摩擦角的应用[1]

摩擦角的应用 第 1 页 共 4 页 45 m 图 4 物体的平衡之巧妙方法物体的平衡之巧妙方法 摩擦角的应用摩擦角的应用 一 一 摩擦角的定义摩擦角的定义 摩擦角指的是 摩擦角指的是 物体在受到摩擦力情况下 物体的滑动摩擦力 或最大静摩擦力 支持面的支持力的方向固定不变 我们将支持力与摩擦力合成为支持面作 fN FF N F 用力 以下讲到的斜面对物体的作用力或平面对物体的作用力都为此力 则支持面的F 作用力与支持力的方向成角 如图 1 所示 而这个角就称之为摩擦角 F N F 1 tan 解析 由摩擦公式 得 fN FF tan f N F F 摩擦角 1 tan 二 意义二 意义 引入摩擦的意义 引入摩擦的意义 摩擦力与支持面的支持力是成对出现的 引入摩擦角后 可以将这对力 合成一个力 在物体的平衡态受力分析中很大程度上起到问题简化的效果 尤其是在物体 在四个力作用下保持动态平衡的问题中 引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡 问题 如 三个力中有一个力确定 即大小 方向不变 另一个力方向确定 这个力的大 如 三个力中有一个力确定 即大小 方向不变 另一个力方向确定 这个力的大 小和第三个力的大小 方向变化情况待定 小和第三个力的大小 方向变化情况待定 这里特别补充说明的是 在物体的三力平衡问 题中 作用在物体这三个力合力为 0 等效于三力共点 则三力的作用线汇交于一点 即 三力汇交 三 方法的应用三 方法的应用 例例 1 如图 2 所示 用绳通过定滑轮 物块 使物 块在水平面上从图示位置开始沿地面匀速直线运动 若物块与地面的摩擦因素 滑轮的质量及摩1 擦不计 则物块运动过程中 以下判断正确的是 A 绳子的拉力将保持不变 B 绳子的拉力 将不断增大 C 地面对物块的摩擦力不断减小 D 物块对地面 的压力不断减小 解析 如图 3 所示 取物体 O 点 作力的三角形 重力为有向线段 从该线段箭头端点 做地面作用力的作用所在射线 作从射线 上任意点指向 O 点且将图形封闭成三角形的一系列的有向线段 它们就 是绳子拉力矢量 用曲箭头标明变化趋势 由知力三角1 形中 和 的夹角小于 45 初始状态绳子拉力与水平呈 45 力三角形中 和 的夹角从 45 开始慢慢减小 图 3 中 90 不难得出结论 绳子的拉力不断增大 地面的作 用力不断减小 由图 1 易知 地面支持力与摩擦力均随之减 小 所以 BCD 正确 例例 2 2 如图 4 所示 倾角 45 的斜面上 放置一质量 m 的小 物块 小物块与斜面的动摩擦因素 欲使小物块能 3 3 静止在斜面上 应对小物块再施加一力 该力最小时大小与 方向是 A 与水平成 15 斜向右 B 竖直向上 0 sin15mg 0 sin30mg C 沿斜面向上 D 水平向右 0 sin75mg 0 tan15mg 图 1 v 45 图 2 O 图 3 摩擦角的应用 第 2 页 共 4 页 解析 由得 摩擦角 3 3 110 3 tantan30 3 作出力的三角形 如图 5 所示 蓝色有向线段为重力 黑 色射线为斜面对物块的作用力 红色有向线段为施加的力 青色有向线段为施加的力的最小位置 与斜面的作用力相 垂直 则方向与水平成 00 sin 45 sin15Fmgmg 15 斜向右 即 A 正确 例例 3 3 2009 辽宁 宁夏理综 水平地面上有一木箱 木箱 与地面之间的动摩擦因数为 现对木箱施加一 01 拉力 F 使木箱做匀速直线运动 设 F 的方向与水平面夹角 为 如图 6 在从 0 逐渐增大到 90 的过程中 木箱的 速度保持不变 则 A F 先减小后增大 B F 一直增大 C F 的功率减小 D F 的功率不变 解析 方法一 传统方法 方法一 传统方法 由于木箱的速度保持不变 因 此木箱始终处于平衡状态 受力分析如图所示 则由平衡条 件得 两式联立解sinmgNF cosfNF 得 可见 F 有最 2 cossin 1sin mgmg F 小值 所以 F 先减小后增大 A 正确 B 错误 F 的功率 可见在从 0 逐渐增大到 90 的过程中 tan cos cos cossin1tan mgvmgv PFv 逐渐增大 则功率 P 逐渐减小 C 正确 D 错误 此常规方法对数学要求比较高 如果 此常规方法对数学要求比较高 如果 是在高考时过于紧张 一时半会儿对其中的是在高考时过于紧张 一时半会儿对其中的 F F 表达式里变化情况弄不清楚表达式里变化情况弄不清楚从而半途而废从而半途而废 方法二 引入摩擦角 方法二 引入摩擦角 由得 摩擦角 45 作出力的三角形 如图 7 所 01 示 黑色射线为地面对木箱的作用力 F1 红色有向 线段为拉力 F 蓝色有向线段为重力 由题意在从 0 逐渐增大到 90 的过程中 F 的变化趋势为青色曲 箭头方向变化 易得到 F 先减小后增大 对于 F 的 功率 由矢量表达式 重力的功率显1FFG 然为 0 重力与速度成 90 得到 F 的功率与 F1 的 功率互为相反数 F1 的功率 显然11cosPFv F1 与 v 的角度 保持不变 而 F1 不断的减小 从 而 F 的功率的值不断的减小 1 1cos PPFv 所以答案为 AC 结论 对比两种方法 方法二显然要简单容易的多 结论 对比两种方法 方法二显然要简单容易的多 因此高中有必要掌握摩擦角的应用 而不一定非得参因此高中有必要掌握摩擦角的应用 而不一定非得参 加竞赛的学生才掌握 加竞赛的学生才掌握 例例 4 4 竞赛训练题 如图 8 所示 质量为 m 的物体放在水平 地面上 物体与地面的动摩擦因素 想用力 F 推动 3 3 物体沿水平地面滑动 推力方向与水平夹角在什么范围内事 可能的 答案 01 60sin 2 mg F 解析 摩擦角 考虑临界情况 重力 mg 10 tan30 45 m 图 5 15 30 O F 图 6 F 图 8 F 图 9 mg F 45 图 7 v F1 F G 摩擦角的应用 第 3 页 共 4 页 地面对物体的作用力以及推力 F 构成闭合三角形时 则有 临界角 由图 9 可知 0 0 sin 60 sin mgF 01 0 60sin 2 mg F 时物体可在地面上滑动 即 0 01 60sin 2 mg F 四 拓展实践四 拓展实践 练习 1 一物体质量为 m 置于倾角为的斜面上 图 10 所示 物体与斜面间的动摩擦因 数为 若要使物体沿斜面匀速向上滑动 求拉力的最小值 练习 2 竞赛训练 结构均匀的梯子 AB 靠在光滑竖直墙上 已知梯 子长为 L 重为 G 与地面间的动摩擦因数为 如图 11 所示 1 求梯子不滑动 梯子与水平地面夹角 的最小值 0 2 当 0时 一重为 P 的人沿梯子缓慢向上 他上到什么位置 梯子开始滑动 练习 3 竞赛训练 一架均匀梯子 一端放置在水平地面上 另一端靠 在竖直的墙上 同图 11 所示 梯子与地面及梯子与墙的静摩擦系数分 别为 1 2 求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角 答案解析答案解析 练习 1 mgmgF 2 min 1 cossin cos 解析 引入摩擦角 如图 12 所示 摩擦角 1 tg 由平衡条件得 作力的矢量三角形 其中 蓝色有向线段 为重力 黑色有向线段为斜面对物体的作用力 红色有向 线段为拉力 显然 当拉力 F 垂直于全反力方向时此时 F 的拉力最小 即 mgmgF 2 min 1 cossin cos 练习 2 解析 1 引入摩擦角 将梯子的重力 根G 据三力汇交 作出力的三角形 如图 13 所示 其中 N1为 竖直墙面对楼梯的支持力 F 为水平面对楼梯的作用力 摩擦角 1 tan 由平衡条件可得 tansincos 2 00 LL L 所以有 2tan 1 0 2 如图 14 所示 将梯子和人的重力用其等效重力代替 当 G 等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒 当等效重 力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒 所以当人上到梯子 一半即 L 2 时 梯子开始滑动 练习 3 解析 系统达到临界平衡状态 极限平衡状态 时 即 梯子与水平所成的夹角最小时 各处摩擦力均达到最大值 现 把两端点的受力分别用水平面对梯子的作用力 F1 以及竖直墙面 对梯子的作用力 F2 表示 则梯子就只受三个力 由三力汇交 且三个力必共点 解 如图 15 所示 由平衡条 1 1 1 tan 2 1 2 tan 件和几何关系可得 EB DE AH DH AH D