高一数学几何数学经典试题

1 O S D C B A P 1 如图 已知 ABC 是正三角形 EA CD 都垂直于平面 ABC 且 EA AB 2a DC a F 是 BE 的中点 求证 1 FD 平面 ABC 2 AF 平面 EDB 解 1 取 AB 的中点 M 连 FM MC F M 分别是 BE BA 的中点 FM EA FM EA EA CD 都垂直于平面 ABC CD EA CD FM 又 DC a FM DC 四边形 FMCD 是平行四边形 FD MC FD 平面 ABC 2 因 M 是 AB 的中点 ABC 是正三角形 所以 CM AB 又 CM AE 所以 CM 面 EAB CM AF FD AF 因 F 是 BE 的中点 EA AB 所以 AF EB 2 已知四棱锥P ABCD 如图所示 的底面为正方形 点 A 是点 P 在底面 AC 上的射影 PA AB a S 是 PC 上一个动点 求证 4 分 PCBD 当的面积取得最小值时 求平面 SBD 与平面 PCD 所成二面角的大小 10 分 SBD S D C B A P 1 证明 连接 AC 点 A 是点 P 在底面 AC 上的射影 1 分 PA 面 AC 2 分 PC 在面 AC 上的射影是 AC 正方形 ABCD 中 BD AC 3 分 BD PC 4 分 2 解 连接 OS BD AC BD PC 又 AC PC 是面 PAC 上的两相交直线 BD 面 PAC 6 分 OS 面 PAC BD OS 7 分 正方形 ABCD 的边长为 a BD 8 分 2a F E D C B A M 2 O S D C B A P BSD 的面积 9 分 2 22 BSD BD OSOSa S AA OS 的两个端点中 O 是定点 S 是动点 当取得最小值时 取得最小值 即 OS PC 10 分 BSD S PC BD OS BD 是面 BSD 中两相交直线 PC 面 BSD 12 分 又 PC 面 PCD 面 BSD 面 PCD 13 分 面 BSD 与面 PCD 所成二面角的大小为 90 14 分 4 在三棱锥 P ABC 中 PA PB PC 点 P 到平面 ABC 的距离ABAC 0 60ACB 为 AC 3 2 1 求二面角 P AC B 的大小 2 若 求点 B 到平面 PAC 的距离 ACa 解 1 由条件知 ABC 为直角三角形 且 BAC 90 PA PB PC 点 P 在平面 ABC 上的射影是 ABC 的外心 即斜边 BC 的中点 E 取 AC 中点 D 连 PD DE PE PE 平面 ABC DE AC DE AB AC PD PDE 为二面角 P AC B 的平面角 又 PE AC DE AC 3 2 0 60ACB tan PDE PE DE 3 2 3 3 2 PDE 60 故二面角 P AC B 的大小为 60 5 如图 边长为 2 的等边 PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面 BC M 为 BC 的中点 22 证明 AM PM 求二面角 P AM D 的大小 求点 D 到平面 AMP 的距离 A C P B A C D P B z x y O M P D C B 3 D P A B C A1 B1 C1 解 四边形 ABCD 是矩形 BC CD 平面 PCD 平面 ABCD BC 平面 PCD 2 分 而 PC平面 PCD BC PC 同理 AD PD 在 Rt PCM 中 PM 62 2 2222 PCMC 同理可求 PA AM 326 5 分 222 PAPMAM PMA 90 即 PM AM 6 分 取 CD 的中点 E 连结 PE EM PCD 为正三角形 PE CD PE PDsin PDE 2sin60 3 平面 PCD 平面 ABCD PE 平面 ABCD 由 可知 PM AM EM AM PME 是二面角 P AM D 的平面角 8 分 sin PME 2 2 6 3 PM PE PME 45 二面角 P AM D 为 45 7 本小题满分 14 分 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB BC CA AA1 a2a I 求 AB1与侧面 CB1所成的角 4 分 II 若点 P 为侧棱 AA1的中点 求二面角 P BC A 的大小 5 分 在 II 的条件下 求点 A 到平面 PBC 的距离 解 I 取 BC 中点 D 连结 AD B1D 三棱柱 ABC A1B1C1是直棱柱 侧面 CB1 底面 ABC 且交线为 BC 1 分 ABC 为等边三角形 AD BC AD 面 CB1 AB1D 为 AB1与侧面 CB1所成的角 2 分 在 Rt ADB1中 AD AB1 3 2 a 2222 1 23AAABaaa E B C D P M 4 sin AB1D AB1D 1 1 2 AD AB 30 II 连结 PB PC PD PA 底面 ABC AD BC PD BC PDA 为二面角 P BC A 的平面角 在 Rt PAD tan PDA 2 6 2 33 2 a PA AD a PDA arctan 6 3 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h 则由得 P ABCA PBC VV ABCPBC SPASh ABC PBC SPA h S 222222 23 22 PBPAABaaa 22 5 22 BC PDPBa 2 15 24 PBC SBC PDa 2 3 4 ABC Sa 2 2 32 30 42 105 4 aa ha a 6 如图 四面体 ABCD 中 O E 分别是 BD BC 的中点 2 2 CACBCDBDABAD I 求证 平面 BCD AO II 求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小的余弦值 I 证明 连结 OC BODO ABADAOBD BODO BCCDCOBD C A D B O E A B M D E O C 5 在中 由已知可得而AOC 1 3 AOCO 2 AC 即 222 AOCOAC 90 o AOC AOOC 平面 BDOCO AO BCD II 解 取 AC 的中点 M 连结 OM ME O