2014年高考试题（上海卷）理数（word答案） (2)

2 0 1 4 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 上海上海 数学试卷 理工农医类 数学试卷 理工农医类 考生注意 考生注意 1 本试卷共 4 页 23 道试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 2 本考试分设试卷和答题纸 试卷包括试题与答题要求 作答必须涂 选择题 或写 非选择题 在答题纸上 在试卷上作答一律不得分 3 答卷前 务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名 准考证号 并将核对 后的条形码贴在指定位置上 在答题纸正面清楚地填写姓名 1 填空题 本大题共有填空题 本大题共有 14 题 满分题 满分 56 分 考生应在答题纸相应编号的空格内分 考生应在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果 每个空格填对得直接填写结果 每个空格填对得 4 分 否则一律得零分 分 否则一律得零分 1 函数 2 cos21 2 的最小正周期是xy 2 若复数 z 1 2i 其中 i 是虚数单位 则 1 z z z 3 若抛物线 y2 2px 的焦点与椭圆的右焦点重合 则该抛物线的准线方程为1 59 22 yx 4 设若 则 a 的取值范围为 2 axx axx xf4 2 f 5 若实数 x y 满足 xy 1 则 的最小值为 2 x 2 2y 6 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍 则其母线与底面角的大小为 结果用反三角函 数值表示 7 已知曲线 C 的极坐标方程为 则 C 与极轴的交点到极点的距离是 1 sin4cos3 p 8 设无穷等比数列 的公比为 q 若 则 q n a lim 431 aaa n 9 若 则满足的取值范围是 2 1 3 2 xxxf 0 xfx 10 为强化安全意识 某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练 则 选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率 是 结构用最简分数表示 2 选择题 本大题共有 4 题 满分 20 分 每题有且只有一个正确答案 考生应在答题纸 的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得 5 分 否则一律得零分 11 已知互异的复数 a b 满足 ab 0 集合 a b 则 a b 2 a 2 b 12 设常数 a 使方程在闭区间 0 2 上恰有三个解 则sin3cosxxa 1 23 x x x 1 23 xxx 13 某游戏的得分为 1 2 3 5 随机变量表示小白玩游戏的得分 若 4 2 则小白得 5 分的概率至少为 14 已知曲线 C 直线 l x 6 若对于点 A m 0 存在 C 上的点 P 和 l 上 2 4xy 的点 Q 使得 则 m 的取值范围为 0APAQ 15 设 则 是 的 Rba 4 ba2 2 ba且 A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 16 如图 四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱 AB 是一条侧棱 是上 2 1 iPi 底面上其余的八个点 则的不同值的个数为 2 1 iAPAB i A 1 B 2 C 4 D 8 17 已知与是直线 y kx 1 k 为常数 上两个不同的点 则关于 x 和 y 111 baP 222 baP 的方程组的解的情况是 1 1 22 21 ybxa ybxa A 无论 k 如何 总是无解 B 无论 k 如何 总有唯一解 21 P P 21 P P C 存在 k 使之恰有两解 D 存在 k 使之有无穷多解 21 P P 21 P P 18 若是的最小值 则的取值范围为 0 1 0 2 xa x x xax xf 0 f xfa A 1 2 B 1 0 C 1 2 D 0 2 三 解答题 本大题共 5 题 满分 74 分 19 本题满分 12 分 底面边长为 2 的正三棱锥 其表面展开图是三角形 如图 求 PABC 321 ppp 的各边长及此三棱锥的体积 321 pppV 20 本题满分 14 分 本题有 2 个小题 第一小题满分 6 分 第二小题满分 1 分 设常数 函数0 a a a xf x x 2 2 1 若 4 求函数的反函数 a xfy 1 xfy 2 根据的不同取值 讨论函数的奇偶性 并说明理由 a xfy 21 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 如图 某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌 其中为顶端 AB CCDD 长 35 米 长 80 米 设在同一水平面上 从和看的仰角分别为ACCBAB ABD 和 1 设计中是铅垂方向 若要求 问的长至多为多少 结果精确到CD 2 CD 0 01 米 2 施工完成后 与铅垂方向有偏差 现在实测得求CD 45 1812 38 的长 结果精确到 0 01 米 CD 22 本题满分 16 分 本题共 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小 题满分 8 分 在平面直角坐标系中 对于直线 和点记xoyl0axbyc 22211 yxPyxPi 若1 2 4 1 log 1 y x y 因此 所求反函数为或 1 2 4 1 log 1 x fx x 1x 1 x 当时 定义域为 R 故函数为偶函数 0a 1 f x yf x 当时 定义域为1a 21 21 x x f x 0 0 故函数是奇函数 2112 211 2 xx xx fxf x yf x 当且时 定义域为关于原点不对称 故函数0a 1a 22 log log aa 既不是奇函数 也不是偶函数 yf x 21 解 1 记 CD h 根据已知得tantan20 所以tan tan 3580 hh a 2 2 80 0 35 1 80 h h h 解得因此 CD 的长至少约为 38 28 米 20 228 28 h 2 在中 由已知 ABD 56 57AB 115 由正弦定理得解得 BD 85 064 BD sinsin AB 在中 由余弦定理得BCD 222 2cos CDBCBDBCBD 解得 所以 CD 的长约为 26 93 米 26 93CD 22 证 1 因为 所以点被直线分隔 40 A B10 xy 解 2 直线与曲线有公共点的充要条件是方程组ykx 22 41xy 有解 即因为直线是曲线上的分割点 故 22 41 ykx xy 1 2 k ykx 22 41xy 它们没有公共点 即 1 2 k 当时 对于直线 曲线上的点 1 0 和 1 0 满足 1 2 k ykx 22 41xy 即点 1 0 和 1 0 被分割 2 0k ykx 故实数 k 的取值范围是 11 22 证 3 设 M 的坐标为 x y 则曲线 E 的方程为 即 22 2 1xyx 222 2 1xyx 对任意的不是上述方程的解 记 y 轴与曲线 E 没有公共点 00 0 yy 又曲线 E 上的点 1 2 和 1 2 对于 y 轴满足 即点 1 2 和 1 2 被 y 轴分0 割 所以 y 轴为曲线 E 的分割线 若过原点的直系不是 y 轴 设其为 ykx 由 得 222 2 1 ykx xyx 222 2 10 xkxx 令 222 2 1f xxkxx 因为 所以方程有实数解 2 0 2 1 16 1 15 0ffk 0f x 即直线与曲线 E 有公共点 故直系不是曲线 E 的分割线 ykx ykx 综上可得 通过原点的直线中 有且仅有一条直线是 E 的分割线 23 解 1 由条件得且 解得 2 6 3 x 93 3 x x 36x 所以 x 的取值范围是 3 6 2 由 且 得 所以 1 3 3 nn aa 1 1 0 n n aa q 0 n a 1 1 3 nn SS 又 所以 1 33 3 nnn aaa 1 3 3 q 当时 由得成立1q 1 1 nn Sn Sn 13nn 1 3 nn SS 当时 即1q 1 3 nn SS 1 11 3 11 nn qq qq 若 则 13q 3 2 n q q 由 得 所以 n qq nN 3 2q q 12 q 若 则 1 1 3 q 3 2 n q q 由 得 所以 n qq nN 3 2q q 1 1 3 q 综上 q 的取值范围为 1 2 3 3 设的公差为 由 且 1 2 k a aad 1 1 3 3 nnn