中考圆知识点总结复习

初中圆复习初中圆复习 一 圆的概念一 圆的概念 集合形式的概念 1 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合 2 圆的外部 可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合 3 圆的内部 可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念 1 圆 到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心 定长为半径的圆 2 垂直平分线 到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 也叫中垂 线 3 角的平分线 到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 4 到直线的距离相等的点的轨迹是 平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的 两条直线 5 到两条平行线距离相等的点的轨迹是 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相 等的一条直线 二 点与圆的位置关系二 点与圆的位置关系 1 点在圆内 点在圆内 dr C 2 点在圆上 点在圆上 dr B 3 点在圆外 点在圆外 dr A 三 直线与圆的位置关系三 直线与圆的位置关系 1 直线与圆相离 无交点 dr 2 直线与圆相切 有一个交点 dr 3 直线与圆相交 有两个交点 dr d r d r r d 四 圆与圆的位置关系四 圆与圆的位置关系 外离 图 1 无交点 dRr 外切 图 2 有一个交点 dRr 相交 图 3 有两个交点 RrdRr 内切 图 4 有一个交点 dRr 内含 图 5 无交点 dRr 周 1 r R d 周 3 rR d r d d C B A O 周 2 r R d 周 4 r R d 周 5 r R d 五 垂径定理五 垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理 简称 2 推 3 定理 此定理中共 5 个结论中 只要知道其中 2 个即 可推出其它 3 个结论 即 是直径 弧弧 ABABCD CEDE BC BD 弧弧中任意 2 个条件推出其他 3 个结论 AC AD 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 即 在 中 OABCD 弧弧AC BD 六 圆心角定理六 圆心角定理 圆心角定理 同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弦相等 所对 的弧相等 弦心距相等 此定理也称 1 推 3 定理 即上述四个结论中 只要知道其中的 1 个相等 则可以推出其它的 3 个结论 即 AOBDOE ABDE 弧弧OCOF BA BD 七 圆周角定理七 圆周角定理 1 圆周角定理 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即 和是弧所对的圆心角和圆周角AOB ACB AB 2AOBACB 2 圆周角定理的推论 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的 圆周角所对的弧是等弧 即 在 中 都是所对的圆周角OC D CD 推论 2 半圆或直径所对的圆周角是直角 圆周角是直角所对 的弧是半圆 所对的弦是直径 即 在 中 是直径 或 OAB90C 是直径90C AB 推论 3 若三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形 O E DC B A O C D A B F E D C B A O C B A O D C B A O C BA O C BA O 是直角三角形 即 在 中 ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C 注意注意 此推论实是初二年级几何中矩形的推论 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一 半的逆定理 八 圆内接四边形八 圆内接四边形 圆的内接四边形定理 圆的内接四边形的对角互补 外角等于它的内对角 即 在 中 四边是内接四边形OABCD 180CBAD 180BD DAEC 九 切线的性质与判定定理九 切线的性质与判定定理 1 切线的判定定理 过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件 过半径外端且垂直半径 二者缺一不可 即 且过半径外端MNOA MNOA 是 的切线MNO 2 性质定理 切线垂直于过切点的半径 如上图 推论 1 过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论 2 过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理 即 过圆心 过切点 垂直切线 三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个 十 切线长定理十 切线长定理 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长 相等 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角 即 是的两条切线PAPB 平分PAPB POBPA 十一 圆幂定理十一 圆幂定理 1 相交弦定理相交弦定理 圆内两弦相交 交点分得的两条线段的乘积相等 即 在 中 弦 相交于点 OABCDP PA PBPC PD 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 即 在 中 直径 OABCD E D C B A NM A O P B A O P O D C B A OE D C B A 2 CEAE BE 2 切割线定理切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线 段长的比例中项 即 在 中 是切线 是割线OPAPB 2 PAPC PB 3 割线定理割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每 条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 如右图 即 在 中 是割线OPBPE PC PBPD PE 十二 两圆公共弦定理十二 两圆公共弦定理 圆公共弦定理 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦 如图 垂直平分 12 OOAB 即 相交于 两点 1 O 2 OAB 垂直平分 12 OOAB 十三 圆的公切线十三 圆的公切线 两圆公切线长的计算公式 1 公切线长 中 12 Rt OO C 2222 1122 ABCOOOCO 2 外公切线长 是半径之差 内公切线长 是半径之和 2 CO 2 CO 十四 十四 圆内正多边形的计算 1 正三角形 在 中 是正三角形 有关计算在中进行 OABCRt BOD 1 3 2OD BD OB 2 正四边形 同理 四边形的有关计算在中进行 Rt OAE 1 1 2OE AE OA 3 正六边形 D E C B P A O B A O1 O2 C O2 O1 B A D C B A O E CB AD O B A O 同理 六边形的有关计算在中进行 Rt OAB 1 3 2AB OB OA 十五 扇形 圆柱和圆锥的相关计算公式十五 扇形 圆柱和圆锥的相关计算公式 1 扇形 1 弧长公式 180 n R l 2 扇形面积公式 2 1 3602 n R SlR 圆心角 扇形多对应的圆的半径 扇形弧长 扇形面积nRlS 2 圆柱 1 圆柱侧面展开图 2SSS 侧表底 2 22rhr 2 圆柱的体积 2 Vr h 3 圆锥侧面展开图 1 SSS 侧表底 2 Rrr 2 圆锥的体积 2 1 3 Vr h 十六 内切圆及有关计算 十六 内切圆及有关计算 1 三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点 它到三边的距离相等 2 ABC 中 C 90 AC b BC a AB c 则内切圆的半径 r 2 cba 3 S ABC 其中 a b c 是边长 r 是内切圆的半径 2 1 cbar 4 弦切角 角的顶点在圆周上 角的一边是圆的切线 另一边是圆的弦 如图 BC 切 O 于点 B AB 为弦 ABC 叫弦切角 ABC D C 练习题练习题 1 1 若 O 的半径为 4cm 点 A 到圆心 O 的距离为 3cm 那么点 A 与 O 的位置关系是 A 点 A 在圆内 B 点 A 在圆上 c 点 A 在圆外 D 不能确定 2 2 已知 O 的半径为 5 弦 AB 的弦心距为 3 则 AB 的长是 3 3 如图 MN 是半径为 1 的 O 的直径 点 A 在 O 上 AMN 30 B 为 AN 弧的中点 点 P 是直径 MN 上一个动点 则求 PA PB 的最小值 Sl B A O 周 周 周 周 周 周 周 周 C1 D1 D C B A B1 R r C B A O B O A D 周 2 E D C B A o N M B A P O 4 如图 2 已知 BD 是 O 的直径 O 的弦 AC BD 于点 E 若 AOD 60 则 DBC 的度数为 5 与直线 L 相切于已知点的圆的圆心的轨迹是 6 已知直角三角形的两直角边长分别为 5 和 12 则它的外接圆半径 R 内切圆半径 r 7 O 的半径为 6 O 的一条弦 AB 为 6 以 3 为半径的同心圆与直线 AB 的位置关系是 3 8 PA PB 是 O 的切线 切点是 A B APB 50 过 A 作 O 直径 AC 连接 CB 则 PBC 9 如图 4 AB 是 O 的直径 弦 AC BD 相交于 P 则 CD AB 等于 A sinBPCB cosBPCC tanBPCD cotBPC 图 4 图 5 10 如图 5 点 P 为弦 AB 上一点 连结 OP 过 PC 作 PC OP PC 交 O 于 C 若 AP 4 PB 2 则 PC 的长是 A 2B 2C 22D 3 11 圆的最大的弦长为 12 cm 如果直线与圆相交 且直线与圆心的距离为 d 那么 A d 6 cmB 6 cm d12 cm 12 如图 6 在以 O 为圆心的两个同心圆中 大圆的弦 AB 是小圆的切线 P 为切点 设 AB 12 则两圆 构成圆环面积为 图 6 图 7 13 如图 7 PE 是 O 的切线 E 为切点 PAB PCD 是割线 AB 35 CD 50 AC DB 1 2 则 PA 14 如图 8 AB 是 O 的直径 点 D 在 AB 的延长线上 且 BD OB 点 C 在 O 上 CAB 30 求证 DC 是 O 的切线 图 8 15 如图 AB 既是 C 的切线也是 D 的切线 C 与 D 相外切 C 的半径 r 2 D 的半径 R 6 求四边形 ABCD 的面积 16 如图 10 BC 是 O 的直径 A 是弦 BD 延长线上一点 切线 DE 平分 AC 于 E 求证 1 AC 是 O 的切线 2 若 AD DB 3 2 AC 15 求 O 的直径 12 分 图 10 17 如图 11 AB 是 O 的直径 点 P 在 BA 的延长线上 弦 CD AB 垂足为 E 且 PC2 PE PO 1 D C A B 求证 PC 是 O 的切线 2 若 OE EA 1 2 PA 6 求 O 的半径 3 求 sinPCA 的值 12 分 图 11 18 如图 O 的两条割线 AB AC 分别交圆 O 于 D B E C 弦 DF AC 交 BC 于 C 1 求证 CGBCFGAC 2 若 CF AE 求证 ABC 为等腰三角形 A B C D E O F G 19 如图 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 与点 E 点 P 在 O 上 1 C 1 求证 CB PD 2 若 BC 3 sinP 求 O 的直径 3 5 20 如图 ABC 内接于 O AB 是 O 的直径 PA 是过 A 点的直线 PAC B l 求证 PA 是 O 的切线 2 如果弦 CD 交 AB 于 E CD 的延长线交 PA 于 F AC 8 CE ED 6 5 AE EB 2 3 求 AB 的长和 ECB 的正切值 AB C D P O E F 21 如图 在 Rt ABC 中 B 90 A 的平分线交 BC 于点 D E 为 AB 上的一点 DE DC 以 D 为圆心 DB 长为半径作 D 求证 l AC 是 D 的切线 2 AB EB AC 22 如图 AB 是 O 的直径 以 OA 为直径的 与 O 的弦 AC 相交于 D DE OC 垂足为 E 1 O l 求证 AD DC 2 求证 DE 是 的切线 1 O 3 如果 OE EC 请判断四边形OED 是什么四边形 并证明你的结论 1 O 考点一 与圆相关概念的应用考点一 与圆相关概念的应用 利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容 在复习中准确理解与圆有关的概念 注意分清它 们之间的区别和联系 1 1 运用圆与角 圆心角 圆周角 弦 弦心距 弧之间的关系进行解题运用圆与角 圆心角 圆周角 弦 弦心距 弧之间的关系进行解题 例 1 已知 如图所示 在 ABO 中 AOB 90 B 25 以 O 为圆心 OA 长 为半径的圆交 AB 于 D 求弧 AD 的度数 例 2 如图 A B C 是 O 上的三点 AOC 100 则 ABC 的度数为 30 45 50 60 2 2 利用圆的定义判断点与圆 直线与圆 圆与圆的位置关系利用圆的定义判断点与圆 直线与圆 圆与圆的位置关系 例 3 已知 O 的半径为 3cm A 为线段 OM 的中点 当 OA 满足 1 当 OA 1cm 时 点 M 与 O 的位置关系是 2 当 OA 1 5cm 时 点 M 与 O 的位置关系是 3 当 OA 3cm 时 点 M 与 O 的位置关系是 例 4 O 的半径为 4 圆心 O 到直线 l 的距离为 3 则直线 l 与 O 的位置关系是 相交 相切 相离 无法确定 例 5 两圆的半径分别为 3cm 和 4cm 圆心距为 2cm 那么两圆的位置关系是 3 3 正多边形和圆的有关计算正多边形和圆的有关计算 例 6 已知正六边形的周长为 72cm 求正六边形的半径 边心距和面积 A B C D E 1 O O A B C D E 4 4 运用弧长及扇形面积公式进行有关计算运用弧长及扇形面积公式进行有关计算 例 7 如图 矩形 ABCD 中 BC 2 DC 4 以 AB 为直径的半圆 O 与 DC 相切于 点 E 则阴影部分的面积为 结果保留 5 5 运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算 例 8 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆 则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是 考点二 圆中计算与证明的常见类型考点二 圆中计算与证明的常见类型 1 1 利用垂径定理解题利用垂径定理解题 垂径定理及其推论中的三要素是 直径 平分 过圆心 它们在圆内常常构成圆周角 等分线段 直角三角形等 从而可以应用相关定理完成其论证或计算 例 1 在 O 中 弦 CD 与直径 AB 相交于点 P 夹角为 30 且分直径为 1 5 两部分 AB 6 则弦 CD 的长为 2 4 4 2 2 2 利用利用 直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角 解题解题 直径所对的圆周角是直角 是非常重要的定理 在解与圆有关的问题时 常常添 加辅助线构成直径所对的圆周角 以便利用上面的定理 例 2 如图 在 O 的内接 ABC 中 CD 是 AB 边上的高 求证 ACD OCB 3 3 利用圆内接四边形的对角关系解题利用圆内接四边形的对角关系解题 圆内接四边形的对角互补 这是圆内接四边形的重要性质 也揭示了确定四点 共圆的方法 例 3 如图 四边形 ABCD 为圆内接四边形 E 为 DA 延长线上一点 若 C 45 AB 则点 B 到 AE 的距离为 2 4 4 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法及应用 判断圆的切线的方法有三种 1 1 与圆有惟一公共点的直线是圆的切线 与圆有惟一公共点的直线是圆的切线 2 2 若圆心到一条直线的距离等于圆的半径 则该直线是圆的切线 若圆心到一条直线的距离等于圆的半径 则该直线是圆的切线 3 3 经过半径外端 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 经过半径外端 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 例 4 如图 O 的直径 AB 4 ABC 30 BC D 是线段 BC 的中点 34 1 试判断点 D 与 O 的位置关系 并说明理由 2 过点 D 作 DE AC 垂足为点 E 求证 直线 DE 是 O 的切线 例 5 如图 已知 O 为正方形 ABCD 对角线上一点 以 O 为圆心 OA 的长为半径的 O 与 BC 相切于 M 与 AB AD 分别相交于 E F 求证 CD 与 O 相切 例 6 如图 半圆 O 为 ABC 的外接半圆 AC 为直径 D 为劣弧上一动点 P 在 CB 的延长线上 且有 BAP BDA 求证 AP 是半圆 O 的切线 课堂巩固练习课堂巩固练习 1 1 选择题 选择题 1 O 的半径为 R 点 P 到圆心 O 的距离为 d 并且 d R 则 P 点 A 在 O 内或圆周上 B 在 O 外 C 在圆周上 D 在 O 外或圆周上 2 由一已知点 P 到圆上各点的最大距离为 5 最小距离为 1 则圆的半径为 A 2 或 3 B 3 C 4 D 2 或 4 3 如图 O 中 ABDC 是圆内接四边形 BOC 110 则 BDC 的度数是 A 110 B 70 C 55 D 125 4 在 O 中 弦 AB 垂直并且平分一条半径 则劣弧 AB 的度数等于 A 30 B 120 C 150 D 60 B O A P C 5 直线 上有一点到圆心 O 的距离等于 O 的半径 则直线 与 O 的位置关系是 相离 相切 相切或相交 相交 6 如图 切 O 于 交 O 于点 若 PA 5 PB B 则 的长是 10 5 2535 7 如图 某城市公园的雕塑是由 3 个直径为 1m 的圆两两相垒立在水平的地 面上 则雕塑的最高点到地面的距离为 A B C D 2 32 2 33 2 22 2 23 8 已知两圆的圆心距是 9 两圆的半径是方程 2x2 17x 35 0 的两根 则两圆有 条切线 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 9 如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于 20cm 则梯形的腰长为 10 如图 O1和 O2相交于 A B 两点 且 A O1 A O2分别是两圆的切线 A 是切点 若 O