2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数练习 新人教A版选修2-2

1 1 3 31 3 3 函数的最大 小 值与导数函数的最大 小 值与导数 基础练习 1 函数y 的最大值为 ln x x a e 1b e c e2 d 10 3 答案 a 2 已知函数f x ex eln x 则f x 的最小值为 a eb e c d 1 e 1 e 答案 a 3 函数f x x 2cos x在上取最大值时 x的值为 0 2 a 0b 6 c d 3 2 答案 b 4 2019 年黑龙江哈尔滨模拟 函数f x x2 ln x的最小值为 1 2 a b 1 c 0 d 不存在 1 2 答案 a 5 设f x g x 是定义在 a b 上的可导函数且f x g x 令f x f x g x 则f x 的最小值为 答案 f a g a 解析 f x f x g x 0 所以函数f x 在定义域内单调递增 所以f x min f a f a g a 6 函数f x x 2 2 的最大值是 最小值是 4x x2 1 答案 2 2 解析 f x 令f x 0 解得 4 x2 1 4x 2x x2 1 2 4 x 1 x 1 x2 1 2 2 x 1 又f 2 f 1 2 f 1 2 f 2 所以函数的最大值是 2 最小 8 5 8 5 值是 2 7 已知a是实数 函数f x x2 x a 1 当f 1 3 时 求a的值及曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求f x 在区间 0 2 上的最大值 解 1 f x 3x2 2ax 因为f 1 3 2a 3 所以a 0 当a 0 时 f 1 1 f 1 3 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y 1 3 x 1 即 3x y 2 0 2 令f x 0 解得x1 0 x2 2a 3 当 0 即a 0 时 f x 在 0 2 上单调递增 2a 3 从而 f x max f 2 8 4a 当 2 即a 3 时 f x 在 0 2 上单调递减 2a 3 从而 f x max f 0 0 当 0 2 即 0 a 3 时 f x 在上单调递减 在上单调递增 2a 3 0 2a 3 2a 3 2 从而 f x max error 综上所述 f x max error 8 已知函数f x x3 3x2 9x a 1 求f x 的单调递减区间 2 若f x 在区间 2 2 上的最大值是 20 求它在该区间上的最小值 解 1 f x 3x2 6x 9 令f x 0 解得x 1 或x 3 函数f x 的单调递减区间为 1 3 2 f 2 8 12 18 a 2 a f 2 8 12 18 a 22 a f 2 f 2 在 1 3 上f x 0 f x 在 1 2 上单调递增 又由于f x 在 2 1 上单调递减 f 2 和f 1 分别是f x 在区间 2 2 上的最大值和最小值 于是有 22 a 20 解得a 2 f x x3 3x2 9x 2 3 f 1 1 3 9 2 7 即函数f x 在区间 2 2 上的最小值为 7 能力提升 9 2019 年山东济南期末 设直线x t与函数f x x2 g x ln x的图象分别交于点 m n 则当 mn 达到最小值时t的值为 a 1 b c d 1 2 5 2 2 2 答案 d 解析 因为f x 的图象始终在g x 的上方 所以 mn f x g x x2 ln x 设h x x2 ln x 则h x 2x 令h x 0 得x 所以h x 在 1 x 2x2 1 x 2x2 1 x 2 2 上单调递减 在上单调递增 所以当x 时有最小值 故t 0 2 2 2 2 2 2 2 2 10 2017 年山西大同三模 已知函数f x x4cos x mx2 2x m r r 若导函数f x 在区间 4 4 上有最大值 16 则导函数f x 在区间 4 4 上的最小值为 a 16 b 12 c 12 d 16 答案 b 解析 f x x4cos x mx2 2x f x 4x3cos x x4sin x 2mx 2 令g x 4x3cos x x4sin x 2mx g x 为奇函数 f x 在区间 4 4 上有最大值 16 g x 在 区间 4 4 上有最大值 14 g x 在区间 4 4 上的最小值为 14 f x 在区间 4 4 上有最小值 12 故选 b 11 2018 年江西南昌模拟 已知函数f x ax3 3x 1 且对任意x 0 1 f x 0 恒成立 则实数a的取值范围是 答案 4 解析 当x 0 1 时 不等式ax3 3x 1 0 可化为a 设g x 3x 1 x3 x 0 1 则g x 令g x 0 得 3x 1 x3 3x3 3x 1 3x2 x6 6 x 1 2 x4 x g x 与g x 随x的变化情况如下表 1 2 x 0 1 2 1 2 1 2 1 g x 0 g x 极大值 4 4 故g x 的最大值为 4 实数a的取值范围是 4 12 已知函数f x ln x x 1 3 x2 8 1 求f x 的最大值与最小值 2 若任意x 1 3 任意t 0 2 有f x 4 at恒成立 求实数a的取值范围 解 1 f x x 1 3 x 4 1 x 令f x 0 解得x 2 当x 1 2 时 f x 0 即f x 单调递减 当x 2 3 时 f x 0 即f x 单调递增 所以x 2 为极小值点 也是最小值点 又f 1 f 2 ln 2 f 3 ln 3 f 3 f 1 ln 3 1 ln 1 8 1 2 9 8 9 8 1 8 3 0 所以最大值为f 1 最小值为f 2 ln 2 1 8 1 2 2 f x 4 at恒成立 由 1