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.双曲线的定值问题 李春丽 （辽宁省本溪市机电工程学校 117000）【摘要】所谓定值问题，就是当一部分元素按某种规律在一定范围内变动时，与它有关的某些量始终保持不变，这类问题被称为定值问题。双曲线中蕴涵着许多结构新颖独特，内容丰富多彩的性质，也有很多的定值问题，笔者精选了双曲线7个定值问题，供师生们参考。 【关键词】双曲线；定值；斜率。1. 双曲线上的一点到两条渐近线的距离积是定值。 已知双曲线上的点.求证：点到两条渐近线的距离积为。证明：设点是双曲线上的任意一点。有。则点分别到两条渐近线的距离积为=。2. 双曲线上的点（除、）与长轴的端点、的连线、的斜率的积为证明：设P(,(-,0),(,0),有，得。则=3是双曲线上过原点的弦，是双曲线上异于的任意一点，则 =。证明仿上题。4是双曲线上任意一条弦，是的中点，则直线与的斜率之积为。证明:设，则。所以，又，两式相减，得，所以，即。5。过双曲线焦点F的直线(不是长轴)交双曲线于P、Q,与焦点对应的顶点A和点P、Q的连线的斜率、满足：=。（其中为离心率）。证明：不妨设右焦点F(0),右顶点A(0),直线P、Q的斜率为。（I）当不存在时，可得点P、Q的坐标分别是（），于是=，（其中=为离心率）。（II）当存在时，方程组 （1）代人（2）整理得=0设P（）、Q（，则，,所以=+=+=所以=6.过双曲线的右焦点F的直线交双曲线于A、B,交轴于M点，若,，则.证明：（I）当与轴重合时，不妨设A(-,0),B(,0),则F(,M(0,0). 由，得,.所以=.（II）当与轴不重合时，设M(,0),联立方程 (2)代入（1）整理得则，。由，得，。7在中心为的双曲线上任取两点P、Q，使，则.证明：设直线的斜率为设P（）、Q（，则、的方程分别为：，由方程组得，同理；，所以。【参考文献】1李远敬。抛物线的定值问题，数学学习与研究
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