九年级数学第28章锐角三角函数导学案

1 C B A C B A C B A 28 11 锐角三角函数锐角三角函数 正弦正弦 学习目标 经历当直角三角形的锐角固定时 它的对边与斜边的比值都固定 即正弦值不变 这一事实 能根据正弦概念正确进行计算 学习重点 理解正弦 sinA 概念 知道当直角三角形的锐角固定时 它的对边与斜边的比值是固定值这一事实 学习难点 当直角三角形的锐角固定时 它的对边与斜边的比值是固定值的事实 导学过程 一 独立自学 1 如图在 Rt ABC 中 C 90 A 30 BC 10m 求 AB 2 如图在 Rt ABC 中 C 90 A 30 AB 20m 求 BC 二 合作互学 问题 问题 为了绿化荒山 某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管 在山坡上修建一座扬水站 对坡面的绿地进行喷灌 现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30 为使出水口的高度为 35m 那么需 要准备多长的水管 思考思考 1 如果使出水口的高度为 50m 那么需要准备多长的水管 如果使出水口的高度为 a m 那么需要准备多长的水管 结论 直角三角形中 结论 直角三角形中 30 角的对边与斜边的比值角的对边与斜边的比值 思考思考 2 在 Rt ABC 中 C 90 A 45 A 对边与斜边的比值是一个定值吗 如果是 是多 少 结论 直角三角形中 结论 直角三角形中 45 角的对边与斜边的比值角的对边与斜边的比值 教师点拨 教师点拨 从上面这两个问题的结论中可知 在一个 Rt ABC 中 C 90 当 A 30 时 A 的对边与 斜边的比都等于 1 2 是一个固定值 当 A 45 时 A 的对边与斜边的比都等于 2 2 也是一个固 定值 这就引发我们产生这样一个疑问 当 A 取其他一定度数的锐角时 它的对边与斜边的比是否也 是一个固定值 探究 任意画探究 任意画 Rt ABC 和和 Rt A B C 使得 使得 C C 90 A A a 那么 那么 BCB C ABA B 与有什么关系 你能解释一下吗 有什么关系 你能解释一下吗 结论 这就是说 在直角三角形中 当锐角结论 这就是说 在直角三角形中 当锐角 A 的的 度数一定时 不管三角形的大小如何 度数一定时 不管三角形的大小如何 A 的对的对 2 斜边c 对边a b C B A 2 13 53 C B A 1 3 4C B A 边与斜边的比边与斜边的比 正弦函数概念 正弦函数概念 规定 在规定 在 Rt BC 中中 C 90 A 的对边记作的对边记作 a B 的对边记作的对边记作 b C 的对边记作的对边记作 c 在 Rt BC 中 C 90 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦 记作 sinA 即 sinA a c sinA Aa Ac 的对边 的斜边 例如 当 A 30 时 我们有 sinA sin30 当 A 45 时 我们有 sinA sin45 学生展示 学生展示 例例 1 如图 在如图 在 Rt ABC 中 中 C 90 求 求 sinA 和和 sinB 的值 的值 随堂练习随堂练习 1 做课本第做课本第 79 页练习 页练习 随堂练习随堂练习 2 1 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示 则 sin 的值是 A 4 3 B 3 4 C 5 3 D 5 4 2 如图 在直角 ABC 中 C 90o 若 AB 5 AC 4 则 sinA A B C D 3 5 4 5 3 4 4 3 3 在 ABC 中 C 90 BC 2 sinA 则边 AC 的长是 2 3 A B 3 C D 13 4 35 4 如图 已知点 P 的坐标是 a b 则 sin 等于 A a b B b a C 2222 ab D abab 三 小结评学 在直角三角形中 当锐角 A 的度数一定时 不管三角形的大小如何 A 的对边与斜边的比都是 在 Rt ABC 中 C 90 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的 记作 作业设置 作业设置 课本课本 第第 85 页页 习题习题 28 1 复习巩固第复习巩固第 1 题 第题 第 2 题 题 只做与正弦函数有关的部分 只做与正弦函数有关的部分 自我反思 自我反思 本节课我的收获 C B A 3 斜边c 对边a b C B A 928 12 锐角三角函数锐角三角函数 余弦 正切余弦 正切 学习目标 感知当直角三角形的锐角固定时 它的邻边与斜边 对边与邻边的比值也都固定这一事实 逐步培养学生观察 比较 分析 概括的思维能力 学习重点 理解余弦 正切的概念 学习难点 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算 导学过程 一 独立自学 1 我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的 2 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于点 D 已知 AC BC 2 那么 sin ACD 5 A B C D 5 3 2 3 2 5 5 5 2 3 如图 已知 AB 是 O 的直径 点 C D 在 O 上 且 AB 5 BC 3 则 sin BAC sin ADC 4 在 Rt ABC 中 C 90 当锐角 当锐角 A 确定时 确定时 A 的对边与斜边的比是 现在我们要 问 A 的邻边与斜边的比呢 A 的对边与邻边的比呢 为什么 为什么 二 合作互学 探究 探究 一般地 当一般地 当 A A 取其他一定度数的锐角时 它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值 取其他一定度数的锐角时 它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值 如图 如图 Rt ABC 与与 Rt A B C C C 90o B B 那么那么与与有什么关系 有什么关系 教师点拨 教师点拨 类似于正弦的情况 如图在 Rt BC 中 C 90 当锐角当锐角 A 的大小确定时的大小确定时 A 的邻边与斜边的比 A 的对边与邻 边的比也分别是确定的 我们 把 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦余弦 记作 cosA 即 cosA A 与与与 与与 a c A B C D E O A B C D A的邻边b A的对边a 斜边c C B A 4 6 C B A 把 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切正切 记作 tanA 即 tanA A A 与与与 与与与 a b 例如 当 A 30 时 我们有 cosA cos30 当 A 45 时 我们有 tanA tan45 教师讲解并板书 锐角 教师讲解并板书 锐角 A 的正弦 余弦 正切都叫做的正弦 余弦 正切都叫做 A 的锐角三角函数 的锐角三角函数 对于锐角对于锐角 A 的每一个确定的值 的每一个确定的值 sinA 有唯一确定的值与它对应 所以有唯一确定的值与它对应 所以 sinA 是是 A 的函数 同样地 的函数 同样地 cosA tanA 也是也是 A 的函数 的函数 例例 2 如图 在 Rt ABC 中 C 90 BC 6 sinA 3 5 求 cosA tanB 的值 学生展示 学生展示 练习一 完成课本练习一 完成课本 P81P81 练习练习 1 1 2 2 3 3 练习二 练习二 1 在中 C 90 a b c 分别是 A B C 的对边 则有 A B C D 2 在中 C 90 如果 cos A 那么的值为 4 5 A B C D 3 5 5 4 3 4 4 3 3 如图 P 是 的边 OA 上一点 且 P 点的坐标为 3 4 则 cos 三 小结评学 在 Rt BC 中 C 90 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦 记作 sinA 即 sinA a c sinA Aa Ac 的对边 的斜边 把 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦余弦 记作 即 把 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切正切 记作 即 六 作业设置 六 作业设置 课本课本 第第 85 页页 习题习题 28 1 复习巩固第复习巩固第 1 题 第题 第 2 题 题 只做与余弦 正切有关的部分 只做与余弦 正切有关的部分 自我反思 自我反思 本节课我的收获 5 928 13 锐角三角函数锐角三角函数 特殊角三角函数值特殊角三角函数值 学习目标 能推导并熟记 30 45 60 角的三角函数值 并能根据这些值说出对应锐角度数 能熟练计算含有 30 45 60 角的三角函数的运算式 学习重点 熟记 30 45 60 角的三角函数值 能熟练计算含有 30 45 60 角的三角函数的运算式 学习难点 30 45 60 角的三角函数值的推导过程 导学过程 一 独立自学 一个直角三角形中 一个锐角正弦是怎么定义的 一个锐角余弦是怎么定义的 一个锐角正切是怎么定义的 二 合作互学 思考 思考 两块三角尺中有几个不同的锐角 是多少度 你能分别求出这几个锐角的正弦值 余弦值和正切值码 三 教师点拨 归纳结果三 教师点拨 归纳结果 例例 3 求下列各式的值 1 cos260 sin260 2 cos45 sin45 tan45 例例 4 1 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 AB 6 BC 3 求 A 的度数 2 如图 2 已知圆锥的高 AO 等于圆锥的底面半径 OB 的 3 倍 求 a 学生展示 一 课本学生展示 一 课本 83 页页 第第 1 题题 第第 2 题题 二 选择题 二 选择题 1 已知 Rt ABC 中 C 90 cosA AB 15 则 AC 的长是 3 5 A 3 B 6 C 9 D 12 2 下列各式中不正确的是 30 45 60 siaA cosA tanA 6 A sin260 cos260 1 B sin30 cos30 1 C sin35 cos55 D tan45 sin45 3 计算 2sin30 2cos60 tan45 的结果是 A 2 B 3 C 2 D 1 4 已知 A 为锐角 且 cosA 那么 1 2 A 0 A 60 B 60 A 90 C 0 A 30 D 30 A60 时 cosa 的值 A 小于 B 大于 C 大于 D 大于 1 1 2 1 2 8 在 ABC 中 三边之比为 a b c 1 3 2 则 sinA tanA 等于 A 32 313 331 3 6222 BCD 9 已知梯形 ABCD 中 腰 BC 长为 2 梯形对角线 BD 垂直平分 AC 若梯形的高是 3 则 CAB 等于 A 30 B 60 C 45 D 以上都不对 10 sin272 sin218 的值是 A 1 B 0 C D 1 2 11 若 tanA 3 2 2cosB 0 则 ABC 33 A 是直角三角形 B 是等边三角形 C 是含有 60 的任意三角形 D 是顶角为钝角的等腰三角形 三 填空题 12 设 均为锐角 且 sin cos 0 则 13 cos45sin30 1 cos60tan45 2 的值是 14 已知 等腰 ABC 的腰长为 4 底为 30 则底边上的高为 周长为 3 30 45 60 siaA cosA 7 15 在 Rt ABC 中 C 90 已知 tanB 则 cosA 三 小结评学 要牢记下表 作业设置 课本作业设置 课本 第第 85 页页 习题习题 28 1 复习巩固第复习巩固第 3 题题 自我反思 自我反思 本节课我的收获 928 14928 14 锐角三角函数锐角三角函数 运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角 学习目标 让学生熟识计算器一些功能键的使用 学习重点 运用计算器处理三角函数中的值或角的问题 学习难点 知道值求角的处理 导学过程 一 独立自学 求下列各式的值 1 sin30 cos45 cos60 2 2sin60 2cos30 sin45 3 2cos60 2sin302 4 sin45cos30 32cos60 sin60 1 sin30 5 tan45 sin60 4sin30 cos45 6 tan30 6 sin45 tan30tan60 cos45 cos30 tanA 8 二 合作互学 学生去完成课本 83 84 页 学生展示 学生展示 用计算器求锐角的正弦 余弦 正切值学生去完成课本 83 86 页的题目 三 小结评学 本节课我的收获 928 21 解直角三角形解直角三角形 学习目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系 会运用勾股定理 直角三角形的两个锐角互余及锐角三 角函数解直角三角形 通过综合运用勾股定理 直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 逐步培养学生 分析问题 解决问题的能力 渗透数形结合的数学思想 培养学生良好的学习习惯 学习重点 直角三角形的解法 学习难点 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 导学过程 一 独立自学 1 在三角形中共有几个元素 2 直角三角形 ABC 中 C 90 a b c A B 这五个元素间有哪些等量关系呢 1 边角之间关系边角之间关系 a b A b a A c b A c a A cot tan cos sin b a B a b B c a B c b B cot tan cos sin 如果用 表示直角三角形的一个锐角 那上述式子就可以写成 的对边 的邻边 的邻边 的对边 斜边 的邻边 斜边 的对边 cottancossin 2 三边之间关系三边之间关系 a2 b2 c2 勾股定理 3 锐角之间关系锐角之间关系 A B 90 以上三点正是解直角三角形的依据 以上三点正是解直角三角形的依据 二 合作互学 9 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端 梯子与地面所成的角一般要满足 如图 现有一个长 6m 的梯子 问 1 使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙 精确到 0 1 m 2 当梯子底端距离墙面 2 4 m 时 梯子与地面所成的角等于多少 精确到 1o 这时人是否能够安全使用 这个梯子 教师点拨 教师点拨 例例 1 在 ABC 中 C 为直角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 b a 26 解这个三角形 例例 2 在 Rt ABC 中 B 35o b 20 解这个三角形 学生展示 学生展示 完成课本 91 页练习 补充题 1 根据直角三角形的 元素 至少有一个边 求出 其它所有元素的过程 即解直 角三角形 2 在 Rt ABC 中 a 104 0 b 20 49 解这个三角形 3 在 ABC 中 C 为直角 AC 6 的平分线 AD 4 解此直角三角形 BAC 3 4 Rt ABC 中 若 sinA 4 5 AB 10 那么 BC tanB 5 在 ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 那么 sinA 10 的邻边 的对边 A A 6 在 ABC 中 C 90 sinA 3 5 则 cosA 的值是 A 3 5 B 4 5 C 916 2525 D 三 小结评学 小结 已知一边一角 如何解直角三角形 作业设置 课本作业设置 课本 第第 96 页页 习题习题 28 2 复习巩固第复习巩固第 1 题 第题 第 2 题 题 自我反思 自我反思 本节课我的收获 928 22 解直角三角形解直角三角形 学习目标 使学生了解仰角 俯角的概念 使学生根据直角三角形的知识解决实际问题 逐步培养学生分析问题 解决问题的能力 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点 培养学生用数学的意识 学习重点 将某些实际问题中的数量关系 归结为直角三角形元素之间的关系 从而利用所学知识把实际问题解 决 学习难点 实际问题转化成数学模型 导学过程 一 独立自学 1 解直角三角形指什么 2 解直角三角形主要依据什么 1 勾股定理 2 锐角之间的关系 3 边角之间的关系 tanA 二 合作互学 仰角 俯角 仰角 俯角 当我们进行测量时 在视线与水平线所成的角中 视 线在水平线上方的角叫做仰角 在水平线下方的角叫做俯角 教师点拨 教师点拨 例例 3 2003 年 10 月 15 日 神舟 5 号载人航天飞船发射成功 当飞船完 成变轨后 就在离地球表面 350km 的圆形轨道上运行 如图 当 飞船运行到地球表面上 P 点的正上方时 从飞船上最远能直接 斜边 的邻边A A cos 斜边 的对边A A sin 11 看到的地球上的点在什么位置 这样的最远点与 P 点的距离是多少 地球半径约为 6 400 km 结果精确到 0 1 km 例例 4 热气球的探测器显示 从热气球看一栋高楼顶部的仰角为热气球的探测器显示 从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30o 看这栋离楼底部的俯角为 看这栋离楼底部的俯角为 60o 热气球与高楼的水平距离为热气球与高楼的水平距离为 120 m 这栋高楼有多高这栋高楼有多高 结果精确到结果精确到 0 1m 学生展示 课本学生展示 课本 93 页页 练习练习 第第 1 2 题题 三 小结评学 作业设置 课本作业设置 课本 第第 96 页页 习题习题 28 2 复习巩固第复习巩固第 3 4 题题 自我反思 自我反思 本节课我的收获 928 23 解直角三角形解直角三角形 学习目标 使学生了解方位角的命名特点 能准确把握所指的方位角是指哪一个角