一元二次方程的四种解法

做教育 做良心 中小学 1 对 1 课外辅导专家 教育是一项良心工程 深圳龙文教育 1 龙文教育个性化辅导教案提纲龙文教育个性化辅导教案提纲 教师 陈燕玲 学生 年级 九 日期 星期 时段 课课 题题 一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念及解法 学情分析学情分析 教学目标与教学目标与 考点分析考点分析 1 掌握一元二次方程的概念及其一般形式 能指出一元二次方程的各项及其系 数 2 能根据具体一元二次方程的特征 灵活选择方程的解法 体会解决问题 方法的多样性 教学重点教学重点 难点难点 教学重点 掌握常用四种一元二次方程的解法 教学难点 灵活选用适当方法解一元二次方程 教学方法教学方法讲解法 合作探究法 教学过程教学过程 一 一元二次方程的概念 一 一元二次方程的概念 问题 1 有一面积为 54m2的长方形 将它的一边剪短 5m 另一边剪短 2m 恰好变成一个正方形 那 么这个正方形的边长是多少 如果假设剪后的正方形边长为 x 那么原来长方形长是 宽是 根据题意 得 整理 得 归纳 1 只含一个未知数 x 2 最高次数是 2 次的 3 整式方程 因此 像这样的方程两边都是整式 只含有一个未知数 一元 像这样的方程两边都是整式 只含有一个未知数 一元 并且未知数的最高次数是 并且未知数的最高次数是 2 二次 的 二次 的 方程 叫做一元二次方程 方程 叫做一元二次方程 一般地 任何一个关于 x 的一元二次方程 经过整理 都能化成如下形式 ax2 bx c 0 a 0 这种 形式叫做一元二次方程的一般形式一般形式 一个一元二次方程经过整理化成 ax2 bx c 0 a 0 后 其中 ax2是二次项 a 是二次项系数 bx 是一 次项 b 是一次项系数 c 是常数项 例例 1 将方程 3x x 1 5 x 2 化成一元二次方程的一般形式 并写出其中的二次项系数 一次项系数 及常数项 注意注意 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项都包括前面的符号二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项都包括前面的符号 例例 2 将方程 x 1 2 x 2 x 2 1 化成一元二次方程的一般形式 并写出其中的二次项 二次项系 数 一次项 一次项系数 常数项 做教育 做良心 中小学 1 对 1 课外辅导专家 教育是一项良心工程 深圳龙文教育 2 练习 判断下列方程是否为一元二次方程 1 3x 2 5y 3 2 x2 4 3 3x2 0 4 x2 4 x 2 2 5 ax2 bx c 0 5 x 例例 3 求证 关于 x 的方程 m2 8m 17 x2 2mx 1 0 不论 m 取何值 该方程都是一元二次方程 练习 一 选择题一 选择题 1 在下列方程中 一元二次方程的个数是 3x2 7 0 ax2 bx c 0 x 2 x 5 x2 1 3x2 0 5 x A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 方程 2x2 3 x 6 化为一般形式后二次项系数 一次项系数和常数项分别为 A 2 3 6 B 2 3 18 C 2 3 6 D 2 3 6 3 px2 3x p2 q 0 是关于 x 的一元二次方程 则 A p 1 B p 0 C p 0 D p 为任意实数 二 填空题二 填空题 1 方程 3x2 3 2x 1 的二次项系数为 一次项系数为 常数项为 2 一元二次方程的一般形式是 3 关于 x 的方程 a 1 x2 3x 0 是一元二次方程 则 a 的取值范围是 三 综合提高题三 综合提高题 1 a 满足什么条件时 关于 x 的方程 a x2 x x x 1 是一元二次方程 3 2 关于 x 的方程 2m2 m xm 1 3x 6 可能是一元二次方程吗 为什么 3 方程 2a 4 x2 2bx a 0 在什么条件下此方程为一元二次方程 在什么条件下此方程为一元一次 方程 4 当 m 为何值时 方程 m 1 x 4m 4 27mx 5 0 是关于的一元二次方程 二 一元二次方程的解 二 一元二次方程的解 复习 方程的解 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根一元二次方程的根 只含有一个未知数的方程的解 又叫方程的根 例例 1 下面哪些数是方程 2x2 10 x 12 0 的根 4 3 2 1 0 1 2 3 4 例例 2 若 x 1 是关于 x 的一元二次方程 a x2 bx c 0 a 0 的一个根 求代数式 2007 a b c 的值 练习 关于 x 的一元二次方程 a 1 x2 x a 2 1 0 的一个根为 0 则求 a 的值 做教育 做良心 中小学 1 对 1 课外辅导专家 教育是一项良心工程 深圳龙文教育 8 例例 3 你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗 1 x2 64 0 2 3x2 6 0 3 x2 3x 0 三 一元二次方程的解法三 一元二次方程的解法 一 一 直接开平方法直接开平方法 问题 1 填空 1 x2 8x x 2 2 9x2 12x 3x 2 3 x2 px x 2 问题 2 目前我们都学过哪些方程 二元怎样转化成一元 一元二次方程与一元一次方程有什么不同 二次如 何转化成一次 怎样降次 以前学过哪些降次的方法 方程方程 x2 9 根据平方根的意义 直接开平方得 x 3 如果 x 换元为 2t 1 即 2t 1 2 9 能否也用直 接开平方的方法求解呢 例例 1 解方程 1 2x 1 2 5 2 x 2 6x 9 2 3 x 2 2x 4 1 例例 2 市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2提高到 14 4m 求每年人均住房面积增长率 解一元二次方程的共同特点 把一个一元二次方程 降次 转化为两个一元一次方程 这种思想称为 降 次转化思想 由应用直接开平方法解形如 x2 p p 0 那么 x 转化为应用直接开平方法解形如p mx n 2 p p 0 那么 mx n 达到降次转化之目的 若 p 0 则方程无解p 练习 一 选择题练习 一 选择题 1 若 x2 4x p x q 2 那么 p q 的值分别是 A p 4 q 2 B p 4 q 2 C p 4 q 2 D p 4 q 2 2 方程 3x2 9 0 的根为 A 3 B 3 C 3 D 无实数根 二 填空题二 填空题 1 若 8x2 16 0 则 x 的值是 2 如果方程 2 x 3 2 72 那么 这个一元二次方程的两根是 3 如果 a b 为实数 满足 b2 12b 36 0 那么 ab 的值是 34a 三 综合提高题三 综合提高题 1 解关于 x 的方程 x m 2 n 二 二 配方法配方法 1 解下列方程 1 3x2 1 5 2 4 x 1 2 9 0 3 4x2 16x 16 9 4 4x2 16x 7 上面的方程都能化成 x2 p 或 mx n 2 p p 0 的形式 那么可得 做教育 做良心 中小学 1 对 1 课外辅导专家 教育是一项良心工程 深圳龙文教育 2 x 或 mx n p 0 pp 如 4x2 16x 16 2x 4 2 你能把 4x2 16x 7 化成 2x 4 2 9 吗 2 要使一块矩形场地的长比宽多 6m 并且面积为 16m2 场地的长和宽各是多少 转化 x2 6x 16 0 移项 x2 6x 16 两边加 6 2 2使左边配成 x2 2bx b2的形式 x2 6x 32 16 9 左边写成平方形式 x 3 2 25 降次 x 3 5 即 x 3 5 或 x 3 5 解一次方程 x1 2 x2 8 可以验证 x1 2 x2 8 都是方程的根 但场地的宽不能使负值 所以场地的宽为 2m 常为 8m 像上面的解题方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法 叫配方法配方法 通过配方使左边不含 有 x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有 x 的完全平方形式 右边是非负数 可以直接降次解方 程的方程 配方法解一元二次方程的一般步骤 1 将方程化为一般形式 2 二次项系数化为 1 3 常数项移到右边 4 方程两边都加上一次项系数的一半的平方一次项系数的一半的平方 使左边配成一个完全平方式 5 变形为 x p 2 q 的形式 如果 q 0 方程的根是 x p q 如果 q 0 方程无实根 例例 1 用配方法解下列关于 x 的方程 1 x2 8x 1 0 2 x2 2x 0 1 2 例例 2 解下列方程 1 2x2 1 3x 2 3x2 6x 4 0 3 1 x 2 2 1 x 4 0 例例 3 求证 无论 y 取何值时 代数式 3 y2 8y 6 恒小于 0 例例 4 用配方法解方程 用配方法解方程 ax2 bx c 0 a 0 练习 练习 一 选择题一 选择题 1 将二次三项式 x2 4x 1 配方后得 A x 2 2 3 B x 2 2 3 C x 2 2 3 D x 2 2 3 2 已知 x2 8x 15 0 左边化成含有 x 的完全平方形式 其中正确的是 3 如果 mx2 2 3 2m x 3m 2 0 m 0 的左边是一个关于 x 的完全平方式 则 m 等于 A 1 B 1 C 1 或 9 D 1 或 9 4 配方法解方程 2x2 x 2 0 应把它先变形为 4 3 A x 2 B x 2 0 C x 2 D x 2 1 3 8 9 2 3 1 3 8 9 1 3 10 9 5 下列方程中 一定有实数解的是 A x2 1 0 B 2x 1 2 0 C 2x 1 2 3 0 D x a 2 a 1 2 6 已知 x2 y2 z2 2x 4y 6z 14 0 则 x y z 的值是 做教育 做良心 中小学 1 对 1 课外辅导专家 教育是一项良心工程 深圳龙文教育 2 A 1 B 2 C 1 D 2 二 填空题二 填空题 1 方程 x2 4x 5 0 的解是 2 代数式的值为 0 则 x 的值为 2 2 2 1 xx x 3 如果 16 x y 2 40 x y 25 0 那么 x 与 y 的关系是 4 已知 x y x y 2 8 0 求 x y 的值 若设 x y z 则原方程可变为 所以求出 z 的值 即为 x y 的值 所以 x y 的值为 三 综合提高题三 综合提高题 1 用配方法解方程 1 9y2 18y 4 0 2 x2 3 2x3 2 已知 x2 4x y2 6y 13 0 求的值 22 2xy xy 3 已知三角形两边长分别为 2 和 4 第三边是方程 x2 4x 3 0 的解 求这个三角形的周长 4 如果 x2 4x y2 6y 13 0 求 xy z的值 2z 5 求证 求证 无论 x y 取任何实数 多项式 x2 y2 2x 4y 16 的值总是正数 三 公式法 三 公式法 由上例例 4 可知 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根由方程的系数 a b c 而定 因此 1 解一元二次方程时 可以先将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 当 b2 4ac 0 时 将 a b c 代入 式子 x 就得到方程的根 公式所出现的运算 恰好包括了所学过的六中运算 加 减 乘 2 4 2 bbac a 除 乘方 开方 这体现了公式的统一性与和谐性 2 这个式子叫做一元二次方程的求根公式 3 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 公式的理解 4 由求根公式可知 一元二次方程最多有两个实数根 A x2 8x 4 2 31 B x2 8x 4 2 1 C x2 8x 42 1 D x2 4x 4 11 例例 1 用公式法解下列方程 1 2x2 x 1 0 2 x2 1 5 3x 3 x2 x 0 2 1 2 做教育 做良心 中小学 1 对 1 课外辅导专家 教育是一项良心工程 深圳龙文教育 2 例例 2 某数学兴趣小组对关于 x 的方程 m 1 m 2 x 1 0 提出了下列问题 2 2m x 若使方程为一元二次方程 m 是否存在 若存在 求出 m 并解此方程 应用公式法解一元二次方程的步骤 1 将所给的方程变成一般形式 注意移项要变号 尽量让 a 0 2 找出系数 a b c 注意各项的系数包括符号 3 计算 b2 4ac 若结果为负数 方程无解 4 若结果为非负数 代入求根公式 算出结果 练习 练习 一 选择题一 选择题 1 用公式法解方程 4x2 12x 3 得到 A x B x C x D x 36 2 36 2 32 3 2 32 3 2 2 方程x2 4x 6 0 的根是 232 A x1 x2 B x1 6 x2 C x1 2 x2 D x1 x2 232226 3 m2 n2 m2 n2 2 8 0 则 m2 n2的值是 A 4 B 2 C 4 或 2 D 4 或 2 二 填空题二 填空题 1 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的求根公式是 条件是 2 当 x 时 代数式 x2 8x 12 的值是 4 3 若关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 x m2 2m 3 0 有一根为 0 则 m 的值是 三 综合提高题三 综合提高题 1 用公式法解关于 x 的方程 x2 2ax b2 a2 0 2 设 x1 x2是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根 1 试推导 x1 x2 x1 x2 b a c a 2 求代数式 a x13 x23 b x12 x22 c x1 x2 的值 四 因式分解法 例题 Eg1 3x2 x 0 Eg2 5