九年级圆基础知识点--(圆讲义)

1 一对一授课教案一对一授课教案 学员姓名 何锦莹 年级 9 所授科目 数学 上课时间 年 月 日 时 分至 时 分共 小时 老师签名老师签名唐熠唐熠学生签名学生签名 教学主题教学主题 圆圆 上次作业检查上次作业检查完成很好完成很好 本次上课表现本次上课表现 本次作业本次作业 授课内容 授课内容 圆的相关概念 基础知识圆的相关概念 基础知识 板块一 圆的有关概念板块一 圆的有关概念 一 圆的定义 一 圆的定义 1 描述性定义 在一个平面内 线段绕它固定的一个端点旋转一周 另一个端点随OAOA 之旋转所形成的图形叫做圆 其中固定端点叫做圆心 叫做半径 OOA 2 圆的表示方法 通常用符号表示圆 定义中以为圆心 为半径的圆记作 OOAO 读作 圆 O 3 同圆 同心圆 等圆 圆心相同且半径相等的圆叫同圆 圆心相同 半径不相等的两个圆叫做同心圆 能够重 合的两个圆叫做等圆 注意 同圆或等圆的半径相等 二 弦和弧二 弦和弧 1 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦 2 直径 经过圆心的弦叫做圆的直径 直径等于半径的倍 2 3 弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距 4 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 以为端点的圆弧记作 读作弧AB A AB AB 5 等弧 在同圆或等圆中 能够互相重合的弧叫做等弧 6 半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧 每一条弧都叫做半圆 7 优弧 劣弧 大于半圆的弧叫做优弧 小于半圆的弧叫做劣弧 8 弓形 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 三 圆心角和圆周角三 圆心角和圆周角 1 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 将整个圆分为等份 每一份的弧对应的圆3601 心角 我们也称这样的弧为的弧 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等 1 2 圆周角 顶点在圆上 并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 3 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等 推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 的圆周角所对的弦是直径 90 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 4 圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相 等 所对的弦相等 所对的弦的弦心距相等 推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两条弦的弦心距中有一组 量相等 那么它们所对应的其余各组量分别相等 2 板块二 圆的对称性与垂径定理 一 圆的对称性 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 对称轴是经过圆心的任意一条直线 2 圆的中心对称性 圆是中心对称图形 对称中心是圆心 3 圆的旋转对称性 圆是旋转对称图形 无论绕圆心旋转多少角度 都能与其自身重合 二 垂径定理 1 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 2 推论 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 3 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 练习题 1 判断 1 直径是弦 是圆中最长的弦 2 半圆是弧 弧是半圆 3 等圆是半径相等的圆 4 等弧是弧长相等的弧 5 半径相等的两个半圆是等弧 6 等弧的长度相等 2 P 为 O 内与 O 不重合的一点 则下列说法正确的是 A 点 P 到 O 上任一点的距离都小于 O 的半径 B O 上有两点到点 P 的距离等于 O 的 半径 C O 上有两点到点 P 的距离最小 D O 上有两点到点 P 的距离最大 3 以已知点 O 为圆心作圆 可以作 A 1 个B 2 个C 3 个D 无数个 4 以已知点 O 为圆心 已知线段 a 为半径作圆 可以作 A 1 个B 2 个C 3 个D 无数个 5 如下图 1 若点 O 为 O 的圆心 则线段 是圆 O 的半径 线段 是圆 O 的弦 其中最长的弦是 是劣弧 是半圆 2 若 A 40 则 ABO C ABC 5 一点和 O 上的最近点距离为 4cm 最远距离为 9cm 则这圆的半径是 cm 6 圆上各点到圆心的距离都等于 到圆心的距离等于半径的点都在 7 如图 点 C 在以 AB 为直径的半圆上 BAC 20 BOC 等于 A 20 B 30 C 40 D 50 3 8 如图 在 O 中 弦 AB 8cm OC AB 于 C OC 3cm 求 O 的半径长 9 如图 1 如果 AB 为 O 的直径 弦 CD AB 垂足为 E 那么下列结论中 错误的是 A CE DE B C BAC BAD D AC AD AA BCBD B A C E D O BA O M BA C D P O B A C E D O B A C E D O F 5 1 2 3 4 10 如图 2 O 的直径为 10 圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3 则弦 AB 的长是 A 4 B 6 C 7 D 8 11 如图 3 在 O 中 P 是弦 AB 的中点 CD 是过点 P 的直径 则下列结论中不正确的是 A AB CD B AOB 4 ACD C D PO PD AA ADBD 12 如图 4 AB 为 O 直径 E 是中点 OE 交 BC 于点 D BD 3 AB 10 则 AC A BC 13 P 为 O 内一点 OP 3cm O 半径为 5cm 则经过 P 点的最短弦长为 最长 弦长为 14 深圳南山区 3 分 如图 1 3 l 在 O 中 已知 A CB CDB 60 AC 3 则 ABC 的周长是 4 15 如果两个圆心角相等 那么 A 这两个圆心角所对的弦相等 B 这两个圆心角所对的弧相等 C 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D 以上说法都不对 16 大连 3 分 如图 1 3 7 A B C 是 O 上的三点 BAC 30 则 BOC 的大小是 A 60 B 45 C 30 D 15 三 综合题三 综合题 1 如图 O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E AE 2 EB 6 DEB 30 求弦 CD 长 B A C E D O 3 已知 如图 AB 是 O 的直径 CD 是 O 的弦 AB CD 的延长线交于 E 若 AB 2DE E 18 求 C 及 AOC 的度数 板块三 点与圆的位置关系 一 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有 点在圆上 点在圆内 点在圆外三种 这三种关系由这个点到圆心 的距离与半径的大小关系决定 设的半径为 点到圆心的距离为 则有 O rPOd 点在圆外 点在圆上 点在圆内 dr dr dr 5 如下表所示 位置关系图形定义性质及判定 点在圆外 P r O 点在圆的外部点在的外部 dr PO 点在圆上 P r O 点在圆周上点在的圆周上 dr PO 点在圆内 Pr O 点在圆的内部点在的内部 dr PO 二 确定圆的条件 1 圆的确定 确定一个圆有两个基本条件 圆心 定点 确定圆的位置 半径 定长 确定圆 的大小 只有当圆心和半径都确定时 远才能确定 2 过已知点作圆 经过点的圆 以点以外的任意一点为圆心 以的长为半径 即可作出过点AAOOA 的圆 这样的圆有无数个 A 经过两点的圆 以线段中垂线上任意一点作为圆心 以的长为半径 AB ABOOA 即可作出过点的圆 这样的圆也有无数个 AB 过三点的圆 若这三点共线时 过三点的圆不存在 若三点不共线ABC ABC 时 圆心是线段与的中垂线的交点 而这个交点是唯一存在的 这样的圆有ABBCO 唯一一个 过个点的圆 只可以作个或 个 当只可作一个时 其圆心是其中不共线三n 4n 01 点确定的圆的圆心 3 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆 注意 不在同一直线上 这个条件不可忽视 换句话说 在同一直线上的三点不能 作圆 确定 一词的含义是 有且只有 即 唯一存在 板块四 直线和圆的位置关系 一 直线和圆的位置关系的定义 性质及判定 设的半径为 圆心到直线 的距离为 则直线和圆的位置关系如下表 O rOld 位置关 系 图形定义性质及判定 6 相离 l O d r 直线与圆没有公共点 直线 与相dr lO 离 相切 l O d r 直线与圆有唯一公共点 直线 叫做圆的切线 唯一公共点叫 做切点 直线 与相dr lO 切 相交 l O d r 直线与圆有两个公共点 直线 叫做圆的割线 直线 与相dr lO 交 从另一个角度 直线和圆的位置关系还可以如下表示 二 切线的性质及判定 1 切线的性质 定理 圆的切线垂直于过切点的半径 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2 切线的判定 定义法 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 距离法 和圆心距离等于半径的直线是圆的切线 定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3 切线长和切线长定理 切线长 在经过圆外一点的圆的切线上 这点和切点之间的线段的长 叫做这点到圆 的切线长 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角 三 三角形内切圆 1 定义 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心叫做三角形的内心 这个三角形叫做圆的外切三角形 2 多边形内切圆 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆 这个多边形叫做圆的 外切多边形 1 如图 中 是的中点 以为圆心的圆与相切于点 求证 ABC ABAC OBCOABD 是的切线 ACOA 直线和圆的位置关系相交相切相离 公共点个数210 圆心到直线的距离与半径的关系drdr dr dr 公共点名称交点切点无 直线名称割线切线无 7 O D CB A 2 如图 已知是的直径 是和相切于点的切线 过上点的直线ABOABCOABOAA 若且 则 ADOC 2OA 6ADOC CD 3 如图 ABC 中 A 90 以 AB 为直径的 O 交 BC 于 D E 为 AC 边中点 求证 DE 是 O 的切线 8 如图 在ABC 中90ACB D是AB的中点 以DC为直径的OA交 ABC 的三边 交点分别是GFE 点 GECD 的交点为M 且4 6ME 2 5MD CO C O D BA 8 1 求证 GEFA 2 求OA的直径CD的长 7 如图 18 在平面直角坐标系中 的边在轴上 且 ABC ABxOAOB 以为直径的圆过点 若点的坐标为 A B 两点的ABCC 0 2 5AB 横坐标 是关于的方程的两根 A x B xx 2 2 10 xmxn 1 求 的值 mn 2 若平分线所在的直线 交轴于点 试求直线 对应的一次函数解析式 ACB lxDl 3 过点任作一直线分别交射线 点除外 于点 则D l CACBCMN 的是否为定值 若是 求出该定值 若不是 请说明理由 11 CMCN E A D G B F C O M y x 图 18 N B A C OD M l l 9 7 7 解 1 以为直径的圆过点 而点的坐标为 ABC90ACB C 0 2 由易知 COAB AOCCOB 2 COAO BO A 即 解之得 或 4 5 AOAO A4AO 1AO OAOB 4AO 即 由根与系数关系有 41 AB xx 2 1 AB AB xxm xxn A 解之 5m 3n 2 如图 3 过点作 交于点 DDEBC ACE 易知 且 DEAC 45ECDEDC 在中 易得 ABC 2 55ACBC ADAE DEBC DBEC ADAE DEEC BDDE y x 图 3 N B A C OD M E F 0 2 l l 10 又 有 AEDACB AEAC EDBC 2 ADAC DBBC 则 即 易求得直线 对应的一次函数解析式为 5 5 3 ABDB 2 3 OD 2 0 3 D l 32yx 解法二 过作于 于 由 求得DDEAC EDFCN F ACDBCDABC SSS 2 5 3 DE 又求得 即 易求直线 解析 11 22 BCD SBD COBC DF AA 52 33 BDDO 2 0 3 D l 式为 32yx 3 过点作于 于 为的平分线 DDEAC EDFCN FCD ACB DEDF 由 有 由 MDEMNC DEMD CNMN DNFMNC 有 即 DFDN CMMN 1 DEDFMDDN CNCMMNMN 1113 5 10CMCNDE 8 8 1 连接DF CD 是圆直径 90CFD 即DFBC 90ACB DFAC BDFA 在OA中BDFGEF GEFA 2 分 2 D 是RtABC 斜边AB的中点 DCDA DCAA 又由 1 知GEFA DCAGEF 又OMEEMC OME 与EMC 相