高三数学模拟试题及答案

高三数学模拟试题及答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1下列符合三段论推理形式的为()A如果 pq，p 真，则 q 真B如果 bc，ab，则 acC如果 ab，bc，则 acD如果 ab，c0，则 acbc解析：由三段论的推理规则可以得到 B 为三段论.答案：B2类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等ABC D解析：由类比原理和思想，都是合理、恰当的.答案：C3用反证法证明命题“23 是无理数”时，假设正确的是()A假设 2 是有理数 B假设 3 是有理数C假设 2 或 3 是有理数 D假设 23 是有理数解析：假设结论的反面成立，23 不是无理数，则 23 是有理数.答案：D4已知 ai，biR(i1,2,3，n)，a12a22an21，b12b22bn21，则a1b1a2b2anbn 的最大值为()A1B2Cn2D2n解析：此结论为“a，b，c，dR，a2b21，c3d21，则 acbda2c22b2d221”的推广，类比可得a1b1a2b2anbna12b122a22b222an2bn221.答案：A5在下列函数中，最小值是 2 的是()Ayx22xByx2x1(x0)Cysinx1sinx，x(0，2)Dy7x7x解析：A 中 x 的取值未限制，故无最小值D 中，y7x7x7x17x2，等号成立的条件是 x0.B、C 选项均找不到等号成立的条件.答案：D6一元二次不等式 ax2bx10 的解集为x|1x13，则 ab 的值为()A6B6C5D5解析：ax2 bx 10 的解集是x|1x13，1，13 是方程 ax2bx10 的两根，113ba1131ab2，a3，ab3(2)6.答案：B7已知 a0，b0，则 1a1b2ab 的最小值是()A2B22C4D5解析：因为 1a1b2ab21ab2ab21abab4，当且仅当 1a1b，且 1abab，即 ab1 时，取“”.答案：C8在直角坐标系中，若不等式组 y0，y2x，yk(x1)1，表示一个三角形区域，则实数 k 的取值范围是()A(，1)B(1,2)C(，1)(2，)D(2，)解析：先作出 y0，y2x，的平面区域如图：若 k0 时，显然不能与阴影部分构成三角形若 k0，将阴影部分的点如(0,0)代入 yk(x1)1，有0k1，显然不能与阴影部分构成三角形，所以 k0；又yk(x1)1 是过定点(1，1)的直线，由图知，若与阴影部分构成三角形，则有k10，故 k1 时，原不等式组能构成三角形区域.答案：A9如果 ab，给出下列不等式，其中成立的是()(1)1a1b；(2)a3b3；(3)a21b21;(4)2a2b.A(2)(3)B(1)(3)C(3)(4)D(2)(4)解析：a、b 符号不定，故 (1)不正确，(3)不正确yx3 是增函数，ab 时，a3b3，故(2)正确y2x 是增函数，ab 时，2a2b，故(4)正确.答案：D10设函数 f(x)3(x0)，x2bxc(x0)，若 f(4)f(0)，f(2)0，则关于 x 的不等式 f(x)1 的解集为()A(，31，)B3，1C3，1(0，)D3，)解析：当 x0 时，f(x)x2bxc 且 f(4)f(0)，故对称轴为 xb22，b4.又 f(2)48c0，c4，令 x24x41 有3x1；当 x0 时，f(x)21 显然成立故不等式的解集为3，1(0，).答案：C11若直线 2axby20(a0，b0)平分圆x2y22x4y60，则 2a1b 的最小值是()A22B.21C322D322解析：由 x2y22x4y60 得(x1)2(y2)211，若 2axby20 平分圆，2a 2b20， a b1，2a 1b2(a b)aabb32baab322baab322，当且仅当 2baab，且 ab1，即 a22，b21 时取等号.答案：C12某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站 10km 处建仓库，这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5km 处 B4km 处C3km 处 D2km 处解析：由题意可设 y1k1x，y2k2x，k1xy1，k2y2x，把 x10，y12 与 x10，y28 分别代入上式得k120，k20.8，y120x，y20.8x(x 为仓库到车站的距离)，费用之和 yy1y20.8x20x20.8x20x8，当且仅当 0.8x20x，即 x5 时等号成立，故选 A.答案：A第卷(非选择共 90 分)二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13如下图，对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，52 的“分裂”中最大的数是，53 的“分裂”中最小的数是.解析：由已知中“分裂”可得故“52”的“分裂”中最大的数是 9,53 的“分裂”中最小的数是 21.答案：92114由图有面积关系：SPABS PABPAPBPAPB，则由图有体积关系：VPABCVPABC_.解析：设三棱锥 C-PAB的高为 h，15已知等比数列an中，a2a31，则使不等式a11a1a21a2a31a3an1an0 成立的最大自然数n 是_解析：a2a3 1，0qa1a21，a11q21，a11a1a11a2a31a1an1an(a1a2an)1a11a21ana1(1qn)1q1a111qn11qa1(1q4)1qq(1qn)a1(1q)qn0，a1(1qn)1qq(1qn)a1(1q)qn.因为 0q1，所以，化简得：a121qn1，即 q4qn1，4n1，n5，所以 n 的最大值为 5.答案：516设实数 x，y 满足 xy20，x2y50，y20，则 uyxxy 的取值范围是_解析：作出 x，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是 13，2，即 yx13，2，故令 tyx，则 ut1t，根据函数 ut1t 在 t13，2 上单调递增，得u83，32.答案：83，32三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17(10 分)在三角形中有下面的性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的中位线等于第三边的一半；(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；(4)三角形的面积为 S12(abc)r(r 为三角形内切圆半径，a、b、c 为三边长)请类比出四面体的有关相似性质解析：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一；新课(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心；(4)四面体的体积为 V13(S1S2S3S4)r(r 为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4 为四面体的四个面的面积)18(12 分)已知 a0，b0，求证 b2aa2bab.解析：b2aa2b(ab)b2aaa2bb(ba)(ba)a(ab)(ab)b(ab)(ab)1b1a1ab(ab)2(ab)，a0 ，b0， b2aa2bab.19(12 分)为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在 2009 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用 t(t0)万元满足 x4k2t1(k 为常数)如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是 1 万件已知 2009 年生产该产品的固定投入为 6 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)(1)将该厂家 2009 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t万元的函数；(2)该厂家 2009 年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？解析：(1)由题意有 14k1，得 k3，故 x432t1.y1.5612xxx(612x)t36xt3643t1t27182t1t(t0)(2)由(1)知：y27182t1t27.59t12t12.由基本不等式9t12t1229t12t126，当且仅当 9t12t12，即 t2.5 时，等号成立，故 y27182t1t27.59t12t1227.5621.5.当 t2.5 时，y 有最大值 21.5.所以 2009 年的年促销费用投入2.5 万元时，该厂家利润最大20(12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn，且方程x2anxan0 有一根为 Sn1，n1,2,3，.(1)求 a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式解析：(1)当 n1 时，x2a1xa10 有一根为 S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得 a112.当 n2 时，x2a2xa20 有一根为 S21a212，于是 a2122a2a212a20，解得 a216.(2)由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，Sn22Sn1anSn0.当 n2 时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由(1)得 S1a112，S2a1a2121623.由可得 S334，由此猜想 Snnn1，n1,2,3，.21(12 分)设二次函数 f(x)ax2bxc 的一个零点是1，且满足f(x)xf(x)x2120 恒成立(1)求 f(1)的值；(2)求 f(x)的解析式；解析：(1)由均值不等式得 x2122x2x，若f(x)xf(x)x2120 恒成立，即 xf(x)x212 恒成立，令 x1 得 1f(1)12121，故 f(1)1.(2)由函数零点为1 得 f(1)0，即 abc0，又由(1)知 abc1，所以解得 acb12.又 f(x)xax212xcxax212xc，因为 f(x)x0 恒成立，所以 144ac0，因此 ac116于是 a0，c0.再由 ac12，得 acca22116故 ac116，且 ac14，故 f(x)的解析式是 f(x)14x212x212x14.22(12 分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形(1)求出 f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)的关系，并根据你得到的关系式求 f(n)的表达式解析：(1)f(1)=1，f(2)=5，f(3)