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微积分初步 导数可应用于求各种变化率 如求变速直线运动的速度 加速度 切线的斜率 经济的边际等问题 介绍微分的概念及介绍积分的概念及应用 1 1 导数的定义 2 根据导数的定义 求函数y f x 的导数的三个步骤 导数的计算 2 解 1 求增量 2 算比值 3 取极限 这就是说 常数的导数等于零 1 求函数 c是常数 的导数 下面我们求几个常用函数的导数 2 求函数的导数 解 3 在同一平面直角坐标系中 画出函数y 2x y 3x y 4x的图象 从图象上看 它们的导数分别表示什么 4 3 函数的导数 解 解 5 一般地 可以证明幂函数 是任意实数 的导数公式为 6 常数的导数等于零 1 求函数 c是常数 的导数 下面我们求几个常用函数的导数 2 求函数的导数 3函数的导数 一般地 可以证明幂函数 是任意实数 的导数公式为 x x 1 4函数的导数 7 8 可以帮助我们解决两个函数加 减 乘 除的求导问题 导数运算法则 9 2 熟记运算法则 1 C 0 2 3 4 7 8 5 6 1 熟记以下导数公式 10 利用函数的导数来研究函数的极值问题 一般地 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极小值 说明求函数极值的方法与步骤 令 分区间讨论 将极值点代入f x 算出极值 求 求一阶驻点 的正负号 确定单调区间 进而确定极值点 11 函数的极值 请注意几点 1 极值是一个局部概念 由定义 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 也就是说极值与最值是两个不同的概念 2 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 12 4 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值 最小值的点可能在区间的内部 也可能在区间的端点 3 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如下图所示 x1是极大值点 x4是极小值点 而f x4 f x1 13 在函数取得极值处 如果曲线有切线的话 则切线是水平的 从而有 但反过来不一定 如函数y x3 在x 0处 曲线的切线是水平的 但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大 也不比它附近的点的函数值小 14 二阶导数的应用 曲线凹凸区间的判定 直观看曲线 往上弯 为凹 每点切线在曲线下方 曲线 往下弯 为凸 每点切线在曲线上方 x y 0 x y 0 a b b a y f x y f x a图 b图 a图曲线是凹的 切线的倾斜角 为锐角 且由小变大 是递增的 则表明 有 递增 反之亦然 这就得到 有f x 凹 b 图同理有 f x 凸 曲线上凹凸的分界点叫做曲线的拐点 进一步观察曲线凹凸性与切线的关系 15 例1 求下列函数的导数并画出函数的大致图像 4 试证当x 0时 有 16 17 微分 导数的代数应用 如果说用导数判定确定函数的单调性 极值 曲线的凹凸性 拐点 是导数在几何上的应用 那么这里 微分 则主要是导数在代数上的应用 因为 微分 的主要问题是函数的近似计算 如何求一个函数的改变量 微分的概念及思想设函数y f x 的导数存在 即 由极限的概念令 称它为函数f x 的微分 并记 则 18 例1求函数的微分解需要注意 1 微分的意义由于 说明可以用微分求函数的改变量 即这里越小近似程度越好 19 如下图所示 MT是y f x 在M点的切线微分 当较小时 可用直线MT来近似曲线MP 或说用三角形MTN近似曲边三角形MPN 可见 以直代曲 是微分的一个基本思想 于是 可顾名思义 把 微分 看作动词 意思为 无限细分 而把 微分 看作名词 意思为 微小的一部分 x 0 y M P T N x X X y f x 2 微分的思想 20 3 微分的计算由于 因此 求微分就是求导数 并且在存在的情况下 可微与可导等价 于是 由导数公式与法则可直接得到微分的公式与法则 如下表微分基本公式 略 微分四则运算法则设u v是x的可导函数 则 21 例2在下面的括号中以适当的函数填空 分析例1求微分是通过求 这里对照 则是其逆运算 已知求原来的函数 方法在于熟练掌握导数公式 首先找到类似的求导公式 然后猜察反推和多次试算 解说明 由微分的逆运算求原函数是接下来积分讲的内容 通过求原函数可求不定积分 22 微分的近似计算由得到近似公式 例3证明近似公式 证明类似地 可以证明当较小时有下面近似公式 23 常用等价无穷小 24 设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线方程 25 微分学 积分学 互逆问题 26 二 基本积分表 不定积分的概念和性质 一 原函数与不定积分的概念 三 不定积分的性质 27 一 原函数与不定积分的概念 定义1 原函数 即 都有 或 那么函数 就称为 或 是在区间内 的一个原函数 28 原函数存在定理 即连续函数一定有原函数 问题 1 原函数是否唯一 例 C为任意常数 2 若不唯一它们之间有什么联系 都有 29 关于原函数的说明 1 若 则对于任意常数C 2 若和都是的原函数 则 C为任意常数 证 2 C为任意常数 30 被积函数 定义2 不定积分 在区间I内 函数的带有任意常数项的原函数 称为在区间I内的不定积分 记为 原函数 31 例1求 解 解 例2求 32 例3设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线方程 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点 1 2 所求曲线方程为 33 由不定积分的定义 可知 结论 微分运算与求不定积分的运算 互逆 微分运算与求不定积分的运算的关系 34 启示 能否根据求导公式得出积分公式 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的 因此可以根据求导公式得出积分公式 二 基本积分表 35 基本积分表 k是常数 说明 36 37 38 例4求积分 解 根据积分公式 39 证 等式成立 可推广到有限多个函数之和的情况 三 不定积分的性质 线性性质 为常数 40 解 所求曲线方程为 例已知一曲线 在点 处的切线斜率为 且此曲线与 y轴的交点为 求此曲线的方程 41 5 基本积分表 1 4 不定积分的性质 线性性 1 原函数的概念 2 不定积分的概念 3 求微分与求积分的互逆关系 小结 6 利用积分公式求积分 42 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 43 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 44 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 45 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 46 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 47 48 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 49 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 50 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 51 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 52 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 53 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 54 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 55 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 56 求由连续曲线y f x 对应的曲边梯形面积的方法 2 取近似求和 任取xi xi 1 xi 第i个小曲边梯形的面积用高为f xi 而宽为Dx的小矩形面积f xi Dx近似之 3 取极限 所求曲边梯形的面积S为 取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值 xi xi 1 xi 1 分割 在区间 0 1 上等间隔地插入n 1个点 将它等分成n个小区间 每个小区间宽度 x 57 一 定积分的定义 如果当n 时 S的无限接近某个常数 这个常数为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 从求曲边梯形面积S的过程中可以看出 通过 四步曲 分割 近似代替 求和 取极限得到解决 58 定积分的定义 定积分的相关名称 叫做积分号 f x 叫做被积函数 f x dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间 59 积分下限 积分上限 60 按定积分的定义 有 1 由连续曲线y f x f x 0 直线x a x b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 2 设物体运动的速度v v t 则此物体在时间区间 a b 内运动的距离s为 定积分的定义 61 1 62 说明 1 定积分是一个数值 它只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即 63 2 定积分的几何意义 x a x