指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)

指数函数与对数函数总结与练习指数函数与对数函数总结与练习 一 指数的性质 一 整数指数幂 1 整数指数幂概念 an n aaaa 个 Nn 0 10aa 1 0 n n aanN a 2 整数指数幂的运算性质 1 2 mnm n aaam nZ n mmn aam nZ 3 n nn ababnZ 其中 mnmnm n aaaaa 1 n n n nn n aa a bab bb 3 的次方根的概念an 一般地 如果一个数的次方等于 那么这个数叫做的次方根 na Nnn 1an 即 若 则叫做的次方根 axn xan Nnn 1 说明 若是奇数 则的次方根记作 若则 若则nan n a0 a0 n aoa 0 n a 若是偶数 且则的正的次方根记作 的负的次方根 记作 n0 aan n aan 例如 8 的平方根 16 的 4 次方根 n a 228 216 4 若是偶数 且则没意义 即负数没有偶次方根 n0a n a Nnn n 100 00 n 式子叫根式 叫根指数 叫被开方数 n ana n n aa 4 的次方根的性质an 一般地 若是奇数 则 naa nn 若是偶数 则 n 0 0 aa aa aa nn 5 例题分析 例 1 求下列各式的值 1 2 3 4 3 3 8 2 10 4 4 3 例 2 已知 化简 0 ba Nnn 1 n n n n baba 二 分数指数幂 1 分数指数幂 10 5102 5 0aaaa 12 3124 3 0aaaa 即当根式的被开方数能被根指数整除时 根式可以写成分数指数幂的形式 如果幂的运算性质 2 对分数指数幂也适用 n kkn aa 例如 若 则 0a 3 22 3 2 33 aaa 4 55 4 5 44 aaa 2 32 3 aa 4 54 5 aa 即当根式的被开方数不能被根指数整除时 根式也可以写成分数指数幂的形式 规定 1 正数的正分数指数幂的意义是 0 1 m nm n aaam nNn 2 正数的负分数指数幂的意义是 11 0 1 m n m nm n aam nNn a a 2 分数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即 10 rsr s a aaar sQ 20 s rrs aaar sQ 30 0 r rr aba babrQ 说明 1 有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用 2 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没意义 3 例题分析 例 1 用分数指数幂的形式表示下列各式 ao 2 aa 332 aa a a 例 2 计算下列各式的值 式中字母都是正数 1 2 211511 336622 263a ba ba b 8 31 84 m n 例 3 计算下列各式 1 2 34 51255 2 32 0 a a aa 三 综合应用 例 1 化简 11 555 xxx 例 2 化简 4 1 4 1 2 1 2 1 yxyx 例 3 已知 求下列各式的值 1 2 1 3xx 11 22 xx 33 22 xx 二 指数函数 1 指数函数定义 一般地 函数 且 叫做指数函数 其中是自变量 函数定义域 x ya 0a 1a x 是 R 2 指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质 x ya 1a 01a 1a 01a 图 象 1 定义域 R 2 值域 0 3 过点 即时 0 1 0 x 1y 性 质 4 在上是增函数R 4 在上是减函数R 例 1 求下列函数的定义域 值域 1 2 3 1 21 8 x y 1 1 2 x y 3 x y 例 2 当时 证明函数 是奇函数 1a 1 1 x x a y a 例 3 设是实数 a 2 21 x f xaxR 1 试证明 对于任意在为增函数 a f xR 2 试确定的值 使为奇函数 a f x 三 对数的性质 1 对数定义 一般地 如果 的次幂等于 N 就是 那么数 a10 aa且bNab b 叫做 a 为底 N 的对数 记作 a 叫做对数的底数 N 叫做真数 bN a log 即 b aN logaNb aNb 指数式Nab 底数幂指数 对数式bN a log对数的底数真数对数 说明 1 在指数式中幂 N 0 在对数式中 真数 N 0 负数与零没有对数 2 对任意 且 都有 同样 0 a1a 0 1a log 10 a log1 aa 3 如果把中的写成 则有 对数恒等式 b aN blogaN logaN aN 3 介绍两种特殊的对数 常用对数 以 10 作底 写成 10 logNlgN 自然对数 以作底为无理数 2 71828 写成 eelogeNlne 例 2 1 计算 9 log 27 2 求 x 的值 3 3 log 4 x 2 2 21 log3211 x xx 3 求底数 3 log 3 5 x 7 log 2 8 x 4 对数的运算性质 如果 a 0 a 1 M 0 N 0 那么 1 log loglog aaa MNMN 2 loglog log aaa M MN N 3 loglog n aa MnM nR 例 3 计算 1 lg1421g 2 18lg7lg 3 7 9lg 243lg 5 换底公式 a 0 a 1 log log log m a m N N a 0 1mm 证明 设 则 logaNx x aN 两边取以为底的对数得 mloglog x mm aN loglog mm xaN 从而得 a N x m m log log a N N m m a log log log 说明 两个较为常用的推论 1 2 且均不为 1 loglog1 ab ba loglog m n a a n bb m a0b 证明 1 1 lg lg lg lg loglog b a a b ab ba 2 lglg loglog lglg m n n a ma bnbn bb amam 例 4 计算 1 2 0 2 1 log3 5 4 492 log 3 log 2log32 例 5 已知 求 用 a b 表示 18 log 9a 185 b 36 log45 例 6 设 求证 1643 t zyx yxz2 111 四 对数函数 1 对数函数的定义 函数 叫做对数函数 xy a log 10 aa且 2 对数函数的性质 1 定义域 值域 对数函数的定义域为 值域为xy a log 10 aa且 0 2 图象 由于对数函数是指数函数的反函数 所以对数函数的图象只须由相应的指数 函数图象作关于的对称图形 即可获得 xy 同样 也分与两种情况归纳 以 图 1 与 图 2 1 a10 axy 2 log xy 2 1 log 为例 1 1 2xy 2 logyx yx 图 1 1 1 1 2 x y 1 2 logyx yx 图 2 3 对数函数性质列表 1a 01a 图 象 1 定义域 0 2 值域 R 3 过点 即当时 1 0 1 x0 y 性 质 4 在 0 上是增函数 4 在上是减函数 0 例 1 求下列函数的定义域 1 2 log xy a 例 2 比较下列各组数中两个值的大小 1 3 2 log 3 4 2 log 8 5log 5 1 a log 5 9 a 例 3 比较下列比较下列各组数中两个值的大小 2 3 3 log 2 log 0 8 0 9 1 1 1 1 log0 9 0 7 log0 8 例 4 已知 比较 的大小 log 4log 4 mn mn 解 log 4log 4 mn 44 11 loglogmn 当 时 得 1m 1n 44 11 0 loglogmn 44 loglognm 1mn 当 时 得 01m 01n 44 11 0 loglogmn 44 loglognm 01nm 当 时 得 01m 1n 4 log0m 4 0log n 1 0 1 0 1x 1x logayx logayx 01m 1n 01mn 综上所述 的大小关系为或或 mn1mn 01nm 01mn 例 5 求下列函数的值域 3 且 2 log 47 a yxx 0a 1a 例 6 判断函数的奇偶性 2 2 log 1 f xxx 例 7 求函数的单调区间 2 1 3 2log 32 yxx 指数函数和对数函数单元测试 一 选择题 1 如果 那么 a b 间的关系是 log 5log 50 ab A B C D 01ab 1ab 01ba 1ba 2 已知 则函数的图象必定不经过 01 1ab x yab A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 与函数 y x 有相同图象的一个函数是 A B 且 2 yx logax ya 0a 0 a C D 且 2 yxx log x a ya 0a 0 a 4 函数 y log2x 的图象是 A 1x y O B 1x y O C 1x y O D 1x y O 5 已知函数在上是 x 的减函数 则 a 的取值范围是 log 2 a yax 1 1 A B C D 0 2 1 2 1 2 2 6 已知函数的值域是 则它的定义域是 12 2 log 2log f xx 0 A B C D 2 x x 02 xx 04 xx 24 xx 7 已知函数在区间是减函数 则实数 a 的取值范围 2 0 5 log 3 f xxaxa 2 是 A B C D 4 4 4 4 4 4 8 设 则 7 1 3 x A 2 x 1 B 3 x 2 C 1 x 0 D 0 x 1 9 函数的定义域为 E 函数的定 2 lg 32 f xxx lg 1 lg 2 g xxx 义域为 F 则 A B C D EF EF EF EF 11 已知 则 cab 2 1 2 1 2 1 logloglog A B C D cab 222 cba 222 abc 222 bac 222 12 函数的定义域是 2 3 lg 31 1 x f xx x A B C D 1 3 1 1 3 1 1 3 3 1 3 二 填空题 13 计算 2 1 031 9 4 1 2 4 2 1 14 的定义域是 1 2 log 32 yx 15 方程的解 1 12 log3 x x 16 若函数的的图像过点 则