高中数学《立体几何》大题及答案解析

高中数学高中数学 立体几何立体几何 大题及答案解析大题及答案解析 理理 1 2009 全国卷 如图 四棱锥SABCD 中 底面ABCD为矩形 SD 底面ABCD 2AD 2DCSD 点M在侧棱SC上 ABM 60 I 证明 M是侧棱SC的中点 求二面角SAMB 的大小 2 2009 全国卷 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC D E 分别为 AA1 B1C 的中点 DE 平面 BCC1 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 60 求 B1C 与平面 BCD 所成 的角的大小 3 2009 浙江卷 如图 DC 平面ABC EBDC 22ACBCEBDC 120ACB P Q分别为 AE AB的中点 I 证明 PQ平面ACD II 求AD与 平面ABE所成角的正弦值 A C B A1 B1 C1 D E 4 2009 北京卷 如图 四棱锥PABCD 的底面是正方形 PDABCD 底面 点 E 在棱 PB 上 求证 平面 AECPDB 平面 当2PDAB 且 E 为 PB 的中点时 求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小 5 2009 江西卷 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 4PAAD 2AB 以BD的中点O为球心 BD为直径的 球面交PD于点M 1 求证 平面ABM 平面PCD 2 求直线PC与平面ABM所成的角 3 求点O到平面ABM的距离 6 2009 四川卷 如图 正方形ABCD所在平面与平面四边形 ABEF所在平面互相垂直 ABE是等腰直角三角形 45ABAE FAFEAEF I 求证 EFBCE 平面 II 设线段CD AE的中点分别为P M 求证 PM BCE平面 III 求二面角FBDA 的大小 O A P B C M D 7 2009 湖北卷文 如图 四棱锥 S ABCD 的底面是正方形 SD 平面 ABCD SD AD a 点 E 是 SD 上的点 且 DE a 0 1 求证 对任意的 0 1 都有 AC BE 若二面角 C AE D 的大小为 600C 求 的值 8 2009 湖南卷 如图 3 在正三棱柱 111 ABCABC 中 AB 4 1 7AA 点 D 是 BC 的中点 点 E 在 AC 上 且 DE 1 AE 证明 平面 1 ADE 平面 11 ACC A 求直线 AD 和平面 1 ADE所成角的正弦值 9 2009 四川卷 如图 正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直 ABE是等腰直角三角形 45ABAE FAFEAEF I 求证 EFBCE 平面 II 设线段CD AE的中点分别为P M 求证 PM BCE平面 III 求二面角FBDA 的大小 10 2009 重庆卷文 如题 18 图 在五面体ABCDEF中 AB DC 2 BAD 2CDAD 四边形ABFE为平行四边形 FA 平面ABCD 3 7FCED 求 直线AB到平面EFCD的距离 二面角FADE 的平面角的正切值 11 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为平行四边形 DAB 60 AB 2AD PD 底 面 ABCD 1 证明 PA BD 2 设 PD AD 求二面角 A PB C 的余弦值 12 本小题满分 12 分 如图 已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形 ABACD AC BD 垂 足为 H PH 是四棱锥的高 E 为 AD 中点 1 证明 PE BC 2 若 APB ADB 60 求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 参考答案参考答案 1 解析 I 解法一 作MN SD交CD于 N 作NEAB 交AB于 E 连 ME NB 则MN 面ABCD MEAB 2NEAD 设MNx 则NCEBx 在RT MEB 中 60MBE 3MEx 在RT MNE 中由 222 MENEMN 22 32xx 解得1x 从而 1 2 MNSD M 为侧棱SC的中点 M 解法二 过M作CD的平行线 II 分析一分析一 利用三垂线定理求解 在新教材中弱化了三垂线定理 这两年高考中求二面 角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角 过M作MJ CD交SD于J 作SHAJ 交AJ于H 作HKAM 交AM于K 则 JM CD JM 面SAD 面SAD 面MBA SH 面AMB SKH 即为所求二面角的补 角 法二法二 利用二面角的定义 在等边三角形ABM中过点B作BFAM 交AM于点F 则点F为 AM 的中点 取 SA 的中点 G 连 GF 易证GFAM 则GFB 即为所求二面角 解法二 解法二 分别以 DA DC DS 为 x y z 轴如图建立空间直角坐标系 D xyz 则 2 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 2 SCBA 设 0 0 0 babaM 则 2 0 2 2 0 2 0 baSMbaBMBA 2 2 0 SC 由题得 S A B C D M z x y SCSM BMBA 2 1 cos 即 2 22 2 1 2 2 2 2 2 22 ba ba a 解之个方程组得1 1 ba即 1 1 0 M 所以M是侧棱SC的中点 法 2 设MCSM 则 1 2 1 2 2 1 2 1 2 0 MBM 又 o ABMBAB60 0 2 0 故 o ABMBABMB60cos 即 22 1 2 1 2 2 1 4 解得1 所以M是侧棱SC的中点 由 得 1 1 2 1 1 0 MAM 又 2 0 2 AS 0 2 0 AB 设 22221111 zyxnzyxn 分别是平面SAM MAB的法向量 则 0 0 1 1 ASn MAn 且 0 0 1 2 ABn MAn 即 022 02 11 111 zx zyx 且 02 02 2 222 y zyx 分别令2 21 xx得2 0 1 1 2211 zyyz 即 2 0 2 1 1 2 21 nn 3 6 62 202 cos 21 nn 二面角SAMB 的大小 3 6 arccos 2 解法一 取 BC 中点 F 连接 EF 则 EF 1 2 1 B B 从而 EFDA 连接 AF 则 ADEF 为平行四边形 从而 AF DE 又 DE 平面 1 BCC 故 AF 平面 1 BCC 从 而 AF BC 即 AF 为 BC 的垂直平分线 所以 AB AC 作 AG BD 垂足为 G 连接 CG 由三垂线定理知 CG BD 故 AGC 为二面角 A BD C 的 平面角 由题设知 AGC 600 设 AC 2 则 AG 2 3 又 AB 2 BC 2 2 故 AF 2 由AB ADAG BD 得 2AD 22 2 2 3 AD 解得 AD 2 故 AD AF 又 AD AF 所以四边形 ADEF 为正方形 因为 BC AF BC AD AF AD A 故 BC 平面 DEF 因此平面 BCD 平面 DEF 连接 AE DF 设 AE DF H 则 EH DF EH 平面 BCD 连接 CH 则 ECH 为 1 BC与平面 BCD 所成的角 因 ADEF 为正方形 AD 2 故 EH 1 又 EC 1 1 2 BC 2 所以 ECH 300 即 1 BC与平面 BCD 所成的角为 300 解法二 以 A 为坐标原点 射线 AB 为 x 轴的正半轴 建立如图所示 的直角坐标系 A xyz 设 B 1 0 0 C 0 b 0 D 0 0 c 则 1 B 1 0 2c E 1 2 2 b c 于是DE 1 2 2 b 0 BC 1 b 0 由 DE 平面 1 BCC知 DE BC DE BC 0 求得 b 1 所以 AB AC 设平面 BCD 的法向量 ANx y z 则0 0 AN BCAN BD 又BC 1 1 0 BD 1 0 c 故 0 0 xy xcz 令 x 1 则 y 1 z 1 c AN 1 1 1 c 又平面ABD的法向量AC 0 1 0 由二面角CBDA 为 60 知 ACAN 60 故 60cos ACANACAN 求得 2 1 c 于是 211 AN 211 1 CB 2 1 cos 1 1 1 CBAN CBAN CBAN 60 1 CBAN 所以CB1与平面BCD所成的角为 30 3 证明 连接CQDP 在ABE 中 QP 分别是ABAE 的中点 所以 BEPQ 2 1 又BEDC 2 1 所以DCPQ 又 PQ平面 ACD DC 平面 ACD 所 以 PQ平面 ACD 在ABC 中 BQAQBCAC 2 所以ABCQ 而 DC 平面 ABC DCEB 所以 EB平面 ABC 而 EB平面 ABE 所以平面 ABE 平面 ABC 所以 CQ平面 ABE 由 知四边形 DCQP 是平行四边形 所以CQDP 所以 DP平面 ABE 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是DAP 在APDRt 中 512 2222 DCACAD 1sin2 CAQCQDP 所以 5 5 5 1 sin AD DP DAP 4 4 解法解法 1 1 四边形 ABCD 是正方形 AC BD PDABCD 底面 PD AC AC 平面 PDB 平面AECPDB 平面 设 AC BD O 连接 OE 由 知 AC 平面 PDB 于 O AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角 O E 分别为 DB PB 的中点 OE PD 1 2 OEPD 又 PDABCD 底面 OE 底面 ABCD OE AO 在 Rt AOE 中 12 22 OEPDABAO 45AOE 即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45 解法解法 2 2 如图 以 D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz 设 ABa PDh 则 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A aB a aCaDPh 0 0 0 0ACa aDPhDBa a 0 0AC DPAC DB AC DP AC DB AC 平面 PDB 平面AECPDB 平面 当2PDAB 且 E 为 PB 的中点时 112 0 0 2 222 PaEaaa 设 AC BD O 连接 OE 由 知 AC 平面 PDB 于 O AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角 1122 0 0 2222 EAaaaEOa 2 cos 2 EA EO AEO EAEO 45AOE 即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45 多面体 ABCDEF 的体积为 VE ABCD VE BCF 2 2 5 解 方法 一 1 证 依题设 在以 为直径的球面上 则 因为 平面 则 又 所以 平面 则 因此有 平面 所以平面 平面 设平面 与 交于点 因为 所以 平面 则 由 1 知 平面 则 MN 是 PN 在平面 ABM 上 的射影 所以 PNM 就是PC与平面ABM所成的角 且PNMPCD tantan2 2 PD PNMPCD DC 所求角为arctan2 2 3 因为 O 是 BD 的中点 则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半 由 1 知 平面 于 M 则 DM 就是 D 点到平面 ABM 距离 因为在 Rt PAD 中 4PAAD PDAM 所以M为PD中点 2 2DM 则 O 点到平面 ABM 的距离等于2 方法二 1 同方法一 2 如图所示 建立空间直角坐标系 则 0 0 0 A 0 0 4 P 2 0 0 B 2 4 0 C 0 4 0 D 0 2 2 M O N A P B C M D z x y 设平面ABM的一个法向量 nx y z 由 nAB nAM 可得 20 220 x yz 令1z 则1y 即 0 1 1 n 设所求角为 则 2 2 sin 3 PC n PC n 所求角的大小为 2 2 arcsin 3 3 设所求距离为h 由 1 2 0 1 2 0 OAO 得 2 AO n h n 6 解析解析 解法一 因为平面 ABEF 平面 ABCD BC 平面 ABCD BC AB 平面 ABEF 平面 ABCD AB 所以 BC 平面 ABEF 所以 BC EF 因为 ABE 为等腰直角三角形 AB AE 所以 AEB 45 又因为 AEF 45 所以 FEB 90 即 EF BE 因为 BC 平面 ABCD BE 平面 BCE BC BE B 所以EFBCE 平面 6 分 II 取 BE 的中点 N 连结 CN MN 则 MN 1 2 ABPC PMNC 为平行四边形 所以 PM CN CN 在平面 BCE 内 PM 不在平面 BCE 内 PM 平面 BCE 8 分 III 由 EA AB 平面 ABEF 平面 ABCD 易知 EA 平面 ABCD 作 FG AB 交 BA 的延长线于 G 则 FG EA 从而 FG 平面 ABCD 作 GH BD 于 H 连结 FH 则由三垂线定理知 BD FH FHG 为二面角 F BD A 的平面角 FA FE AEF 45 AEF 90 FAG 45 设 AB 1 则 AE 1 AF 2 2 则 1 FGAF si n FAG 2 在 Rt BGH 中 GBH 45 BG AB AG 1 1 2 3 2 323 2 G HBG si n G BH 224 在 Rt FGH 中 FG2 t an FH G G H3 二面角FBDA 的大小为 2 arc t an 3 12 分 解法二 因ABE 等腰直角三角形 AEAB 所以ABAE 又因为平面ABABCDABEF 平面 所以AE 平面ABCD 所以ADAE 即AEABAD 两两垂直 如图建立空间直角坐标系 I 设1 AB 则1 AE 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 CEDB 45 AEFFEFA 0 90 AFE 从而 2 1 2 1 0F 2 1 2 1 0 EF 0 0 1 1 1 0 BCBE 于是0 2 1 2 1 0 BEEF 0 BCEF EF BE EF BC BE 平面BCE BC 平面BCE BBEBC EFBCE 平面 II 0 2 1 1 2 1 0 0 PM 从而 2 1 2 1 1 PM 于是0 4 1 4 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 EFPM PM EF 又EF 平面BCE 直线PM不在平面BCE内 故PM 平面BCE III 设平面BDF的一个法向量为 1 n 并设 1 n zyx 2 1 2 3 0 0 1 1 BFBD 0 0 1 1 BFn BDn 即 0 2 1 2 3 0 zy yx 取1 y 则1 x 3 z 从而 1 n 1 1 3 取平面ABDD 的一个法向量为 1 0 0 2 n 11 113 111 3 cos 21 21 21 nn nn nn 故二面角FBDA 的大小为 11 113 arccos 7 证发 1 连接 BD 由底面是正方形可得 AC BD SD 平面 BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影 由三垂线定理得 AC BE II 解法 1 SD 平面 ABCD 平面 SD CD 又底面 是正方形 D D 又 AD D CD 平面 SAD 过点 D 在平面 SAD 内做 DF AE 于 F 连接 CF 则 CF AE 故 CFD 是二面角 C AE D 的平面角 即 CFD 60 在 Rt ADE 中 AD a DE a AE a1 2 于是 DF 1 2 a AE DEAD 在 Rt CDF 中 由cot60 1 2 CD DF 得 3 3 1 2 即33 2 3 0 1 解得 2 2 8 解 如图所示 由正三棱柱 111 ABCABC 的性质知 1 AA 平面ABC 又 DE 平面 ABC 所以 DE 1 AA 而 DE 1 AE 111 AAAEA 所以 DE 平面 11 ACC A 又 DE 平面 1 ADE 故平面 1 ADE 平面 11 ACC A 解法解法 1 1 过点 A 作 AF 垂直 1 AE于点F 连接 DF 由 知 平面 1 ADE 平面 11 ACC A 所以 AF 平面 1 ADE 故ADF 是直线 AD 和 平面 1 ADE所成的角 因为 DE 11 ACC A 所以 DE AC 而 ABC 是边长为 4 的正三角形 于是 AD 2 3 AE 4 CE 4 1 2 CD 3 又因为 1 7AA 所以 1 AE 22 11 AEAAAE 22 7 3 4 1 1 3 7 4 AE AA AF AE 21 sin 8 AF ADF AD 即直线 AD 和平面 1 ADE所成角的正弦值为 21 8 解法解法 2 2 如图所示 设 O 是 AC 的中点 以 O 为原点建立空间直角坐标系 则相关各点的坐标分别是 A 2 0 0 1 A 2 0 7 D 1 3 0 E 1 0 0 易知 1 AD 3 3 7 DE 0 3 0 AD 3 3 0 设 nx y z r 是平面 1 ADE的一个法向量 则 1 30 3370 n DEy n ADxyz r uuu v r uuu v 解得 7 0 3 xz y 故可取 7 0 3 n r 于是 cos n AD n AD nAD r uuu r r uuu r ruuu r 3 721 84 2 3 由此即知 直线 AD 和平面 1 ADE所成角的正弦值为 21 8 所以 ME 与 BN 不共面 它们是异面直线 12 分 9 解析解析 解法一 因为平面 ABEF 平面 ABCD BC 平面 ABCD BC AB 平面 ABEF 平面 ABCD AB 所以 BC 平面 ABEF 所以 BC EF 因为 ABE 为等腰直角三角形 AB AE 所以 AEB 45 又因为 AEF 45 所以 FEB 90 即 EF BE 因为 BC 平面 ABCD BE 平面 BCE BC BE B 所以EFBCE 平面 6 分 II 取 BE 的中点 N 连结 CN MN 则 MN 1 2 ABPC PMNC 为平行四边形 所以 PM CN CN 在平面 BCE 内 PM 不在平面 BCE 内 PM 平面 BCE 8 分 III 由 EA AB 平面 ABEF 平面 ABCD 易知 EA 平面 ABCD 作 FG AB 交 BA 的延长线于 G 则 FG EA 从而 FG 平面 ABCD 作 GH BD 于 H 连结 FH 则由三垂线定理知 BD FH FHG 为二面角 F BD A 的平面角 FA FE AEF 45 AEF 90 FAG 45 设 AB 1 则 AE 1 AF 2 2 则 1 FGAF si n FAG 2 在 Rt BGH 中 GBH 45 BG AB AG 1 1 2 3 2 323 2 G HBG si n G BH 224 在 Rt FGH 中 FG2 t an FH G G H3 二面角FBDA 的大小为 2 arc t an 3 12 分 解法二 因ABE 等腰直角三角形 AEAB 所以ABAE 又因为平面ABABCDABEF 平面 所以AE 平面ABCD 所以ADAE 即AEABAD 两两垂直 如图建立空间直角坐标系 I 设1 AB 则1 AE 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 CEDB 45 AEFFEFA 0 90 AFE 从而 2 1 2 1 0F 2 1 2 1 0 EF 0 0 1 1 1 0 BCBE 于是0 2 1 2 1 0 BEEF 0 BCEF EF BE EF BC BE 平面BCE BC 平面BCE BBEBC EFBCE 平面 II 0 2 1 1 2 1 0 0 PM 从而 2 1 2 1 1 PM 于是0 4 1 4 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 EFPM PM EF 又EF 平面BCE 直线PM不在平面BCE内 故PM 平面BCE III 设平面BDF的一个法向量为 1 n 并设 1 n zyx 2 1 2 3 0 0 1 1 BFBD 0 0 1 1 BFn BDn 即 0 2 1 2 3 0 zy yx 取1 y 则1 x 3 z 从而 1 n 1 1 3 取平面ABDD 的一个法向量为 1 0 0 2 n 11 113 111 3 cos 21 21 21 nn nn nn 故二面角FBDA 的大小为 11 113 arccos 10 解法一 ABDC DC A平面EFCD AB 到面EFCD的距离等于点 A 到面 EFCD的距离 过点 A 作AGFD 于 G 因 2 BAD AB DC 故CDAD 又 FA 平面ABCD 由三垂线定理可知 CDFD 故CDFAD 面 知CDAG 所以 AG 为所求直线 AB 到面EFCD的距离 在RtABC 中 22 945FDFCCD A B C D E F x y z G 由FA 平面ABCD 得FA AD 从而在Rt FAD中 22 541FAFDAD 22 5 55 FA AD AG FD 即直线AB到平面EFCD的距离为 2 5 5 由己知 FA 平面ABCD 得FA AD 又由 2 BAD 知ADAB 故 AD 平面 ABFE DAAE 所以 FAE 为二面角FADE 的平面角 记为 在RtAED 中 22 743AEEDAD 由ABCDA得 FEBAA 从而 2 AFE 在RtAEF 中 22 3 12FEAEAF 故tan2 FE FA 所以二面角FADE 的平面角的正切值为2 解法二 如图以 A 点为坐标原点 AB AD AF 的方向为 x y z 的正方向建立空间直角坐标系数 则 A 0 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 设 00 0 0 0 Fzz 可得 0 2 2 FCz 由 3FC 即 222 0 223z 解得 0 0 1 F AB DC DC 面EFCD 所以直线 AB 到面EFCD的距离等于点 A 到面EFCD的距离 设 A 点 在平面EFCD上的射影点为 111 G xy z 则 111 AGxy z 因0AG DF 且0AG CD 而 0 2 1 DF 2 0 0 CD 此即 11 1 2