小学到高中所有数学公式

1 小学小学到到初中初中公式公式 1 每份数每份数 份数 总数份数 总数 总数总数 每份数 份数每份数 份数 总数总数 份数 每份数份数 每份数 2 1 倍数倍数 倍数 几倍数倍数 几倍数 几倍数几倍数 1 倍数 倍数倍数 倍数 几倍数几倍数 倍数 倍数 1 倍数倍数 3 速度速度 时间 路程时间 路程 路程路程 速度 时间速度 时间 路程路程 时间 速度时间 速度 4 单价单价 数量 总价数量 总价 总价总价 单价 数量单价 数量 总价总价 数量 单价数量 单价 5 工作效率工作效率 工作时间 工作总量工作时间 工作总量 工作总量工作总量 工作效率 工作时间工作效率 工作时间 工作总量工作总量 工作时间 工作效率工作时间 工作效率 6 加数 加数 和加数 加数 和 和 一个加数 另一个加数和 一个加数 另一个加数 7 被减数 减数 差被减数 减数 差 被减数 差 减数被减数 差 减数 差 减数 被减数差 减数 被减数 8 因数因数 因数 积因数 积 积积 一个因数 另一个因数一个因数 另一个因数 9 被除数被除数 除数 商除数 商 被除数被除数 商 除数商 除数 商商 除数 被除数除数 被除数 小学数学图形计算公式小学数学图形计算公式 1 正方形 正方形 C 周长周长 S 面积面积 a 边长边长 周长 边长周长 边长 4C 4a 面积面积 边长边长 边长边长 S a a 2 正方体 正方体 V 体积体积 a 棱长棱长 表面积表面积 棱长棱长 棱长棱长 6 S 表表 a a 6 体体 积积 棱长棱长 棱长棱长 棱长棱长 V a a a 3 长方形 长方形 C 周长周长 S 面积面积 a 边长边长 周长周长 长长 宽宽 2 C 2 a b 面积面积 长长 宽宽 S ab 4 长方体 长方体 V 体积体积 s 面积面积 a 长长 b 宽宽 h 高高 1 表面积表面积 长长 宽宽 长长 高高 宽宽 高高 2 S 2 ab ah bh 2 体积体积 长长 宽宽 高高 V abh 5 三角形 三角形 s 面积面积 a 底底 h 高高 面积面积 底底 高高 2 s ah 2 三角形高三角形高 面积面积 2 底底 三角形底三角形底 面积面积 2 高高 6 平行四边形 平行四边形 s 面积面积 a 底底 h 高高 面积面积 底底 高高 s ah 7 梯形 梯形 s 面积面积 a 上底上底 b 下底下底 h 高高 面积面积 上底上底 下底下底 高高 2 s a b h 2 8 圆形 圆形 S 面面 C 周长周长 d 直径直径 r 半径半径 1 周长周长 直径直径 2 半径半径 C d 2 r 2 面积面积 半径半径 半径半径 9 圆柱体 圆柱体 v 体积体积 h 高高 s 底面积 底面积 r 底面半 底面半径径 c 底面周长 底面周长 1 侧面积侧面积 底面周长底面周长 高高 2 表面积表面积 侧面积侧面积 底面积底面积 2 3 体积体积 底面积底面积 高高 4 体积 侧面积体积 侧面积 2 半径半径 10 圆锥体 圆锥体 v 体积体积 h 高高 s 底面积底面积 r 底面半径底面半径 体积体积 底面积底面积 高高 3 2 总数总数 总份数 平均数总份数 平均数 和差问题的公式和差问题的公式 和 差和 差 2 大数 大数 和 差和 差 2 小数 小数 和倍问题和倍问题 和和 倍数 倍数 1 小数 小数 小数小数 倍数 大数倍数 大数 或者或者 和 小数 大数和 小数 大数 差倍问题差倍问题 差差 倍数 倍数 1 小数 小数 小数小数 倍数 大数倍数 大数 或或 小数 差 大数小数 差 大数 植树问题植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形 如果在非封闭线路的两端都要植树如果在非封闭线路的两端都要植树 那么那么 株数 段数 株数 段数 1 全长 全长 株株距 距 1 全长 株距全长 株距 株数 株数 1 株距 全长株距 全长 株数 株数 1 如果在非封闭线路的一端要植树如果在非封闭线路的一端要植树 另一端不要植树另一端不要植树 那么那么 株数 段数 全长株数 段数 全长 株距株距 全长 株距全长 株距 株数株数 株距 全长株距 全长 株数株数 如果在非封闭线路的两端都不要植树如果在非封闭线路的两端都不要植树 那么那么 株数 段数 株数 段数 1 全长 全长 株距 株距 1 全长 株距全长 株距 株数 株数 1 株距 全长株距 全长 株数 株数 1 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数 段数 全长株数 段数 全长 株距株距 全长 株距全长 株距 株数株数 株距 全长株距 全长 株数株数 盈亏问题盈亏问题 3 盈 亏盈 亏 两次分配量之差 参加分配的份数两次分配量之差 参加分配的份数 大盈 小盈大盈 小盈 两次分配量之差 参加分配的份数两次分配量之差 参加分配的份数 大亏 小亏大亏 小亏 两次分配量之差 参加分配的份数两次分配量之差 参加分配的份数 相遇问题相遇问题 相遇路程 速度和相遇路程 速度和 相遇时间相遇时间 相遇时间 相遇路程相遇时间 相遇路程 速度和速度和 速度和 相遇路程速度和 相遇路程 相遇时间相遇时间 追及问题追及问题 追及距离 速度差追及距离 速度差 追及时间追及时间 追及时间 追及距离追及时间 追及距离 速度差速度差 速度差 追及距离速度差 追及距离 追及时间追及时间 流水问题流水问题 顺流速度 静水速度 水流速度顺流速度 静水速度 水流速度 逆流速度 静水速度 水流速度逆流速度 静水速度 水流速度 静水速度 静水速度 顺流速度 逆流速度顺流速度 逆流速度 2 水流速度 水流速度 顺流速度 逆流速度顺流速度 逆流速度 2 浓度问题浓度问题 溶质的重量 溶剂的重量 溶液的重量溶质的重量 溶剂的重量 溶液的重量 溶质的重量溶质的重量 溶液的重量溶液的重量 100 浓度 浓度 溶液的重量溶液的重量 浓度 溶质的重量浓度 溶质的重量 溶质的重量溶质的重量 浓度 溶液的重量浓度 溶液的重量 利润与折扣问题利润与折扣问题 利润 售出价 成本利润 售出价 成本 利润率 利润利润率 利润 成本成本 100 售出价售出价 成本 成本 1 100 涨跌金额 本金涨跌金额 本金 涨跌百分比涨跌百分比 折扣 实际售价折扣 实际售价 原售价原售价 100 折扣 折扣 1 利息 本金利息 本金 利率利率 时间时间 税后利息 本金税后利息 本金 利率利率 时间时间 1 20 长度单位换算长度单位换算 1 千米千米 1000 米米 1 米米 10 分米分米 1 分米分米 10 厘米厘米 1 米米 100 厘米厘米 1 厘米厘米 10 毫米毫米 面积单位换算面积单位换算 4 1 平方千米平方千米 100 公顷公顷 1 公顷公顷 10000 平方米平方米 1 平方米平方米 100 平方分米平方分米 1 平方分米平方分米 100 平方厘米平方厘米 1 平方厘米平方厘米 100 平方毫米平方毫米 体体 容容 积单位换算积单位换算 1 立方米立方米 1000 立方分米立方分米 1 立方分米立方分米 1000 立方厘米立方厘米 1 立方分米立方分米 1 升升 1 立方厘米立方厘米 1 毫升毫升 1 立方米立方米 1000 升升 重量单位换算重量单位换算 1 吨吨 1000 千克千克 1 千克千克 1000 克克 1 千克千克 1 公斤公斤 人人民币单位换算民币单位换算 1 元元 10 角角 1 角角 10 分分 1 元元 100 分分 时间单位换算时间单位换算 1 世纪世纪 100 年年 1 年年 12 月月 大月大月 31 天天 有有 1 3 5 7 8 10 12 月月 小月小月 30 天天 的有的有 4 6 9 11 月月 平年平年 2 月月 28 天天 闰年闰年 2 月月 29 天天 平年全年平年全年 365 天天 闰年全年闰年全年 366 天天 1 日日 24 小时小时 1 小时小时 60 分分 1 分分 60 秒秒 1 小时小时 3600 秒秒 小学数学几何形体周长小学数学几何形体周长 面积面积 体积计算公式体积计算公式 1 长方形的周长 长方形的周长 长 长 宽 宽 2 C a b 2 2 正方形的周长 正方形的周长 边长边长 4 C 4a 3 长方形的面积 长方形的面积 长长 宽宽 S ab 4 正方形的面积 正方形的面积 边长边长 边长边长 S a a a 5 三角形的面积 三角形的面积 底底 高高 2 S ah 2 6 平行四边形的面积 平行四边形的面积 底底 高高 S ah 7 梯形的面积 梯形的面积 上底 上底 下底 下底 高高 2 S a b h 2 8 直径 直径 半径半径 2 d 2r 半径半径 直径直径 2 r d 2 5 9 圆的周长 圆的周长 圆周率圆周率 直径直径 圆周率圆周率 半径半径 2 c d 2 r 10 圆的面积 圆的面积 圆周率圆周率 半径半径 半径半径 常见的初中数学公式常见的初中数学公式 1 过两点有且只有一条直线过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 7 平行公理平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条如果两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也互相平行直线都和第三条直线平行 这两条直线也互相平行 9 同位角相等 两直线平行同位角相等 两直线平行 10 内错角相等 两直线平行内错角相等 两直线平行 11 同旁内角互补 两直线平行同旁内角互补 两直线平行 12 两直线平行 同位角相等两直线平行 同位角相等 13 两直线平行 内错角相等两直线平行 内错角相等 14 两直线平行 同旁内角互补两直线平行 同旁内角互补 15 定理定理 三角形两边的和大于第三边三角形两边的和大于第三边 16 推论推论 三角形两边的差小于第三边三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于 180 18 推论推论 1 直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余 19 推论推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边 对应角相等全等三角形的对应边 对应角相等 22 边角边公理边角边公理 SAS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理角边角公理 ASA 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等形全等 24 推论推论 AAS 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理边边边公理 SSS 有三边对应相等的两个三角形全等有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边 直角边公理斜边 直角边公理 HL 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等全等 27 定理定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理定理 2 到一个角的两边的距离相同的点 在这个角的平分线上到一个角的两边的距离相同的点 在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等 即等边对等角 即等边对等角 31 推论推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和底边上的高互相重合等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论推论 3 等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于 60 34 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角 所对的边也相等 等角对等边 所对的边也相等 等角对等边 35 推论推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论推论 2 有一个角等于有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中 如果一个锐角等于在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的那么它所对的直角边等于斜边的 6 一半一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理定理 2 如果两个图形关于某直线对称 那么对称轴是对应点连线的垂直如果两个图形关于某直线对称 那么对称轴是对应点连线的垂直 平分线平分线 44 定理定理 3 两个图形关于某直线对称 如果它们的对应线段或延长线相交 两个图形关于某直线对称 如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点在对称轴上那么交点在对称轴上 45 逆定理逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分 那么这两如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分 那么这两 个图形关于这条直线对称个图形关于这条直线对称 46 勾股定理勾股定理 直角三角形两直角边直角三角形两直角边 a b 的平方和 等于斜边的平方和 等于斜边 c 的平方 的平方 即即 a 2 b 2 c 2 47 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长 a b c 有关系有关系 a 2 b 2 c 2 那么这个三角形是直角那么这个三角形是直角三角形三角形 48 定理定理 四边形的内角和等于四边形的内角和等于 360 49 四边形的外角和等于四边形的外角和等于 360 50 多边形内角和定理多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于 边形的内角的和等于 n 2 180 51 推论推论 任意多边的外角和等于任意多边的外角和等于 360 52 平行四边形性质定理平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等 54 推论推论 夹在两条平行线间的平行线段相等夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形性质定理平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 平行四边形判定定理平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角 61 矩形性质定理矩形性质定理 2 矩形的对角线相等矩形的对角线相等 62 矩形判定定理矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 63 矩形判定定理矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形性质定理菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等 65 菱形性质定理菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积菱形面积 对角线乘积的一半 即对角线乘积的一半 即 S a b 2 67 菱形判定定理菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形四边都相等的四边形是菱形 68 菱形判定定理菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形性质定理正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角 四条边都相等正方形的四个角都是直角 四条边都相等 70 正方形性质定理正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每 7 条对角线平分一组对角条对角线平分一组对角 71 定理定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的关于中心对称的两个图形是全等的 72 定理定理 2 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被并且被 对称中心平分对称中心平分 73 逆定理逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一点平分 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一点平分 那么这两个图形关于这一点对称那么这两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等 76 等腰梯形判定定理等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必平分另一腰经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必平分另一腰 80 推论推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边 81 三角形中位线定理三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 82 梯形中位线定理梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底 并且梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半等于两底和的一半 L a b 2 S L h 83 1 比例的基本性质比例的基本性质 如果如果 a b c d 那么那么 ad bc 如果如果 ad bc 那么那么 a b c d 84 2 合比性质合比性质 如果如果 a b c d 那么那么 a b b c d d 85 3 等比性质等比性质 如果如果 a b c d m n b d n 0 那么那么 a c m b d n a b 86 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成三条平行线截两条直线 所得的对应线段成 比例比例 87 推论推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得 的应线段成比例的应线段成比例 88 定理定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线 段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的 三边与原三角形三边对应成比例三边与原三角形三边对应成比例 90 定理定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理相似三角形判定定理 1 两角对应相等 两三角形相似 两角对应相等 两三角形相似 ASA 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 SAS 94 判定定理判定定理 3 三边对应成比例 两三角形相似 三边对应成比例 两三角形相似 SSS 8 95 定理定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的 斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 96 性质定理性质定理 1 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的 比都等于相似比比都等于相似比 97 性质定理性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意锐角的余弦值等于它的任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意锐角的余弦值等于它的 余角的正弦值余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值 任意锐角的余切值等于它的任意锐角的正切值等于它的余角的余切值 任意锐角的余切值等于它的 余角的正切值余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹 是以定点为圆心 定长为半径的圆到定点的距离等于定长的点的轨迹 是以定点为圆心 定长为半径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹 是着条线段的垂直平分线和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹 是着条线段的垂直平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹 是这个角的平分线到已知角的两边距离相等的点的轨迹 是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹 是和这两条平行线平行且距离相等到两条平行线距离相等的点的轨迹 是和这两条平行线平行且距离相等 的一条直线的一条直线 109 定理定理 不在同一直线上的三点确定一个圆 不在同一直线上的三点确定一个圆 110 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111 推论推论 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 112 推论推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等 113 圆是以圆圆是以圆心为对称中心的中心对称图形心为对称中心的中心对称图形 114 定理定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对的弦的弦心距相等所对的弦的弦心距相等 115 推论推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两弦的弦在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两弦的弦 心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116 定理定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 推论推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角 所对的弧也相等所对的弧也相等 118 推论推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦的圆周角所对的弦 是直径是直径 9 119 推论推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是 直角三角形直角三角形 120 定理定理 圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对 角角 121 直线直线 L 和和 O 相交相交 d r 直线直线 L 和和 O 相切相切 d r 直线直线 L 和和 O 相离相离 d r 122 切线的判定定理切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切 线线 123 切线的性质定理切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径 124 推论推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125 推论推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126 切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和 这一点的连线平分两条切线的夹角这一点的连线平分两条切线的夹角 127 圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等 128 弦切角定理弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129 推论推论 如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等 130 相交弦定理相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 131 推论推论 如果弦与直径垂直相交 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线那么弦的一半是它分直径所成的两条线 段的比例中项段的比例中项 132 切割线定理切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项交点的两条线段长的比例中项 133 推论推论 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两 条线段长的积相等条线段长的积相等 134 如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上 135 两圆外离两圆外离 d R r 两圆外切两圆外切 d R r 两圆相交两圆相交 R r d R r R r 两圆内切两圆内切 d R r R r 两圆内含两圆内含 d R r R r 136 定理定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137 定理定理 把圆分成把圆分成 n n 3 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形边形 经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆 的外切正的外切正 n 边形边形 138 定理定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆 139 正正 n 边形的每个内角都等于 边形的每个内角都等于 n 2 180 n 140 定理定理 正正 n 边形的半径和边心距把正边形的半径和边心距把正 n 边形分成边形分成 2n 个全等的直角三角形个全等的直角三角形 141 正正 n 边形的面积边形的面积 Sn pnrn 2 p 表示正表示正 n 边形的周长边形的周长 142 正三角形面积正三角形面积 3a 4 a 表示边长表示边长 143 如果在一个顶点周围有如果在一个顶点周围有 k 个正个正 n 边形的角 由于这些角的和应边形的角 由于这些角的和应为为 360 因 因 10 此此 k n 2 180 n 360 化为 化为 n 2 k 2 4 144 弧长计算公式 弧长计算公式 L n 兀兀 R 180 145 扇形面积公式 扇形面积公式 S 扇形扇形 n 兀兀 R 2 360 LR 2 146 内公切线长内公切线长 d R r 外公切线长外公切线长 d R r 实用工具实用工具 常用数学公式常用数学公式 公式分类公式分类 公式表达式公式表达式 乘法与因式分解乘法与因式分解 a2 b2 a b a b a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2 三角不等式三角不等式 a b a b a b a b a b b a b a b a b a a a 一元二次方程的解一元二次方程的解 b b2 4ac 2a b b2 4ac 2a 根与系数的关系根与系数的关系 X1 X2 b a X1 X2 c a 注 韦达定理注 韦达定理 判别式判别式 b2 4ac 0 注 方程有两个相等的实根注 方程有两个相等的实根 b2 4ac 0 注 方程有两个不等的实根注 方程有两个不等的实根 b2 4ac0 抛物线标准方程抛物线标准方程 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py 直棱柱侧面积直棱柱侧面积 S c h 斜棱柱侧面积斜棱柱侧面积 S c h 正棱锥侧面积正棱锥侧面积 S 1 2c h 正棱台侧面积正棱台侧面积 S 1 2 c c h 圆台侧面积圆台侧面积 S 1 2 c c l pi R r l 球的表面积球的表面积 S 4pi r2 圆柱侧面积圆柱侧面积 S c h 2pi h 圆锥侧面积圆锥侧面积 S 1 2 c l pi r l 弧长公式弧长公式 l a r a 是圆心角的弧度数是圆心角的弧度数 r 0 扇形公式扇形公式 s 1 2 l r 锥体体积公式锥体体积公式 V 1 3 S H 圆锥体体积公式圆锥体体积公式 V 1 3 pi r2h 斜棱柱体积斜棱柱体积 V S L 注 其中注 其中 S 是直截面面积 是直截面面积 L 是侧棱长是侧棱长 柱体体积公式柱体体积公式 V s h 圆柱体圆柱体 V pi r2h 高中数学常用公式及结论高中数学常用公式及结论 12 1 元素与集合的关系元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA AA 2 2 集合集合 12 n a aa 的子集个数共有的子集个数共有2n 个 真子集有个 真子集有21 n 个 非空子集有个 非空子集有21 n 个 非空的真子集个 非空的真子集 有有22 n 个个 3 3 二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 1 1 一般式一般式 2 0 f xaxbxc a 2 2 顶点式顶点式 2 0 hf xaakx 当已知抛物线的顶点坐标 当已知抛物线的顶点坐标 h k时 设为此式 时 设为此式 3 3 零点式零点式 12 0 f xa xxxax 当已知抛物线与 当已知抛物线与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为 12 0 0 xx时 时 设为此式 设为此式 4 切线式 切线式 0 2 0 xkxdf xa xa 当已知抛物线与 当已知抛物线与直线直线ykxd 相切且切点的相切且切点的 横坐标为横坐标为 0 x时 设为此式 时 设为此式 4 4 真值表真值表 同真且真 同假或假同真且真 同假或假 5 5 常见结论的否定形式常见结论的否定形式 原结论原结论 反设词反设词 原结论原结论 反设词反设词 是是 不是不是 至少有一个至少有一个 一个也没有一个也没有 都是都是 不都是不都是 至多有一个至多有一个 至少有两个至少有两个 大于大于 不大于不大于 至少有至少有n个个 至多有 至多有 1n 个 个 小于小于 不小于不小于 至多有至多有n个个 至少有 至少有 1n 个 个 对所有对所有x 成立 成立 存在某存在某x 不成立 不成立 p或或q p 且且q 对任何对任何x 不成立 不成立 存在某存在某x 成立 成立 p且且q p 或或q 6 6 四种命题的相互关系四种命题的相互关系 下下图图 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 原命题 互逆 逆命题 若 则 若 则 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非 则非 互逆 若非 则非 充要条充要条件 件 1 1 pq 则 P 是 q 的充分条件 反之 q 是 p 的必要条件 2 2 pq 且 q p 则 P 是 q 的充分不必要条件 3 3 p p 且qp 则 P 是 q 的必要不充分条件 4 p p 且 q p 则 P 是 q 的既不充分又不必要条件 7 7 函数函数单调单调性性 增函数 1 1 文字描述是 y 随 x 的增大而增大 2 2 数学符号表述是 设 f x 在 x D 上有定义 若对任意的 1212 x xDxx 且 都有 12 f xf x 成立 则就叫 f x 在 x D 上是增函数 D 则就是 f x 的递增区间 减函数 1 1 文字描述是 y 随 x 的增大而减小 2 2 数学符号表述是 设 f x 在 x D 上有定义 若对任意的 1212 x xDxx 成立 则就叫 f x 在 x D 上是减函数 D 则就是 f x 的递减区间 单调性性质 1 1 增函数 增函数 增函数 2 2 减函数 减函数 减函数 3 3 增函数 减函数 增函数 4 4 减函数 增函数 减函数 注 上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的 是等号左边两个函数定义域的交集 复合函数的单调性 函数 单调 单调性 内层函数 外层函数 复合函数 等价关系等价关系 1 1 设设 1212 x xa bxx 那么那么 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 上是增函数 上是增函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 x f 则 则 xf为增函数 如果为增函数 如果0 0 和 x0 和 x 0 上具有相反相反的单调区间 奇偶函数间的关系 奇偶函数间的关系 1 1 奇函数 偶函数 奇函数 2 2 奇函数 奇函数 偶函数 3 3 偶奇函数 偶函数 偶函数 4 4 奇函数 奇函数 奇函数 也有例外得偶函数的 5 5 偶函数 偶函数 偶函数 6 6 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 奇函数的图象关于原点奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于对称 偶函数的图象关于 y y 轴对称轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是奇函数 如果一个函数的图象关于那么这个函数是奇函数 如果一个函数的图象关于 y y 轴对称 那么这个函数是偶函数 轴对称 那么这个函数是偶函数 9 函数的周期性 函数的周期性 定义 定义 对函数 f x 若存在 T 0 使得 f x T f x 则就叫 f x 是周期函数 其中 T 是 f x 的一个周期 周期函数几种常见的表述形式 周期函数几种常见的表述形式 1 1 f x T f x 此时周期为 2T 2 2 f x m f x n 此时周期为 2mn 14 3 3 1 f xm f x 此时周期为 2m 1010 常见函数的图像 常见函数的图像 k0 y kx b o y x a0 y ax2 bx c o y x 0 a1 1 y ax o y x 0 a1 1 y logax o y x 1 11 1 对于函数对于函数 xfy Rx xbfaxf 恒成立恒成立 则则函数函数 xf的对称轴是的对称轴是 2 ba x 两个两个 函数函数 axfy 与与 xbfy 的图象关于直线的图象关于直线 2 ba x 对称对称 1 12 2 分数指数幂分数指数幂与根式的性质与根式的性质 1 1 m nm n aa 0 am nN 且1n 2 2 11 m n m nm n a a a 0 am nN 且1n 3 3 n n aa 4 4 当 当n为奇数时 为奇数时 nn aa 当 当n为偶数时 为偶数时 0 0 nn a a aa a a 指数性质 指数性质 1 1 1 1 p p a a 2 2 0 1a 0a 3 3 mnmn aa 4 4 0 rsr s aaaar sQ 5 5 m nm n aa 指数函数 指数函数 1 1 1 x yaa 在定义域内是单调递增函数 2 2 01 x yaa 在定义域内是单调递增函数 2 2 log 01 a yxa 或 4 4 log0 0 1 1 a xax 且且1a 0m 且且1m 0N 对数恒等式 对数恒等式 logaN aN 0a 且且1a 0N 推论推论 loglog m n a a n bb m 0a 且且1a 0N 1 15 5 对数的四则运算法则对数的四则运算法则 若若 a a 0 0 a a 1 1 M M 0 0 N N 0 0 则 则 1 1 log loglog aaa MNMN 2 2 logloglog aaa M MN N 3 3 loglog n aa MnM nR 4 4 loglog m n a a n NN n mR m 1 16 6 平均增长率的问题 负增长时平均增长率的问题 负增长时0p 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N 平均增长率为 平均增长率为p 则对于时间 则对于时间x的总产值的总产值y 有 有 1 xyNp 1 17 7 等差数列 等差数列 通项公式 通项公式 1 1 1 n aand 其中 1 a为首项 d 为公差 n 为项数 n a为末项 2 推广 nk aank d 3 1 2 nnn aSSn 注注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用 前前 n 项和 项和 1 1 2 n n n aa S 其中 1 a为首项 n 为项数 n a为末项 2 1 1 2 n n n Snad 3 1 2 nnn SSa n 注注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用 4 12nn Saaa 注注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用 常用性质 常用性质 1 若 m n p q 则有 mnpq aaaa 注 注 若 mnp aa a是的等差中项 则有 2 mnp aaa n m p 成等差 2 若 n a n b为等差数列 则 nn ab 为等差数列 3 n a为等差数列 n S为其前 n 项和 则 232 mmmmm SSSSS 也成等差数列 4 0 pqp q aq apa 则 5 1 2 3 n 2 1 nn 等比数列 等比数列 16 通项公式 通项公式 1 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其中 1 a为首项 n 为项数 q 为公比 2 推广 n k nk aaq 3 1 2 nnn aSSn 注注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用 前前 n 项和 项和 1 1 2 nnn SSa n 注注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用 2 12nn Saaa 注注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用 3 1 1 1 1 1 1 n n naq S aq q q 常用性质 常用性质 1 若 m n p q 则有 mnpq aaaa 注 注 若 mnp aa a是的等比中项 则有 2 mnp aaa n m p 成等比 2 若 n a n b为等比数列 则 nn ab 为等比数列 18 分期付款分期付款 按揭贷款按揭贷款 每次还款 每次还款 1 1 1 n n abb x b 元元 贷款贷款a元元 n次还清次还清 每期利率为每期利率为b 19 三角不等式三角不等式 1 若 若 0 2 x 则 则sintanxxx 2 若若 0 2 x 则 则1sincos2xx 4 4 bababa 5 5 22 2 22 ababab ab ab 当且仅当当且仅当 a a b b 时取时取 号号 3939 极值定理极值定理 已知已知yx 都是正数 则有都是正数 则有 1 1 若积 若积xy是定值是定值p 则当 则当yx 时和时和yx 有最小值有最小值p2 2 2 若和 若和yx 是定值是定值s 则当 则当yx 时积时积xy有最大值有最大值 2 4 1 s 3 3 已知 已知 a b x yR 若 若1axby 则有则有 2 1111 2 byax axbyabababab xyxyxy 4 4 已知 已知 a b x yR 若 若1 ab xy 则有则有 2 2 abaybx xyxyabababab xyxy 4 40 0 一元二次不等式一元二次不等式 2 0 0 axbxc 如果 如果a与与 2 axbxc 同号 则同号 则 其解集在两根之外 如果其解集在两根之外 如果a与与 2 axbxc 异号 则其解集在两根之间异号 则其解集在两根之间 简言之 同号两根之外 简言之 同号两根之外 异异 号两根之间号两根之间 即 即 19 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 0a 0 时 有时 有 22 xaxaaxa 或或xa 点点P在圆外在圆外 20 dr 点点P在圆上在圆上 dr 点点P在圆内在圆内 4949 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 直线直线0 CByAx与圆与圆 222 rbyax 的位置关系有三种的位置关系有三种 22 BA CBbAa d 0相离rd 0 相切rd 0 rrd 条公切线外切3 21 rrd 条公切线相交2 2121 rrdrr 条公切线内切1 21 rrd 无公切线内含 的参数方程是的参数方程是 cos sin xa yb 离心率离心率 2 2 1 cb e aa 准线到中心的距离为准线到中心的距离为 2 a c 焦点到对应准线的距离 焦点到对应准线的距离 焦准距焦准距 2 b p c 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经 其长度为 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经 其长度为 2 2 b a 5 52 2 椭圆椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 焦半径公式及两焦半径与焦