 Xn 是取自总体 X 的一个样本 求未知参数 的矩估计与最大似然估计 解 解 EX 1 所以 的矩估计 再求 的最大似然估计 1 X 似然函数为 L 0 xi i 1 2 n 1 11 n i ii nnx xn i ii f xee 00 试证不是 2的无偏估计 22 解 解 E Var E 2 Var 2 2 所以不是 2的无偏估计 2 7 设 X1 X2 Xm 与 Y1 Y2 Yn 分别是来自正态总体 N 1 2 和 N 2 2 的样本 S12 S22分别是这两个样本的样本方差 验证统计量 22 2 12 1 1 2 w mSnS S mn 是 2的无偏估计 解 解 E 22 12 1 1 2 mSnS mn 22 12 1 1 2 mE SnE S mn 2 所以是 2的无偏估计 22 1 1 2 mn mn 8 设总体 X 服从指数分布 Exp 其概率密度为 0 00 x ex f x x X1 X2 Xn 是取自总体 X 的一个样本 1 试证 和 nZ n min X1 X2 Xn 都是参数的无偏估计 X 1 2 求与 nZ n min X1 X2 Xn 的方差 判断这两个无偏估计中何者较有效 X 解 解 1 E E Xi X 1 Z 的分布函数为 FN Z 1 1 FX Z n 概率密度为 fN Z n 1 FX Z n 1fX Z fX x fN Z 1 0 00 x X ex Fx x 0 00 x ex f x x 0 00 n z n ez z EZ E nZ 0 n z N zfz dzzn edz n 1 所以和 nZ n min X1 X2 Xn 都是参数的无偏估计 X 1 2 Var Var Z E Z2 n 2 X 2 n E Z2 Var nZ n2DZ 2 Var 0 的总体中 分别抽取容量为 n1 n 2的两个独立样本 和分别是这两个样本的样本均值 试证 对于任意常数 a b a b 1 1 X 2 X 都是 的无偏估计 并确定常数 a b 使 Var Y 达到最小 12 YaXbX 解 解 所以 Y 是 的无偏估计 12 EYaE Xb Xab Var Y a2 2 n1 b2 2 n2 用拉格朗日乘数法 求 a2 2 n1 b2 2 n2在条件 a b 1 下的最 小值 构造函数 F a2 2 n1 b2 2 n2 a b 1 令 解之得 2 1 2 2 2 0 2 0 Fa an Fb bn 1 12 2 12 n a nn n b nn 10 某工厂生产滚珠 从某日生产的产品中随机抽取 9 个 测得直径 mm 如下 14 6 14 7 15 1 14 9 14 8 15 0 15 1 15 2 14 8 1 求该日生产的滚珠其直径均值的矩估计 2 如果滚珠直径服从正态分布 N 2 且标准差 0 15mm 求直径均值 的 95 置信区间 解 解 1 直径均值的矩估计为 14 6 14 8 9 14 911 X 14 813 15 009 1 0 05 2 0 15 14 9111 96 9 Xu n 11 测得一批钢件 20 个样品的屈服点 单位 1000kg cm2 为 4 98 5 11 5 20 5 20 5 11 5 00 5 61 4 88 5 27 5 38 5 46 5 27 5 23 4 96 5 35 5 15 5 35 4 77 5 38 5 54 设屈服点总体服从正态分布 N 2 求 和 的 95 置信区间及 2的单侧置信上限 解 解 的置信区间 5 21 S 0 220263 12 1 S Xtn n X 12 1 tn 2 0930 的置信区间为 5 1069 5 3131 1 0 05 2 19 t 0 220263 5 212 0930 20 的置信区间 22 22 1 2 2