2015年甘肃省河西五地市高考数学一模试卷（文科）含答案

第 1 页（共 28 页） 2015 年甘肃省河西五地市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 M=x|x+2 0，集合 ，则 M N=（ ） A x|x 2 B x|x 1 C x|x 1 D x|x 2 2下面是关于复数 的四个命题： |z|=2， i， z 的共轭复数为 1+i， z 的虚部为 1 其中真命题为（ ） A 下列推断错误的是（ ） A命题 “若 3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为 “若 x1 则 3x+20” B命题 p：存在 ，使得 0，则非 p：任意 xR，都有 x2+x+10 C若 p 且 q 为假命题，则 p， q 均为假命题 D “x 1”是 “3x+2 0”的充分不必要条件 4若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下 图所示，则这个棱柱的体积为（ ） A B C D 6 第 2 页（共 28 页） 5已知平面向量 与 的夹角为 ，且 | |=1， | +2 |=2 ，则 | |=（ ） A 1 B C 3 D 2 6函数 y=x（ a 0， a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+1=0（ 0）上，则 的最小值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 7等比数列 ， ， ，则数列 前 8 项和等于（ ） A 6 B 5 C 3 D 4 8已知集合 表示的平面区域为 ，若在区域 内任取一点 P（ x， y），则点 P 的坐标满足不等式 x2+ 的概率为（ ） A B C D 9已知函数 f（ x）的定义域为 1， 4，部分对应值如下表， f（ x）的导函数 y=f（ x）的图象如图所示 x 1 0 2 3 4 f（ x） 1 2 0 2 0 当 1 a 2 时，函数 y=f（ x） a 的零点的个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 10定义行列式运算： 若将函数 的图象向左平移m（ m 0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则 m 的最小值是（ ） A B C D 第 3 页（共 28 页） 11已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M（ 2， 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则 |（ ） A B C 4 D 12设 f（ x）是定义在 R 上的恒不为零的函数，对任意实数 x， yR，都有 f（ x） f（ y） =f（ x+y），若， an=f（ n）（ nN*），则数列 前 n 项和 取值范围是（ ） A ， 2） B ， 2 C ， 1） D ， 1 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共计 20分） 13定义某种运算 ， S=ab 的运算原理如图；则式子 53+24= 14若 =4，则 15已知双曲线 ， 点 其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 |值为 16已知曲线 y=（ a 3） x3+在垂直于 y 轴的切线，函数 f（ x） =3x+1 在 1， 2上单调递减，则 a 的范围为 第 4 页（共 28 页） 三、解答题（本大题有 6小题，共 70分 明过程或演算步骤） 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 （ ）求 值； （ ）若 ，且 ，求 a 和 c 的值 18为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对 15 65 岁的人群抽样了 n 人，回答问题 “湖南省有哪几个著名的旅游景点？ ”统计结果如下图表 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数 占本组的频率 第 1 组 15， 25） a 2 组 25， 35） 18 x 第 3 组 35， 45） b 4 组 45， 55） 9 5 组 55， 65 3 y （ ）分别求出 a， b， x， y 的值； （ ）从第 2， 3， 4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，求第 2， 3， 4 组每组各抽取多少人？ （ ）在（ ）抽取的 6 人中随机抽取 2 人，求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率 19已知四棱锥 P 面 A=60、边长为 a 的菱形，又 底 D，点 M、 N 分别是棱 中点 （ 1）证明： 平面 第 5 页（共 28 页） （ 2）证明：平面 平面 （ 3）求点 A 到平面 距离 20已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 |2，点（ 1， ）在椭圆C 上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过 直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，且 面积为 ，求以 圆心且与直线 21已知函数 ，（其中常数 m 0） （ 1）当 m=2 时，求 f（ x）的极大值； （ 2）试讨论 f（ x）在区间（ 0， 1）上的单调性； （ 3）当 m3， +）时，曲线 y=f（ x）上总存在相异两点 P（ f（ 、 Q（ f（ ，使得曲线 y=f（ x）在点 P、 Q 处的切线互相平行，求 x1+取值范围 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 何证明选讲 22如图所示， 圆 O 的切线， A 为切点， 圆 O 于 B， C 两点， 0， 0， 角平分线与 圆 O 分别交于点 D 和 E （ ）求证 C=C （ ） 求 E 的值 第 6 页（共 28 页） 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，圆 C 的参数方程 为参数）以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （ ）求圆 C 的极坐标方程； （ ）直线 l 的极坐标方程是 ，射线 = 与圆 C 的交点为 O、 P，与直线l 的交点为 Q，求线段 长 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|2x+1|， g（ x） =|x|+a （ ）当 a=0 时，解不等式 f（ x） g（ x）； （ ）若存在 xR，使得 f（ x） g（ x）成立，求实数 a 的取值范围 第 7 页（共 28 页） 2015 年甘肃省河西五地市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 M=x|x+2 0，集合 ，则 M N=（ ） A x|x 2 B x|x 1 C x|x 1 D x|x 2 【考点】 并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法 【专题】 计算题 【分析】 根据题意先求出集合 M 和集合 N，再求 M N 【解答】 解： 集合 M=x|x+2 0=x| 2 x 1， 集合 =x|2 x22=x| x2=x|x 2， M N=x|x 2， 故选 A 【点评】 本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答 2下面是关于复数 的四个命题： |z|=2， i， z 的共轭复数为 1+i， z 的虚部为 1 其中真命题为（ ） A 考点】 命题的真假判断与应用；复数代数形式的乘除运算 【专题】 计算题；函数的性质及应用 【分析】 求出 |z|，可判断 真假；化简 判断 真假； ，可得 z 的共轭复数为 1 i， z 的虚部为 1，由此可 得结论 第 8 页（共 28 页） 【解答】 解： |z|= = ，故命题为假； = =2i，故命题为真； ， z 的共轭复数为 1 i，故命题 ， z 的虚部为 1，故命题为真 故 真命题为 选： C 【点评】 本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题 3下列推断错误的是（ ） A命题 “若 3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为 “若 x1 则 3x+20” B命题 p：存在 ，使得 0，则非 p：任意 xR，都有 x2+x+10 C若 p 且 q 为假命题，则 p， q 均为假命题 D “x 1”是 “3x+2 0”的充分不必要条件 【考点】 命题的真假判断与应用 【专题】 简易逻辑 【分析】 A，写出命题 “若 3x+2=0，则 x=1”的逆否命题，可判断 A； B，写出命题 p： “存在 ，使得 0”的否定 p，可判断 B； C，利用复合命题的真值表可判断 C； D， 3x+2 0x 2 或 x 1，利用充分必要条件的概念可判断 D 【解答】 解：对于 A，命题 “若 3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为 “若 x1 则 3x+20”，正确； 对于 B，命题 p：存在 ，使得 0，则非 p：任意 xR，都有 x2+x+10，正确； 对于 C，若 p 且 q 为假命题，则 p， q 至少有一个为假命题，故 C 错误； 对于 D， 3x+2 0x 2 或 x 1，故 “x 1”是 “3x+2 0”的充分不必要条件，正确 综上所述，错误的选项为： C， 故选： C 【点评】 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题 4若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ） 第 9 页（共 28 页） A B C D 6 【考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 计算题 【分析】 由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面正三角形的高为 ，故先解三角形求出底面积，再由体积公式求解其体积即可 【解答】 解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是 4，底面正三角形的高是 ， 设底面边长为 a，则 ， a=6， 故三棱柱体积 故选 B 【点评】 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积三视图的投影规则是： “主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等 ”三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能 5已知平面向量 与 的夹角为 ，且 | |=1， | +2 |=2 ，则 | |=（ ） A 1 B C 3 D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 由已知将， | +2 |=2 ，两边平方，得到 ， 的模的等式，解之即可 【解答】 解：由已知， | +2 |2=12，即 ，所以 | |2+4| | | +4=12，所以 | |=2； 故选 D 【点评】 本题考查了向量的模的求法；一般的，要 求向量的模，先求向量的平方 第 10 页（共 28 页） 6函数 y=x（ a 0， a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+1=0（ 0）上，则 的最小值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 基本不等式 【专题】 不等式的解法及应用 【分析】 函数 y=x（ a 0， a1）的图象恒过定点 A（ 1， 1），由于点 A 在直线 mx+1=0（ 0）上，可得 m+n=1再利用 “乘 1 法 ”与基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：函数 y=x（ a 0， a1）的图象恒过定点 A（ 1， 1）， 点 A 在直线 mx+1=0（ 0）上， m+n=1 则 =（ m+n） =2+ =4，当且仅当 m=n= 时取等号 故选： B 【点评】 本题考查了 “乘 1 法 ”与基本不等式的性质、指数函数的性 质，属于基础题 7等比数列 ， ， ，则数列 前 8 项和等于（ ） A 6 B 5 C 3 D 4 【考点】 等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前 n 项和 【专题】 等差数列与等比数列 【分析】 由等比数列的性质可得 a1a8=a2a40，由对数的运算性质，整体代入计算可得 【解答】 解： 等比数列 ， ， a45=10， 数列 前 8 项和 S=+a1a2=a44 =4a4=4 故选： D 【点评】 本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查 第 11 页（共 28 页） 8已知集合 表示的平面区域为 ，若在区域 内任取一点 P（ x， y），则点 P 的坐标满足不等式 x2+ 的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型；简单线性规划 【专题】 概率与统计 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图， 则对应的区域为 由 ，解得 ，即 B（ 4， 4）， 由 ，解得 ，即 A（ ， ）， 直线 2x+y 4=0 与 x 轴的交点坐标为（ 2， 0）， 则 面积 S= = ， 点 P 的坐标满足不等式 x2+ 区域面积 S= ， 则由几何概型的概率公式得点 P 的坐标满足不等 式 x2+ 的概率为 = ， 故选： D 第 12 页（共 28 页） 【点评】 本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件 A 的基本事件对应的 “几何度量 ”N（ A），再求出总的基本事件对应的 “几何度量 ”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解 9已知函数 f（ x）的定义域为 1， 4，部分对应值如下表， f（ x）的导函数 y=f（ x）的图象如 图所示 x 1 0 2 3 4 f（ x） 1 2 0 2 0 当 1 a 2 时，函数 y=f（ x） a 的零点的个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性 【专题】 数形结合；导数的概念及应用 【分析】 根据导函数图象，画出原函数的草图，利用 1 a 2，即可得到函数 y=f（ x） a 的零点的个数 【解答】 解：根据导函数图象，可得 2 为函数的极小值点，函数 y=f（ x）的图象如图所示： 第 13 页（共 28 页） 因为 f（ 0） =f（ 3） =2， 1 a 2， 所以函数 y=f（ x） a 的零点的个数为 4 个 故选： C 【点评】 本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减 10定义行列式运算： 若将函数 的图象向左平移m（ m 0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则 m 的最小值是（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；二阶行列式与逆矩阵 【专题】 计算题；新定义；三角函数的图像与性质 【分析】 由定义的行列式计算得到函数 f（ x）的解析式，化简后得到 y=f（ x+m）的解析式，由函数 y=f（ x+m）是奇函数，则 x 取 0 时对应的函数值等于 0，由此求出 m 的值，进一步得到 m 的最小值 【解答】 解：由定义的行列式运算，得 = = = = 将函数 f（ x）的图象向左平移 m（ m 0）个单位后， 所得图象对应的函数解析式为 第 14 页（共 28 页） 由该函数为奇函数，得 ， 所以 ，则 m= 当 k=0 时， m 有最小值 故选 C 【点评】 本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数 y=x+）的图象变换，三角函数图象平移的原则是 “左加右减，上加下减 ”，属中档题 11已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M（ 2， 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则 |（ ） A B C 4 D 【考点】 抛物线的简单性质 【专题】 计算题 【分析】 关键点 M（ 2， 该抛物线焦点的距离为 3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点 M 的坐标，由此可求 | 【解答】 解：由题意，抛物线关于 x 轴对称，开口向右，设方程为 p 0） 点 M（ 2， 该抛物线焦点的距离为 3， 2+ =3 p=2 抛物线方程为 x M（ 2， | 故选 B 【点评】 本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程 12设 f（ x）是定义在 R 上的恒不为零的函数，对任意实数 x， yR，都有 f（ x） f（ y） =f（ x+y），若， an=f（ n）（ nN*），则数列 前 n 项和 取值范围是（ ） A ， 2） B ， 2 C ， 1） D ， 1 第 15 页（共 28 页） 【考点】 抽象函数及其应用 【专题】 函数的性质及应用；等差数列与等比数列 【分析 】 根据 f（ x） f（ y） =f（ x+y），令 x=n， y=1，可得数列 以 为首项，以 为等比的等比数列，进而可以求得 而 取值范围 【解答】 解： 对任意 x， yR，都有 f（ x） f（ y） =f（ x+y）， 令 x=n， y=1，得 f（ n） f（ 1） =f（ n+1）， 即 = =f（ 1） = ， 数列 以 为首项，以 为等比的等比数列， an=f（ n） =（ ） n， =1（ ） n ， 1） 故 选 C 【点评】 本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意 x， yR，都有 f（ x） f（ y） =f（ x+y）得到数列 等比数列，属中档题 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共计 20分） 13定义某种运算 ， S=ab 的运算原理如图；则式子 53+24= 14 【考点】 选择结构 【专题】 图表型 第 16 页（共 28 页） 【分析】 通过程序框图判断出 S=ab 的解析式，求出 53+24 的值 【解答】 解：有框图知 S=ab= 53+24=5（ 3 1） +4（ 2 1） =14 故答案为 14 【点评】 新定义题是近几年常考的题型，要重视解决新定义题关键是理解题中给的新定义 14若 =4，则 【考点】 二倍角的正弦 【专题】 三角函数的求值 【分析】 先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以 1，将 1 用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求 【解答】 解：若 =4，则 = = = = ， 故答案为 【点评】 本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力， 属于中档题 15已知双曲线 ，点 其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 |值为 【考点】 双曲线的简单性质 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 根据双曲线方程为 ，可得焦距 ，因为 以 |+|=|再结合双曲线的定义，得到 | |2，最后联解、 配方，可得（ | 2=12，从而得到 |值为 【解答】 解： |+|=| 双曲线方程为 ， a2=， c2=a2+，可得 第 17 页（共 28 页） |+|=|=8 又 P 为双曲线 上一点， | |2a=2，（ | | 2=4 因此（ | 2=2（ |+|）（ | | 2=12 |值为 故答案为： 【点评】 本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题 16已知曲线 y=（ a 3） x3+在垂直于 y 轴的切线，函数 f（ x） =3x+1 在 1， 2上单调递减，则 a 的范围为 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【专题】 导数的综合应用 【分析】 根据曲线 y=（ a 3） x3+在垂直于 y 轴的切线，即 y=0 有解，利用 f（ x） =3x+1在 1， 2上单调递减，则 f（ x） 0 恒成立 【解答】 解：因为 y=（ a 3） x3+在垂直于 y 轴的切线，即 y=0 有解，即y= 在 x 0 时有解， 所以 3（ a 3） =0，即 a 3 0，所以此时 a 3 函数 f（ x） =3x+1 在 1， 2上单调递减，则 f（ x） 0 恒成立， 即 f（ x） =3230 恒成立，即 ， 因为函数 在 1， 2上单调递增，所以函数 的最大值为 ， 所以 ，所以 综上 故答案为： 【点评】 本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用 三、解答题（本大题有 6小题，共 70分 明过程或演算步骤） 第 18 页（共 28 页） 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 （ ）求 值； （ ）若 ，且 ，求 a 和 c 的值 【考点】 正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理 【专题】 计算题；转化思想 【分析】 （ 1）首先利用正弦定理化边为角，可得 222后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可 （ 2）由向量数量积的定义可得 ，结合已知及余弦定理可得 a2+2，再根据完全平方式易得a=c= 【解答】 解：（ I）由正弦定理得 a=2b=2c=2 则 22 故 可得 即 B+C） =3 可得 ， 因此 （ ：由 ，可得 ， ， 由 b2=a2+2 可得 a2+2， 所以（ a c） 2=0，即 a=c， 所以 【点评】 本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力 18为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对 15 65 岁的人群抽样了 n 人，回答问题 “湖南省有哪几个著名的旅游景点？ ”统计结果如下图表 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数 占本组的频率 第 19 页（共 28 页） 第 1 组 15， 25） a 2 组 25， 35） 18 x 第 3 组 35， 45） b 4 组 45， 55） 9 5 组 55， 65 3 y （ ）分别求出 a， b， x， y 的值； （ ）从第 2， 3， 4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，求第 2， 3， 4 组每组各抽取多少人？ （ ）在（ ）抽取的 6 人中随机抽取 2 人，求所抽 取的人中恰好没有第 3 组人的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图 【专题】 概率与统计 【分析】 （ I）由频率表中第 4 组数据可知，第 4 组的频数为 25，再结合频率分布直方图求得 n， a， b， x，y 的值； （ 为第 2， 3， 4 组回答正确的人数共有 54 人，抽取比例为 ，根据抽取比例计算第 2， 3， 4 组每组应抽取的人数； （ 出从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果，共 15 基本事件，其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件，利用古典概型概率 公式计算 【解答】 解：（ ）由频率表中第 4 组数据可知，第 4 组总人数为 ， 再结合频率分布直方图可知 n= ， a=1000， b=10007， ； 第 20 页（共 28 页） （ ）因为第 2， 3， 4 组回答正确的人数共有 54 人， 利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人，每组分别抽取的人数为：第 2 组： 人；第 3 组：人；第 4 组： 人 （ ）设第 2 组 2 人为： 3 组 3 人为： 4 组 1 人为： 则从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果为：（ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ ，（ 3），（ （ 15 个基本事件， 其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件， 所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率是： 【点评】 本题考查了频率分布表与频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是读懂频率分布直方图 19已知四棱锥 P 面 A=60、边长为 a 的菱形，又 底 D，点 M、 N 分别是棱 中点 （ 1）证明： 平面 （ 2）证明：平面 平面 （ 3）求点 A 到平面 距离 【考点】 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算 【专题】 证明题；综合题 【分析】 （ 1）取 点 Q，连接 加上 D，于是 利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题； （ 2）易证 因为底面 A=60、边长为 a 的菱形，且 M 为 点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明； 第 21 页（共 28 页） （ 3）因为 M 是 点，所以点 A 与 D 到平面 距离，过点 D 作 H，由（ 2）平面 面 以 平面 点 D 到平面 距离，从而求解 【解答】 解：（ 1）证明：取 点 Q，连接 因为 M、 N 分别是棱 点， 所以 D，于是 平面 （ 2） 因为底面 A=60、边长为 a 的菱 形，且 M 为 点， 所以 又 D=D， 所以 平面 平面 平面 （ 3）因为 M 是 点，所以点 A 与 D 到平面 距离 过点 D 作 H，由（ 2）平面 平面 以 平面 故 点 D 到平面 距离 . 点 A 到平面 距离为 第 22 页（共 28 页） 【点评】 本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想 20已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 |2，点（ 1， ）在椭圆C 上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过 直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，且 面积为 ，求以 圆心且与直线 【考点】 椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】 圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 （ ）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得 c 和焦点坐标，根据点（ 1， ）到两焦点的距离求得 a，进而根据 b= 求得 b，得到椭圆的方程 （ ）先看当直线 l x 轴，求得 A， B 点的坐标进而求得 面积与题意不符 故排除，进而可设直线 l 的方程为： y=k（ x+1）与椭圆方程联立消 y，设 A（ B（ 根据韦达定理可求得 x1+x1而根据表示出 |距离和圆的半径，求得 k，最后求得圆的半径，得到圆的方程 【解答】 解：（ ）设椭圆的方程为 ，由题意可得： 椭圆 C 两焦点坐标分别为 1， 0）， 1， 0） a=2，又 c=1， 1=3， 故椭圆的方程为 （ ）当直线 l x 轴，计算得到： ， ，不符合题意 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为： y=k（ x+1）， 第 23 页（共 28 页） 由 ，消去 y 得（ 3+412=0 显然 0 成立，设 A（ B（ 则 ， 又 即 ， 又圆 半径 ， 所以 ， 化简，得 17k4+18=0， 即（ 1）（ 178） =0，解得 k=1 所以， ， 故圆 方程为：（ x 1） 2+ 【点评】 本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线， 椭圆与圆的关系考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力 21已知函数 ，（其中常数 m 0） （ 1）当 m=2 时，求 f（ x）的极大值； （ 2）试讨论 f（ x）在区间（ 0， 1）上的单调性； （ 3）当 m3， +）时，曲线 y=f（ x）上总存在相异两点 P（ f（ 、 Q（ f（ ，使得曲线 y=f（ x）在点 P、 Q 处的切线互相平行，求 x1+取值范围 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单 调性；利用导数研究函数的极值 【专题】 综合题 第 24 页（共 28 页） 【分析】 （ 1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求 f（ x）的极大值； （ 2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性； （ 3）曲线 y=f（ x）在点 P、 Q 处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可 【解答】 解：（ 1）当 m=2 时， （ x 0） 令 f（ x） 0，可得 或 x 2； 令 f（ x） 0，可得 ， f（ x）在 和（ 2， +）上单调递减，在 单调递增 故 （ 2） （ x 0， m 0） 当 0 m 1 时，则 ，故 x（ 0， m）， f（ x） 0； x（ m， 1）时， f（ x） 0 此时 f（ x）在（ 0， m）上单调递减，在（ m， 1）单调递增； 当 m=1 时，则 ，故 x（ 0， 1），有 恒成立， 此时 f（ x）在（ 0， 1）上单调递减； 当 m 1 时，则 ， 故 时， f（ x） 0； 时， f（ x） 0 此时 f（ x）在 上单调递减，在 单调递增 （ 3）由题意，可得 f（ =f（ 0，且 x1 即 第 25 页（共 28 页） x1不等式性质可得 恒成立， 又 m 0 对 m3， +）恒成立 令 ，则 对 m3， +）恒成立 g（ m）在 3， +）上单调递增， 故 从而 “ 对 m3， +）恒成立 ”等价于 “ ” x1+【点评】 运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 何证明选讲 22如图所示， 圆 O 的切线， A 为切点， 圆 O 于 B， C 两点，