第三章应变状态理论ppt课件.ppt

3 1位移分量和应变分量两者的关系 3 2物体内无限邻近两点位置的变化转动分量 第三章应变状态理论 3 3转轴时应变分量的变换 3 4主应变应变张量不变量 3 5应变协调方程 3 6应力和应变的关系 物体经过位移后 由于内部各点的位移不相同 除刚体位移外 其大小和形状会发生改变 称为变形 在外力作用下物体内部各质点上的空间位置会发生改变 产生位移 2 建立几何方程和应变协调方程 1 分析一点的应变状态 应变状态理论 3 1位移分量和应变分量两者的关系 位移分量均为单值连续函数 且假定其具有三阶连续偏导数 轴向 纵向 应变 g 切应变 我们从物体中取出x方向上长dx的线段PA 变形后为P A P 点的位移为 u v A 点x方向的位移为 y方向上的位移为 dx dx PA的正应变在小变形时是由x方向的位移所引起的 因此PA正应变为 PA的转角为 dx dx 我们从物体中取出y方向上长dy的线段PB 变形后为P B B 点y方向的位移为 x方向上的位移为 PB的正应变在小变形时是由y方向的位移所引起的 因此PB正应变为 线段PA的转角是 线段PB的转角是 于是 直角APB的改变量为 A 有时用张量分量 P A B 这样 平面上一点的变形我们用该点x方向上的正应变 y方向上的正应变和xy方向构成的直角的变化 切应力来描述 称为应变分量 同样 空间一点的变形我们用该点x y z方向上的正应变和xy yz zx方向构成的直角的变化 切应变来描述 张量形式为 空间的应变分量共九个分量 是一个对称张量 和应力张量一样 它们遵从坐标变换规则 同样存在着三个互相垂直的主方向 对应的主应变值是该张量的特征值 这些互相垂直的主方向构成的直角在该应变张量的变形时 角度不变 由主平面组成的单元体 由正方体变为直角长方体 在主方向构成的坐标系中 张量分量构成对角阵 切应变分量为零 3 2物体内无限邻近两点位置的变化转动分量 物体内无限邻近两点A和B 坐标分别为 x y z 和 x dx y dy z dz 变形后至A 和B 点 则两点的位移矢量的三个分量为 A点 B点 按Tayior展开 得 引入转动矢量 由 p q r表示单元体的刚性转角 与A点无限接近的B点的位移由三部分组成 用矩阵表示 应变张量 3 3转轴时应变分量的变换 一方向为 l m n 的微分线段AB 其长度为r A点的坐标 x y z B点的坐标 x rl y rm z rn 推导得 可写成 表明 如知物体内某点的6个应变分量 即可求得过该点的任一方向微分线段的相对伸长值 过同一点的微分线段AB和AC 其长度分别为r1和r2 方向分别为 l1 m1 n1 和 l2 m2 n2 研究变形后其夹角的改变 可推导得出转轴时应变分量的变换公式 可写成 3 4主应变应变张量不变量 物体内存在3个互相垂直的方向 在这3个方向的微分线段 在物体变形后仍保持垂直 此方向称为应变主方向 该方向上微分线段的相对伸长 称为主应变 由于主方向的线段在变形后仍保持垂直 故在变形中 其单元体只有刚体转动 据此 可得主应变和主应变方向所应满足的方程 其中 应变张量的第一不变量 体积应变 应变张量的第二不变量 应变张量的第三不变量 可得3个实根 分别代表三个主应变 用 1 2 3表示 主应变的几个重要性质 1 如 1 2 3 即方程无重根 则应变主方向必相互垂直 2 如 1 2 3 方程有两重根 则 3方向必同时垂直于 1 2的方向 而 1和 2的方向可以垂直 也可以不垂直 即与 3垂直的任何方向都是主方向 3 如 1 2 3 方程有三重根 则3个方向可以垂直 也可以不垂直 即任何方向都是主方向 解 1 三个应变张量不变量 2 由特征方程得 2 分别代入下列方程中 得 及 3 5应变协调方程 将二 三式分别对z y求二阶导数再相加 得 类似可以得到另外两个方程 将右边后三式分别对x y z求导 后两式相加减去第一式 再对x求导 得 类似可以得到另外两个方程 综合得 应变协调方程 圣维南方程 3 6应力和应变的关系 张量形式为 应力应变的物理关系在线弹性力学中 应力应变的物理关系成线性的广义胡克关系 对于各向同性材料 其中 只有两个弹性常数 当坐标系为主方向时 切应力为零 切应变也为零 公式简化为 上三式相加可得到 其中 分别为体积应变和体积应力 如果用应变来表示应力 有下列关系 其中 称为拉密常数 张量形式为 其矩阵形式为 D 注意这里我们假定材料是线弹性