第六节--空间直线及其方程教案

1 重庆科创职业学院授课教案重庆科创职业学院授课教案 课名 高等数学 上 教研窒 高等数学教研 室 班级 编写时间 2 课题 第六节 空间直线及其方程 教学目的及要求 介绍空间曲线中最常用的直线 与平面同为本章的重点 教学重点 1 直线方程 2 直线与平面的综合题 教学难点 1 直线的几种表达式 2 直线与平面的综合题 教学步骤及内容 一 空间直线的一般方程一 空间直线的一般方程 空间直线可以看成是两个平面的交线 故其一般方程为 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 二 空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程 平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量方向向量 已知直线上的一点和它的一方向向量 0000 zyxM pnm s 设直线上任一点为 那么与 s 平行 由平行的坐标表 zyxMMM0 示式有 p zz n yy m xx 000 此即空间直线的对称式方程对称式方程 或称为点向式方程 写时参照书上注释 如设 t p zz n yy m xx 000 就可将对称式方程变成参数方程参数方程 t 为参数 旁批栏 4 ptzz ntyy mtxx 0 0 0 三种形式可以互换 按具体要求写相应的方程 例例 1 用对称式方程及参数方程表示直线 0432 01 zyx zyx 解 解 在直线上任取一点 取 解得 000 zyx1 0 x 063 02 00 00 zy zy 即直线上点坐标 2 0 00 zy 2 0 1 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 对 3 1 4 21 nns 称式方程为 3 2 1 0 4 1 zyx 参数方程 tz ty tx 32 41 例例 2 2 一直线过点 且和轴垂直相交 求其方程 4 3 2 Ay 解 解 因为直线和轴垂直相交 所以交点为 于是y 0 3 0 B 4 0 2 BAs 所求直线方程 三 两直线的夹角 三 两直线的夹角 4 4 0 3 2 2 zyx 两直线的方向向量的夹角 通常指锐角 叫做两直线的夹角 设两直线和的方向向量依次为和 1 L 2 L 1111 pnm s 两直线的夹角可以按两向量夹角公式来计算 2222 pnm s 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos pnmpnm ppnnmm 两直线两直线和和垂直 垂直 充分必要条件 1 L 2 L0 212121 ppnnmm 两直线两直线和和平行 平行 充分必要条件 1 L 2 L 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 例例 3 3 求过点且与两平面和的交线平行 5 2 3 34 zx152 zyx 的直线方程 解 解 设所求直线的方向向量为 根据题意知 直线的方向向量 pnm s 与两个平面的法向量都垂直 所以可以取 所求 1 3 4 21 nns 直线的方程 1 5 3 2 4 3 zyx 旁批栏 5 四 直线与平面的夹角四 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时 直线与它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角 当直线与平面垂直时 规定直线与 2 0 平面的夹角为 2 设直线的方向向量为 平面的法线向量为L pnm s 直线与平面的夹角为 那么 CBA n 222222 sin pnmCBA CpBnAm 直线与平面垂直 s n 相当于 充分必要条件 p C n B m A 直线与平面平行 sn 相当于 充分必要条件 0 CpBnAm 平面束方程 平面束方程 过平面直线的平面束方程为 01 01 zyx zyx 0 22221111 DzCyBxADzCyBxA 五 杂例 五 杂例 例例 1 1 求与两平面 x 4z 3 和 2x y 5z 1 的交线平行且过点 3 2 5 的直线方程 解 解 由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行 故直线的方向 向量 s 一定与两平面的法线向量垂直 所以 34 512 401kji kji s 因此 所求直线的方程为 1 5 3 2 4 3 zyx 旁批栏 6 例例 2 2 求过点 2 1 3 且与直线垂直相交的直线方 12 1 3 1 zyx 程 解 解 先作一平面过点 2 1 3 且垂直于已知直线 即以已知直线的方 向向量为平面的法线向量 这平面的方程为 0 3 1 2 2 3 zyx 再求已知直线与这平面的交点 将已知直线改成参数方程形式为 x 1 3ty 1 2tz t 并代入上面的平面方程中去 求得 t 从而求得交点为 7 3 7 3 7 13 7 2 以此交点为起点 已知点为终点可以构成向量 s 即为所求直线的方向向量 4 1 2 7 6 7 3 3 7 13 1 7 2 2 s 故所求直线方程为 4 3 1 1 2 2 zyx 例例 3 3 求直线 在平面上的投影直线的方 01 01 zyx zyx 0 zyx 程 解 解 应用平面束的方法 设过直线的平面束方程为 01 01 zyx zyx 0 1 1 zyxzyx 即01 1 1 1 zyx 这平面与已知平面垂直的条件是0 zyx 01 1 1 1 1 1 解之得1 代入平面束方程中得投影平面方程为 y z 1 0 所以投影直线为 旁批栏 4 0