DVD在线租赁数模论文.doc

.DVD在线租赁摘要本文针对DVD在线租赁的问题，做出了合理的假设，对DVD的购买量和分配方案进行了优化建模，并求解。在文中最后，对DVD在线租赁体系给出了新的运行机制，并在新机制下对最大总利益问题进行了建模。问题1：通过初等数学以及简单的概率论与数理统计知识，我们建立了简单的初等数学模型，通过不等式组的约束，得出问题1的两小问的结果如下：625031251563782313416720841042521209问题2：是一个100种DVD对1000人的一次性分配问题，共3007张DVD，从而每位会员均能得到3张（少数会员获得的DVD中有的不在其在线订单中），首先我们在理解满意度的基础上建立了一个会员满意度的评价指标，将其作为目标函数建立0-1规划模型，并通过LINGO编程得到分配方案，具体方案见表3。问题3：对于这个双目标优化问题，两目标分别是最小的购买量和最大的满意度。我们将该优化问题分为两步求解，首先从概率论的角度可以求出保证一个月内95%的会员得到他想看的DVD所要购买的最小DVD总数量，具体购买方案见表5。然后是决定每种DVD的购买量，类似于问题2，建立0-1规划模型。通过LINGO编程得出分配方案，分配方案见表5。问题4：我们引进VIP会员机制，并依次编号。考虑公司的短期利益和长期利益，提出如何购买和分配DVD才能使总利益最大的问题，并进行了建模。文中给出了短期利益和长期利益计算式，以最大总利益为目标，建立了优化模型。关键词：初等模型 0-1规划模型双目标优化 VIP会员机制问题重述基本模型假设1 假设40%的会员一个月只租赁一次，共3张，并于月末还。60%的人一个月租赁两次，每次3张，第一次于月中还，第二次于月末还。2 若DVD的数量不少于3倍的会员数，则分配时每个会员均可有3张DVD，尽管有些会员得到的DVD会有的不在其在线订单上，若DVD的数量少于3倍的会员数，则可以有部分会员获得的DVD张数少于3张。3 每张DVD的单价是相同的。符号说明：租赁公司准备的张数。：喜欢看的会员数占会员总数的比例。：会员总人数，10万。：第个月看过的总人数。：。：符号函数。：Consumer Satisfactional Index用户满意指数，满意度。：第张DVD的库存量（或购买量）。：编号为的会员对编号为的DVD的喜爱程度的排序，用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0(11)表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高。：满意度的评价指标，指标值越小表示满意度越大。：取值为1或0，表示第张DVD是否分配给第个会员。：当前需要处理的订单数问题分析第一问：网站现有10万个会员，该问要求对于表1中的五种DVD，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD。以及如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD该如何准备DVD。对于网站的会员我们假设：1）40%的人一个月只租赁一次，共3张，并于月末还。2）60%的人一个月租赁两次，每次3张，第一次于月中还，第二次于月末还。3）这里的40%，60%只具有统计意义，事先并无法知道每位会员的租赁次数。首先，由调查的数据，根据数理统计学点估计知识，我们可以近似认为DVD1, DVD2, DVD3, DVD4, DVD5被会员希望看到的概率依次为0.2, 0.1, 0.05, 0.025, 0.01。50%即我们保证要满足10000, 5000, 2500, 1250, 500的会员能看到相应的DVD。设张数依次为,我们可以猜想能被收回60%(在模型建立中予以论证)，即一个月内它的张数为,可得。同理，。3个月保证95%的会员看到自己喜欢的DVD的模型可以根据月份进行递推。第二问：现有DVD的总张数为3007张。而1000个会员总共需要3000张DVD，DVD数量足够。编号为D037的DVD愿意看到的人数为91人，少于该DVD的现有张数（106张），其余的愿意看某DVD的人数均大于该DVD的现有张数。106-91=15，大于7，所以必定存在这样的会员，他分配到的3张DVD中存在一张或多张DVD不在该会员的订单中。由于会员的在线订单用数字1,2,10（部分会员的在线订单没有10或9,10）表示偏爱程度，数字越小表示会员的偏爱程度越高。对于会员来说，会员收到的三张DVD在他的订单中偏爱程度总和越小，此次分配满意度越大。考虑到有些会员会分配到不在订单内的DVD，此时对这种DVD的偏爱程度可设为11。因此用数字11代替在矩阵中的数字0得到新的矩阵，以方便后面的计算。此后的矩阵均表示替换后的新矩阵。对于网站的一次分配，可以用会员总偏爱程度之和（用表示）来衡量此次分配的满意度，越小，表示满意度越大。设一个0、1变量来表示是否分配某DVD，这样满意度最大的分配方案的求解可用0-1规划模型。第三问：该问要求根据表二的订单，决定每种DVD的最小购买量，以及如何对这些DVD进行分配，使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大。这是一个双目标的优化问题，两目标分别是最小的购买量和最大的满意度。将该优化问题分为两步求解，首先从概率论的角度可以求出保证一个月内95%的会员得到他想看的DVD所要购买的最小DVD总数量（具体计算过程见模型建立）。然后是如何决定每种DVD的购买量问题。在总数量一定的情况下，我们定义了每种DVD受会员总偏爱程度，用表示：越小表示受会员总偏爱程度越大，则可按比例计算每种DVD的购买量。接下来问题变成和问题二类似，即0-1规划问题。即已知了每种DVD的数量如何分配使满意度最大。所不同的是当DVD的总数量小于3000时，有些会员分配到的DVD数量可能不足三个，这些会员可通过二次租赁得到想看的DVD。第四问：在分配过程中，我们引进VIP会员机制实施分配。将会员化分为VIP会员和普通会员，VIP所交会员费比普通会员要多，普通会员又分为A类和B类，并依次编号。当DVD不能满足所有会员的时候，优先满足VIP会员，并且每次都保证VIP最喜欢碟片需求。VIP会员每个月借两次，普通会员中又分为一月借两次的（A类普通会员），一月借一次的（B类普通会员）。在这种机制下，在线租赁网站如何进行DVD的购买和分配使利润尽量大，成本尽量小。我们对租赁业务运营过程中的成本和利润的多方面因素做出一定的假设和约定，用符号代表其数据，建立了多目标规划模型。模型的建立和求解一、问题1的模型建立和求解1.1 问题分析网站现有10万个会员，该问要求对于表1中的五种DVD，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD。以及如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD该如何准备DVD。对于网站的会员我们假设：1）40%的人一个月只租赁一次，共3张，并于月末还。2）60%的人一个月租赁两次，每次3张，第一次于月中还，第二次于月末还。3）这里的40%，60%只具有统计意义，事先并无法知道每位会员的租赁次数。首先，由调查的数据，根据数理统计学点估计知识，我们可以近似认为DVD1, DVD2, DVD3, DVD4, DVD5被会员希望看到的概率依次为0.2, 0.1, 0.05, 0.025, 0.01。因此整理出下表：DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD51000个会员愿意观看的人数20010050251010万愿意观看的人数2万1万0.5万0.25万0.1万50%1000050002500125050095%1900095004750247595050%即我们保证要满足10000, 5000, 2500, 1250, 500的会员能看到相应的DVD。设张数依次为,我们可以猜想能被收回60%(在模型建立中予以论证)，即一个月内它的张数为,可得。同理，。3个月保证95%的会员看到自己喜欢的DVD的模型可以根据月份进行递推。1.2 模型建立记租赁公司准备的DVD1,DVD2,DVD3,DVD4,DVD5的张数为。由调查数据1000个会员愿意观看的人数为 (200，100，50，25，10)，则我们可以近似认为DVD1, DVD2, DVD3, DVD4, DVD5被会员希望看到的概率：总会员人数人。喜爱DVD15的人数为：1.2.1 问题（1）会员总人数为，的人只租赁一次，的人租赁两次。1）的人（其中有的人喜欢DVD i）只租赁一次，其中有的人租赁到DVD i，月末还。租赁DVDi的人数少于喜欢它的人数，即需要。2）（a）的人（其中有的人喜欢DVD i），在第一次租赁过程中，但只有的人租赁了DVD i。租赁DVDi的人数少于喜欢它的人数，即需要。喜欢DVD i却第一次没有租赁到DVD i。（b）在第二次租赁过程中，可以将第一次租赁回收得到的的DVDi分配给的人即可。这里要保证即。若，则第二次租赁分配DVDi的人数只能为人。要保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD，则只需：解得：由于张数是整数，对取整，可得最小值为：1.2.2 问题（2）/考虑复杂了由问题1可知，第一个月看过DVDi的人数为：会员总人数数为，的人只租赁一次，的人租赁两次。在第二个月：1）的人（其中还有的人喜欢DVD i）只租赁一次，其中有的人租赁到DVD i，月末还。租赁DVDi的人数少于喜欢它的人数，即需要。2）（a）的人（其中有的人喜欢DVD i），在第一次租赁过程中，但只有的人租赁了DVD i。租赁DVDi的人数少于喜欢它的人数，即需要。喜欢DVD i却上个月没分配到并且这个月的第一次租赁也没有租赁到DVD i。（b）在第二次租赁过程中，可以将第一次租赁回收得到的的DVDi分配给的人即可。这里要保证即。若，则第二次租赁分配DVDi的人数只能为人。由以上分析过程，可求得：前二个月看过的人数为同理可有：前三个月看过的人数为保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD，只需：即：解得：由于张数是整数，对取整，可得最小值为1.2模型求解结果表1：当准备如下张DVD可保证一个月大于50%：DVD名称DVD1DVD2DVD 3DVD 4DVD 5最少张数625031251563782313表2：当准备如下张DVD可保证三个月大于95%：DVD名称DVD 1DVD 2DVD 3DVD 4DVD 5最少张数416720841042521209二、问题2的模型建立与求解2.1 问题分析从题目的表2中提取出以下表示每种DVD现有量的行向量和表示每个会员对每种DVD的偏爱程度矩阵表示第张DVD现有的可分配张数。表示编号为的会员对编号为的DVD的偏爱程度。用数字表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD不在会员的在线订单中。1） 数据的分析：先用MATLAB对数据进行一些简单的处理：现有DVD的总张数为3007张。而1000个会员总共需要3000张DVD，DVD数量足够。编号为D037的DVD愿意看到的人数为91人，少于该DVD的现有张数（张），其余的愿意看某DVD的人数均大于该DVD的现有张数。106-91=15，大于7，所以必定存在这样的会员，他分配到的3张DVD中存在一张或多张DVD不在该会员的订单中。2）满意度的理解满意度是通过评价分值的加权计算，得到测量满意程度（深度）的一种指数概念。本文暂时用（Consumer Satisfactional Index，用户满意指数，满意度）表示。由于会员的在线订单用数字1,2,10（部分会员的在线订单没有10或9,10）表示偏爱程度，数字越小表示会员的偏爱程度越高。对于会员来说，会员收到的三张DVD在他的订单中偏爱程度总和越小，此次分配满意度越大。考虑到有些会员会分配到不在订单内的DVD，此时对这种DVD的偏爱程度可设为11。因此用数字11代替在矩阵中的数字0得到新的矩阵，以方便后面的计算。此后的矩阵均表示替换后的新矩阵。对于网站的一次分配，可以用会员总偏爱程度之和（用表示）来衡量此次分配的满意度，越小，表示满意度越大。设一个0、1变量来表示是否分配某DVD，这样满意度最大的分配方案的求解可用0-1规划模型。2.2 模型建立经过以上分析，我们建立了0-1规划模型：决策变量：评价指标函数（目标函数）的确立：对于第个会员，他的满意度可以这样评价：其中：，appraisement，评价，估价的意思，该数值越小表示会员越满意。是指编号为的会员对编号为的DVD的偏爱程度，用数字表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字11表示对应的DVD不在会员的在线订单中（对于收到不在订单中的DVD，对应的偏爱程度定为11）。因此全体会员的满意度可以这样评价：目标函数：约束条件：2.3 模型求解通过用LINGO软件编程对上述的0-1规划模型求解，得出最优规划的评价指标。并同时可得到1000个会员的DVD分配方案。通过MATLAB进行简单的数据处理，现将前30个会员的DVD分配方案列举如下：表3 问题2的分配方案会员编号DVD编号会员编号DVD编号会员编号DVD编号C00018，41，98C001159，63，66C002145，50，53C00026，44，62C00122，31，41C002238，55，57C000332，50，80C001321，78，96C002329，81，95C00047，18，41C001423，52，89C002437，41，76C000511，66，68C001513，52，85C00259，69，81C000619，53，66C001610，84，97C002622，68，95C000726，66，81C001747，51，67C002750，58，78C000831，35，37C001841，60，78C00288，34，82C000953，78，100C001966，84，86C002926，30，55C001041，55，85C002045，61，89C003037，62，98三、问题3的模型建立与求解3.1问题分析该问要求根据表二的订单，决定每种DVD的最小购买量，以及如何对这些DVD进行分配，使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大。这是一个双目标的优化问题，两目标分别是最小的购买量和最大的满意度。将该优化问题分为两步求解，首先从概率论的角度可以求出保证一个月内95%的会员得到他想看的DVD所要购买的最小DVD总数量（具体计算过程见模型建立）。然后是如何决定每种DVD的购买量问题。在总数量一定的情况下，我们定义了每种DVD受会员总偏爱程度，用表示：越小表示受会员总偏爱程度越大，则可按比例计算每种DVD的购买量。接下来问题变成和问题二类似，即0-1规划问题。即已知了每种DVD的数量如何分配使满意度最大。所不同的是当DVD的总数量小于3000时，有些会员分配到的DVD数量可能不足三个，这些会员可通过二次租赁得到想看的DVD。3.2模型建立下面从概率论的角度推导最小DVD总数量：设事件A=会员一个月能得到想看的DVD，事件B=会员一个月内租赁1次=会员一个月内租赁2次，则若会员每次提交订单得不到他想看的DVD的概率为，那么一个月租赁一次的会员一个月能得到想看的DVD的概率为，一个月租赁两次的会员一个月能得到想看的DVD的概率为，由全概率公式知：由题意，可解得，所以会员每次提交订单能得到他想看的DVD的概率。若当前需要处理的订单数为Q，则购买的DVD总量应至少使0.892Q个会员能够得到想要的DVD，才能保证一个月内95%的会员能得到想看的DVD。因此最小DVD总数量为。因此建立以下双目标规划模型：其中：为DVDi的购买量，是指第个会员对第张DVD的偏爱程度表示当前需要处理的订单数3.3 模型求解将以上双目标规划模型的求解分为两步：3.3.1求最小的DVD总量由以上的推导知最小的DVD总量为，由题意易知，所以。在总数量一定的情况下，我们定义了每种DVD受会员总偏爱程度，用表示：越小表示受会员总偏爱程度越大，则可按比例计算每种DVD的购买量。用excel和MATLAB统计并计算出每种DVD的购买量（按四舍五入取整）如下表：表4每种DVD的购买量（单位：张）DVD编号D001D002D003D004D005D006D007D008D009D010购买量28293025323029242728DVD编号D011D012D013D014D015D016D017D018D019D020购买量26253023282824282521DVD编号D021D022D023D024D025D026D027D028D029D030购买量26242325292428272428DVD编号D031D032D033D034D035D036D037D038D039D040购买量26312833232725272829DVD编号D041D042D043D044D045D046D047D048D049D050购买量23252630252527282925DVD编号D051D052D053D054D055D056D057D058D059D060购买量24252726252721343025DVD编号D061D062D063D064D065D066D067D068D069D070购买量25242324262529282424DVD编号D071D072D073D074D075D076D077D078D079D080购买量28232832272626253125DVD编号D081D082D083D084D085D086D087D088D089D090购买量25303427283127342424DVD编号D091D092D093D094D095D096D097D098D099D100购买量24262626253128252832总计：2680张，由于数据的四舍五入导致最后总计的DVD总量比2676张要多，但相差不大，故可将DVD的购买总量调为2680张，这样从概率上更能保证一个月内95%的会员能得到想看的DVD。3.3.2 求分配方案由3.3.1的求解结果可将双目标规划模型化为以最大满意度为目标的单目标优化模型，得如下的单目标0-1规划模型：其中的值由表2给出，由于DVD总量不足3000张，故第三个约束条件变为等式。用LINGO求解上面的模型得前30个会员分配得到的DVD结果：表5第三问的分配方案会员编号DVD编号会员编号DVD编号会员编号DVD编号C00018，82，98C001119，59，63C002145，53C00026，44C00122，5，31C002255，57，86C00034，50，80C001321，78，96C002329，81，95C00047，18C001423，43，52C002437，76，79C000511，66，68C001513，88C00259，69，94C000616，19，53C00166，84，97C002622，68，83C00078，26，81C00175，47，67C002722，42，58C000815，71，99C001841，60C00288，34，82C000953，78，100C001967，84，86C002930，44，55C001055，60，85C002018，45，89C00301，37，62其他结果由于篇幅有限在此不再列出。3.3.3 对结果的分析解释由表3可以看出，有些会员在此次分配中只得到了两张DVD。通过计算求得此次分配有68.8%的会员得到了三张他想看的DVD，这部分人群不管是否有第二次租赁，都算作在这个月中得到了想看的DVD，即属于题目中那95%的会员。考虑到有60%的会员会在月中还DVD，并租赁两次，在第二次租赁中会满足一部分会员看到想看的DVD，故从一个月的租赁情况来看，使95%的会员看到他想看的DVD是可能的，这里的“可能”是从概率接近1上保证的（此结论可由模型建立中总DVD量的推导得出），在稳定的租赁模式下，此处得出的结果是合理的。（问题三的第二种解法：喜欢dvdj喜欢程度为的总人数。问题分析：满意度最大定义为每个月借一次的会员满足他最喜爱的前三张dvd，每个月借两次的会员满足他最喜欢的前六张dvd。模型建立：平均概率情况下：初始订购量：，总订购量为3000张第一次分配时，将有将dvd分为两类：H1：（即dvdj的数量不能全部满足偏爱程度为1,2,3的会员）H2：（即dvdj的数量能全部满足偏爱程度为1,2,3的会员）由题目数据分析可得对于任意j有可得，所有不满足最大满意度的会员得不到的都是偏爱程度为3的dvd。所以，个会员达不到最大满意度，其中的人将参加第二次分配，另外的会员是达不到最大满意度的会员。第二次分配时，将拥有个dvdj光盘可供重新分配，为满足人群中前尚未满足前六种需求的dvdj的需求量为个，此时将会全部满足参加第二次分配的所有人的全部全部前六种需求，其中包括第一次分配时不满足最大满意度的个人。综上，按照初始订购量，共有的人不满足最大满意度。又因为题目要求至少要有95%的人满足最大满意度，所以如果，满足要求，如果不满足要求，则应该增加dvd张数，由于第一次分配时候等概率分配，所以应该追加dvd总量至少为张，这些数目的dvd按照的比例分配到H1类中。dvd数目追加购买后总数量数量为。悲观情况下：个人都不参加第二次分配。由题目数据分析可得对于任意j有，可得那么参加第二次分配的将有个人不满足最大满意度，并且这些人都得不到偏爱度为6的dvd。两次分配共有个不满足最大满意度。如果，则不需要再次追加碟片购买量，至少应再次追加张dvd，每张dvd增加量按照比例为追加购买。追加购买后各dvd数目为。模型求解按照上模型求的等概率情况下dvd总购买量为DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5DVD6DVD7DVD8DVD9DVD1027323233273229303030DVD11DVD12DVD13DVD14DVD15DVD16DVD17DVD18DVD19DVD2031302831253434303334DVD21DVD22DVD23DVD24DVD25DVD26DVD27DVD28DVD29DVD3033313528293129252733DVD31DVD32DVD33DVD34DVD35DVD36DVD37DVD38DVD39DVD4034323129343326312929DVD41DVD42DVD43DVD44DVD45DVD46DVD47DVD48DVD49DVD5041373130392831283128DVD51DVD52DVD53DVD54DVD55DVD56DVD57DVD58DVD59DVD6034273327293531262934DVD61DVD62DVD63DVD64DVD65DVD66DVD67DVD68DVD69DVD7028343136333833343433DVD71DVD72DVD73DVD74DVD75DVD76DVD77DVD78DVD79DVD8033342529282526322831DVD81DVD82DVD83DVD84DVD85DVD86DVD87DVD88DVD89DVD9033242223292532242832DVD91DVD92DVD93DVD94DVD95DVD96DVD97DVD98DVD99DVD10035302829332532342332本应再追加购买37张，但考虑实际dvd张数不可能取小数，采取进一法后，再追加48张，共3048张。悲观情况下：DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5DVD6DVD7DVD8DVD9DVD1028383739313434353635DVD11DVD12DVD13DVD14DVD15DVD16DVD17DVD18DVD19DVD2036343334294137363741DVD21DVD22DVD23DVD24DVD25DVD26DVD27DVD28DVD29DVD3040354029353733253039DVD31DVD32DVD33DVD34DVD35DVD36DVD37DVD38DVD39DVD4039383633403831383232DVD41DVD42DVD43DVD44DVD45DVD46DVD47DVD48DVD49DVD5052423537453236333632DVD51DVD52DVD53DVD54DVD55DVD56DVD57DVD58DVD59DVD6040324030344035293340DVD61DVD62DVD63DVD64DVD65DVD66DVD67DVD68DVD69DVD7032363643364339403939DVD71DVD72DVD73DVD74DVD75DVD76DVD77DVD78DVD79DVD8037392933312