数列解答题及答案

例 13 考查数列求和 通项 错位 相减 裂项以及分类数学思想等 以下二题考查二次函数 等差数列 数 列求和 不等式等基础知识和基本的运 算技能 考查分析问题的能力和推理能 力 1 全国大纲理 20 设数列 n a 满足 1 0a 且 1 11 1 11 nn aa 求 n a 的通项公式 设 1 1 1 1 n n nnkn k a bbS n 记S证明 解 I 由题设 1 11 1 11 nn aa 即 1 1 n a 是公差为 1 的等差数列 又 1 11 1 11 n n aa 故 所以 1 1 n a n II 由 I 得 1 1 1 1 11 1 n n a b n nn nn nn 8 分 11 111 11 11 nn nk kk Sb kkn 12 分 2 2 山东卷 山东卷 已知 a1 2 点 an an 1 在 函数 f x x2 2x 的图象上 其中 1 2 3 1 证明数列 lg 1 an 是等比数列 2 设 Tn 1 a1 1 a2 1 an 求 Tn及数列 an 的通项 3 记 bn 求 bn 数列的前 2 11 nn aa 项和 Sn 并证明 Sn 1 13 2 n T 解 由已知 2 1 2 nnn aaa 2 1 1 1 nn aa 两边取对数得 1 2a 11 n a 即1 lg 1 2lg 1 nn aa 1 lg 1 2 lg 1 n n a a 是公比为 2 的等比数列 lg 1 n a 由 知 1 1 lg 1 2lg 1 n n aa 1 12 2lg3lg3 n n 1 2 13 n n a 12 1 1 n Taa n 1 a 012 222 333 n 1 2 3 2 1 2 2 3 n 1 2 n 2 1 3 由 式得 1 2 31 n n a 2 10 2 nn aaa 1 2 nnn aa a 1 1111 22 nnn aaa 1 112 2 nnn aaa 又 11 2 n nn b aa 1 11 2 n nn b aa 12n Sbb n b 12231 111111 2 nn aaaaaa 11 11 2 n aa 1 22 11 31 2 31 nn nn aaa 2 2 1 31 n n S 又 21 3 n n T 2 1 31 n n S T 3 浙江理 19 已知公差不为 0 的等差 数列 n a 的首项 1 a 为 a a R 设数列的前 n 项和为 n S 且 1 1 a 2 1 a 4 1 a 成等比数列 1 求数列 n a 的通项公式及 n S 2 记 123 1111 n n A SSSS 2 12 22 1111 n n B aaaa 当 2n 时 试比较 n A 与 n B 的大小 本题主要考查等差数列 等比数列 求 和公式 不等式等基础知识 同时考查 分类讨论思想 满分 14 分 I 解 设等差数列 n a 的公差为 d 由 2 214 111 aaa 得 2 111 3 ada ad 因为 0d 所以d a 所以 1 1 2 nn an n ana S II 解 因为 12 11 1 n Sa nn 所以 123 111121 1 1 n n A SSSSan 因为 1 1 2 2 n n aa 所以 21 12 22 1 1 1111121 2 1 1 2 1 2 n n n n B aaaaaa 当 012 2 21 nn nnnn nCCCCn 时 即 11 11 12nn 所以 当 0 nn aAB 时 当 0 nn aAB 时 4 湖北卷 湖北卷 已知二次函数的图像 yf x 经过坐标原点 其导函数为 数 62fxx 列的前 n 项和为 点均在函 n a n S n n SnN 数的图像上 yf x 求数列的通项公式 n a 设 是数列的前 n 项和 1 1 n nn b a a n T n b 求使得对所有都成立的最小正整 20 n m T nN 数 m 解 解 设这二次函数 f x ax2 bx a 0 则 f x 2ax b 由于 f x 6x 2 得 a 3 b 2 所以 f x 3x2 2x 又因为点均在函数的图像 n n SnN yf x 上 所以 3n2 2n n S 当 n 2 时 an Sn Sn 1 3n2 2n 6n 5 1 2 13 2 nn 当 n 1 时 a1 S1 3 12 2 6 1 5 所以 an 6n 5 nN 由 得知 1 3 nn n aa b 5 1 6 56 3 nn 16 1 56 1 2 1 nn 故 Tn 1 n i i b 1 2 1 16 1 56 1 13 1 7 1 7 1 1 nn2 1 16 1 n 因此 要使 1 0 数列 n a 满足 a1 b 1 1 2 22 n n n nba an an 1 求数列 n a 的通项公式 2 证明 对于一切正整数 n 1 1 1 2 n n n b a 解 1 由 1 1 11 121 0 0 22 n n nnn nbann aba anabb a 知 令 1 1 n n n AA ab 当 1 12 2 nn nAA bb 时 21 1 211 1222 nn nn A bbbb 21 21 1222 nn nn bbbb 当 2b 时 12 1 2 2 2 1 n nn n n bbb A bb b 当 2 2 n n bA 时 2 2 2 2 2 n nn n nbb b a b b 2 当 2b 时 欲证 11 11 2 2 1 1 2222 nnnnn n n nnnn nbbbbb anb bb 只需证 1111121 2 2 2 22 2 nn nnnnnnn b bbbb b 1122222111 22222 nnnnnnnnn bbbbb 21 21 222 2 222 nnn nn nnn bbb b bbb 1 2 222 222 nnnnnn bnbnb 1 1 2 1 22 nn n nnn nbbb a b 当 1 1 2 21 2 n n n b ba 时 综上所述 1 1 1 2 n n n b a 3 湖北理 19 已知数列 na 的前n项和为 nS 且满足 1aa 0 a 1nnarS n N 1 rR r 求数列 na 的通项公式 若存在k N 使得 1kS kS 2kS 成 等差数列 试判断 对于任意的 m N 且2m 1ma ma 2ma 是否成 等差数列 并证明你的结论 本小题主要考查等差数列 等比数列 等基础知识 同时考查推理论证能 力 以及特殊与一般的思想 满分 13 分 解 I 由已知 1 nn arS 可得 21nn arS 两式相减可得 2111 nnnnn aar SSra 即 21 1 nn ara 又 21 arara 所以 r 0 时 数列 n a 为 a 0 0 当 0 1rr 时 由已知 0 0 n aa 所以 nN 于是由 21 1 nn ara 可得 2 1 1 n n a rnN a 23 n a aa 成等比数列 当n2时 2 1 n n ar ra 综上 数列 n a 的通项公式为 2 1 1 2 n n n an a r ra n II 对于任意的 mN 且 12 2 mmm maaa 成等差数列 证明如下 当 r 0 时 由 I 知 1 0 2 m a n a n 对于任意的 mN 且 12 2 mmm maaa 成等 差数列 当 0r 1r 时 21211 kkkkkk SSaaSa 若存在 kN 使得 112 kk SS S 成等差数列 则 12 2 kkk SSS 1221 222 2 kkkkkk SaaSaa 即 由 I 知 23 m a aa 的公比 12r 于是 对于任意的 mN 且 12 2 2 4 mmmm maaaa 从而 1212 2 mmmmmm aaaaaa 即 成 等差数列 综上 对于任意的 mN 且 12 2 mmm maaa 成等差数列 4 山东理 20 等比数列 n a 中 123 a a a 分别是 下表第一 二 三行中的某一个数 且 123 a a a 中的任何两个数不在下表 的同一列 第一列第二列第三列 第一 行 3210 第二 行 6414 第三 行 9818 求数列 n a 的通项公式 若数列 n b 满足 1 ln nnn baa 求数列 n b 的前 n 项和 n S 解 I 当 1 3a 时 不合题意 当 1 2a 时 当且仅当 23 6 18aa 时 符合 题意 当 1 10a 时 不合题意 因此 123 2 6 18 aaa 所以公式 q 3 故 1 2 3 n n a II 因为 1 ln n nnn baa 11 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 ln2 1 ln3 2 3 1 ln2ln3 1 ln3 nnn nn nnn n n 所以 212 2 2 1 3