淮海工学院高等数学竞赛资料(一)

函数 极限 连续函数 极限 连续 一 考试内容一 考试内容 函数的概念及表示法 基本初等函数的性质及其图形 复合函数 反函数 初等函数 分段函数 隐函数 参数 方程所确定的函数 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷 小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则 单调有界准则和夹逼准则 两个重要极 限 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 一 函数 1 函数 Function 的定义 设 D 是一个非空实数集合 若对应关系 对于 按照 fxD f 对应唯一确定的 称是定义在 D 上的函数 习惯上也称是的函数 记为 Ry fyx xfy notes 1 两个常用的数学符号 0 任意 或 任意一个 它是英文单词 Arbitrary 表示任意的 打头字母 A 的倒写 存在 它是英文单词 Existence 表示存在 打头字母 E 的倒写 2 基本初等函数为以下五类函数 1 幂函数 xy 是常数 图 1 2 指数函数 x ay a是常数且 01aa x 图 2 3 对数函数 xy a log a是常数且 01aa 0 x 对数 Logarithm 是由英国人纳皮尔创立的 是相对于真数的比率数 图 3 4 三角函数 1 何谓正 何谓余 正就是正角 余就是余角 就是 90 度减去正角 2 何谓弦 何谓切 何谓割 弦就是弦线 切就是切线 割就是割线 圆上两点相连叫做 弦 圆外与圆相切的线叫 切线 圆外割入圆内的线叫 割线 其实一切都是从一个半径为 1 的单位圆来的 正弦函数 xysin x 1 1 y 图 4 余弦函数 xycos x 1 1 y 图 5 正切函数 xytan 2 kx k Z y 图 6 余切函数 xycot kx k Z y 图 7 5 反三角函数 反正弦函数 xyarcsin 1 1 x 2 2 y 图 8 反余弦函数 xyarccos 1 1 x 0 y 图 9 反正切函数 xyarctan x 2 2 y 图 10 反余切函数 xycotarc x 0 y 图 11 3 初等函数 初等函数 由基本初等函数 经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所得到的 能用一个式子表达的 函数 称为初等函数初等函数 高等数学的主要讨论对象是初等函数 1 幂指函数 ln v x v xu x yu xe 4 分段函数 分段函数 分段函数是没有严格定义的 任意函数都可以是分段函数 一般而言 把函数的定义域分成几个区间 在各个区间内 函数的解析式不一样的 这样的函数称为分段函数 即便如此 有些分段函数也可称为初等函数 1 符号函数 1 0 sgn0 0 sgn sgn 1 0 x yxxxxx xxx x 1 y 图 I 12 2 极值函数 1 max 2 f x xx g xf x f x g xf xg xf xg x g x xx g xf x 1 min 2 f x xx f xg x f x g xf xg xf xg x g x xx f xg x 对数一 三而言 在概率论中有极值分布 max min X YX Y 5 隐函数 隐函数 若方程能确定与的对应关系 那么称这个方程确定了隐函数 但其未必 0f x y yx yy x 能显化 函数都是方程 但方程却不一定是函数 6 参数方程所确定的函数 参数方程所确定的函数 若参数方程能确定与的对应关系 那么称这个方程确定了隐函数 xt yt yx 但其未必能显化 有时消参后 原参数方程仅能转化为 yy x 0f x y 7 7 函数的奇偶性 函数的奇偶性 2 sin tan arcsin arctan ln 1 cos xxxxxxf xfxxx f xfx 为奇 为偶 奇奇奇 奇偶 非零常数 非奇非偶 奇 奇偶 奇 偶奇 二 极限 二 极限 1 1 函数自变量变化过程的方式 函数自变量变化过程的方式 自变量取正整数且无限增大的过程 n 自变量取正数且无限增大的过程 x 自变量取负数且其绝对值无限增大的过程 x 自变量绝对值无限增大的过程 x 自变量从的右侧向无限趋近的过程 0 xx 0 x 0 x 自变量从的左侧向无限趋近的过程 0 xx 0 x 0 x 自变量向无限趋近的过程 也指 为正小数 0 xx 0 x 0 xx 2 2 无穷小量与无穷大量 无穷小量与无穷大量 若 则称为某自变量变化过程时的无穷小量 零为无穷小量 lim 0f x xf 若 则称为某自变量变化过程时的无穷大量 lim f x xf 在同一自变量变化过程中 无穷大量的倒数是无穷小量 非零的无穷小量的倒数是无穷大量 无穷小量与有界变量的乘积依然是无穷小量 无穷大量为无界变量的充分不必要条件 3 3 基本函数的极限 基本函数的极限 00 11 lim lim lim0 0 lim1 0 lim 0 xxx xx xxx xx 0 lim1 lim0 lim lim xxxx xxxx eeee 0 lim1 x x a lim 0 1 x x aaa lim lim0 01 xx xx aaa lim0 lim 1 xx xx aaa x x lnlim 0 0 limln 1 0 x x lim ln x x limsin limcos xx xx 2 limtan x x 0 limcot x x 0 limarctan0 x x lim arctan2 x x lim arctan2 x x limarctan x x 0 limcot2 x arcx limcot x arcx limcot0 x arcx limcot x arcx 4 记忆以下几个关于极限的充要条件 1 o x axxax k k k k n n 212 limlimlim AxfxfAxf xxx lim lim lim AxfxfAxf xx lim 00 0 0lim lim 且AxfAxf 5 无穷小的比较 在同一极限过程中 设 均为无穷小 则 x x 如果 称是比高阶的无穷小 记作 或称是比低阶的无穷小 0lim o 如果 称与为同阶无穷小 c lim 0 c 特别当时 即称与为等价无穷小 记作 1 c1lim 如果 称是的阶无穷小 若 称是的阶无穷小 c k lim 0 0 kc k 0 lim k x c x xk 6 无穷小的等价代换定理 设 是同一极限过程中的无穷小 且满足 及 存在或为无穷大 则 若 为无穷大 则 lim limlim limlimA 记住当时 下列的等价关系 0 x arcsin arctan sin tan 1 ln 1 1 ln log 1 ln xx a xxxxexx axaxxa 22 1 cos 2 lncos 2xxxx 11 1 1 0 n xx nxx 7 极限存在准则 1 夹逼准则 在同一极限过程中 函数 满足 xf xg xh 则存在 且 xg xf xh Axg lim Axh lim xflim Axf lim 2 单调有界准则 单调增 减 上 下 有界的数列必有极限 收敛 收敛数列必有界 8 8 极限逆问题中两个常用的结论 两个常用的结论 1 1 存在 存在 lim xg xf 0 lim0 lim xfxg 2 2 lim0 lim 0lim 0 f x Af xg x g x 三 连续 三 连续 1 1 连续的定义连续的定义 若 称在处连续 否则 为的间断点 lim 0 0 xfxf xx xf 0 x 0 x xf 若 称在左连续 若称在右连续 00 f xf x xf 0 x 00 f xf x xf 0 x 若对 使得连续 称在内连续 即对 求证 xa b xf xf a b xa b 0 lim h f xhf x 0 进一步 若 称在上连续 f af af bf b xf a b 2 2 间断点及其类型 间断点及其类型 1 1 第一类间断点第一类间断点 左 右极限均存在的间断点 可去间断点可去间断点 左极限 右极限的间断点 跳跃间断点跳跃间断点 左极限右极限的间断点 2 2 第二类间断点 第二类间断点 左 右极限中至少有一个不存在的间断点 3 3 连续函数的性质 连续函数的性质 1 连续函数的和 差 积 商 分母不为零 及复合仍连续 2 初等函数在其定义区间内处处连续 初等函数在其定义点处的极限为其定义点处的函数值 3 闭区间上连续函数的性质 1 最值 有界 介值性 若在上连续 则在上上必有最大值和最小值 当然有界 xf ba xf ba 且在上也可取到介于它在 上最小值与最大值之间的一切值 xf ba ba 2 零点定理 若在连续 且 则必 使 xf ba0 bfaf ba 0 f 介值定理与零点定理将结合微积分中值定理进行应用介值定理与零点定理将结合微积分中值定理进行应用 二 典型例题二 典型例题 题型一题型一 复合函数复合函数 例例 1 1 设 试求 0 1 0 0 x x xf 2 2 1 2 1 xx g x xx xfgxgf 解 解 2 2 12 02 0 1 11 0 2 1 fxf xf xx g f x f xx f xf x 0 12 0 0 1 01 12 x g x f g x g xxx 或 例例 2 2 23 min 32 xxx 2232 3233 323232 1 0 3 32 1 0 3 xxxxxxxx xxxxxx 例例 3 3 已知的定义域为 求的定义域 1 xf 0 1 23 fx 解 解 则 于是 故 0 1 x 1 1 2 x 23 1 2 x 1 1 2 x 例例 4 4 设和互为反函数 则的反函数为 B xf xg 3 2 1 xgf A B C D 3 2 1 xfg 2 3 1 xgf 3 2 x fg 3 1 2xfg 解 解 则 即 于是 即 1 3 2 yfgx 1 3 2 gxg y 3 2 gxg y 3 2 xfg y 1 2 3 xfg y 故的反函数为 1 3 2 yfgx 1 3 2 yfgx 题型二题型二 函数性态函数性态 例例 1 1 定义于上的下列函数为奇函数的是 C R A B C D x1 2 xx ee 1ln 2 xx 2011 tan cos2011 xx x 例例 2 2 当时 变量是 D 注意函数的局部性质 xxxcos A 无穷小 B 无穷大 C 有界量 D 无界量 注 当注 当时 若若 则 若 则 n 2xn cosxx 22xn cos0 xx 例例 3 3 设 下列结论成立的是 C Axf xx lim 0 A 存在 当时 B 存在 当时 0 xUx f xA 0 xUx f xA C 若 则存在 当时 0 A 0 xUx 0 xf D 若当时 那么 0 xUx 0f x 0A 注注 1 1 若 则对 存在 当时 总有 局部有界 Axf xx lim 0 0 0 xUx Af xA 注注 2 2 若 当时 那么 局部保号 Axf xx lim 0 0 xUx 0f x 0A 例例 4 4 在下列区间中有界的是 A 2 1 1 x y x A B C D 1 1 1 1 注注 若在内连续 且 则在内有界 xf a b f aA f bB xf a b 题型三题型三 未定式计算未定式计算 限于 另三种 以后讲 0 0 0 1 00 0 例例 1 1 求极限 求极限 1 1 2 2 3 3 10 864 2 5 1 12 lim x xxxxx x0 sintan lim 31 11 x x xx x 0 sintan lim 312 x x xx x 4 4 5 5 6 6 7 7 22 1 3 23 0 1 1 lim 32 x xx x x 2 cot3 lim cot5 x x x 18 lim 3332 xxx x 2 csc 0 lim cos x x x 解解 1 原式原式 46 7 10 1151 2 1 1 lim 2 1 x xxxx x 16 解解 2 原式 原式 0 0 2 lim 1 ln3 ln3 2 x x x xx 解 解 3 3 原式原式 0 0 0 sintan lim 3111 x x xx xx x xx 1 1 0 1 ln3 2 原式原式 是错的 0 0 lim0 1 ln3 2 x xx xx sintanxxxx 注 注 等价无穷小代换可在中对较复杂的 0 进行等价代换 当分子 母 由各无穷小因子相乘时 可对 0 0 0 较复杂的无穷小因子进行等价 这能保证整体也等价 而当分子 母 由各无穷小因子相加 减 时 一般不能对各 无穷小因子进行等价 一种处理为和差化积 一种处理为各分项同除最低次等价项后看能否拆开 解 解 4 4 原式原式 3 222 3 ln 1 2 2 2ln3 3ln2 2 000 ln 1 111 lim limlim 2ln33ln2 2ln33ln2 3 1 3 x x xxx xxx x e x x e 注 注 当时 0 x 2 ln 1 1 1 1 xxx a abxxxxxx b 解 解 5 5 原式原式 0 02 0 tan33 lim tan55 xt t t t 解 解 6 6 原式原式 2 3 0 2 3 3 1 777 lim 11 1 lim 1313 xx xx xx xx 解 解 7 7 原式原式 22 00 lncoscos1 1 1 limlim sin2 xx xx xx eee 注 注 ln 11 lim ln lim 1 lim u xu x v xu xv x u x v x u xeea 题型四题型四 极限存在题型极限存在题型 例例 1 1 判断下列极限存在吗 判断下列极限存在吗 1 2 3 4 2 lim 1 x xx arctan lim 1 1 x x x a a 12 1 1 1 lim 1 x x x e x 24 3 0 arcsin lim tan x xx x 5 6 7 0 1 cos lim x x x 2 21 lim 26 2 6 2 6 nn n nnnn n n n x x 2 1 1 lim 提示 提示 6 因 则原式 nn nnn nn n nnnnnn nnn 626 2 6 2 626 6 12 1 2 21 6 12 1 3 1 7 2 1 1 1 lim1 1 1 0 1 n n x x x x x x 注注 1 1 时 的极限不存在 先研究x xx x aarctan xarccot x xx 时 的极限不存在 只需注意其为有界量 也可考虑有界量性质x sin xcosxarctan xarccot x 注注 2 2 一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散 对函数有类似结论 注注 3 3 注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理 注注 4 4 当有限和难以表达时 对无限个无穷小求和可以考虑使用夹逼准则 注注 5 5 极限函数的求法 要注意对取值范围的讨论 如等 lim n f xF x n x arctan nnx xanx 例例 2 2 求其中 lim 21 n n m nn n aaa 2 1 0miai 提示 提示 令 则aai mi 1 maxammaaaaaa nnn n n m nnnn 21 则原式 本题的结论是一个常用结论 1lim n n m i mi aa 1 max 例例 3 3 设 且 C nnn xzy lim 0 lim nnn nn yxz 则 A 存在且等于零 B 存在但不一定等于零 C 不一定存在 D 一定不存在 提示 提示 若 由夹逼定理可得 故不选 A 与 D limlim0 nn nn xya lim0 n n za 取 则 且 但 不存在 B 不正确 11 1 1 1 nnn nnn xyz nn nnn xzy lim 0 nn n yx lim n n z 例例 4 4 设 则数列有界是数列收敛的 C 1 0 n nnk k anZSa n a n S A 充分必要条件 B 充分非必要条件 C 必要非充分条件 D 即非充分地非必要条件 例例 5 5 设 求 222 22 2 21 n xxx n n x lim 解 由题意 知 先证收敛2 1 nn xx n x 由数学归纳法知有上界 11 22 2 2222 kkk xxxx 令则 n x 又 即由单调有界定理知收敛 0 2 1 2 2 1 nn nn nnnn xx xx xxxx nn xx 1 n x 令易知 解得 即 Axn n lim2 AA2 A2lim n n x 注 注 1 1 对数列 若有递推表达式 则一般使用单调有界准则证明数列的收敛性 n x n x 2 2 若 若 有时也会用证明数列的单调性 0 n x 1 1 nn xx n x 3 3 对此类题 往往利用递推表达式先定出极限 再证明数列的界性 最后研究其单调性 n x 题型五题型五 极限应用题型极限应用题型 先讲无穷小比较 渐近线确定 间断点类型 以后再研究可导性判断 先讲无穷小比较 渐近线确定 间断点类型 以后再研究可导性判断 例例 1 1 当当时 用时 用表示比表示比高阶的无穷小 则下列式子中错误的是 高阶的无穷小 则下列式子中错误的是 D 0 x xox A B C D 32 xoxox 32 xoxoxo 222 xoxoxo 22 xoxoxo 解 解 对于 对于 D 可找出反例 如当 可找出反例 如当时时 但 但 0 x 2332 xoxxgxoxxxf xoxgxf 例例 2 2 已知当时 与是等价无穷小 求的值 1 x2 2 x x 2 1 1 xbxaba 解 解 ln2 ln ln2 22 11 2 21 lim2lim 1 1 1 1 xxx xx xe a xb xa xb x 1 1 ln2ln 2lim 1 x xxx xabxb 则 显然 1 ln ln2 2 1 ln2 1 2lim1 x xx x abxba 2ln1 2 abR 例例 3 3 求曲线的渐近线方程 1 1 2 x x y 解 解 为其铅直渐近线 y x1 lim 1 x 又 为其斜渐近线 1 1 1 lim lim 1lim x x xy x y xxx 1 xy 注 注 记忆各类渐近线的确定方法 若 称为一条水平渐近线 一个函数至多有两条不同的 xxx或或yb by xfy 水平渐近线 若 称为的一条铅直渐近线 axaxax或或y ax xfy 若 称为的一条斜渐近线 lim0 x x x y k x lim x x x ykxb bkxy xfy 例例 4 4 试确定的间断点 并判断其类型 x x y tan 解 解 其间断点为 因 则为其可去间断点 2 xkk zk 0lim 2 y kx 2 kx 又 此时 为其第二类间断点 y kx lim0 k kx 0 k 而 为其跳跃间断点 1lim 1lim 00 yy xx 0 x 例例 5 5 试确定该函数的渐近线 并判断其间断点类型 0 0 3sin 1 1 x x x x e y x 解 解 为其铅直渐近线 且为其第二类间断点 1 lim x y 1 x1 x 为其水平渐近线 又 为其水平渐近线 1lim y x 1 y0lim y x 0 y 而 故为其第一类中的跳跃间断点 3 0 0 fef0 x 例例 6 6 求证 设在间断 在连续 则在间断 并举例说明 f x 0 xx g x 0 xx f xg x 0 xx 在可能连续 2 f xg xfxf x 0 xx 提示 提示 设 则在间断 在连续 在 00 10 x f x x sing xx f x0 x g x0 x sin0f xg xf xx 连续 若设 在间断 但在均连续 0 x 10 10 x f x x f x0 x 2 1fxf x 0 x 注 注 在点连续 是 在点连续 的充分不必要条件 f x 0 x f x 0 x 三 课后练习三 课后练习 1 A 则 1 3 xxfxxgf xg 3 1 x 2 A 当时 02x max sin cos xx cos04 sin454 cos542 xx xx xx 3 B 提示 用图像法 2 min 32 2 x xx 2 321 213 323 xx xxx xx 4 A 与相同的函数为 B xxfsgn A B C D 2 sgn x sgn sgn xxsgn sgn x 5 A 已知则 0 1 0 0 x x xH 1 H xH x 0 0 1 01 0 1 x x x 6 A 设 则 0 0 2 2 x x x x xg 0 0 2 x x x x xf 0 0 2 2 2 x x x x xfg 7 A 设 又 则的定义域为 x exf arcsin 1 xxgf xg 22 1 1 ee 8 A 当时 下列函数哪个是无穷大量 C 0 x A B C D x e x e 1 x e 1 x e 9 B 当时 是 D 0 x 21 sinxx A 无穷小 B 无穷大 C 有界但非无穷小 D 无界但非无穷大 10 A 下列命题正确的是 C A 无穷小是很小的数 无穷大是很大的数 B 无穷小的倒数是无穷大 C 无穷大的倒数是无穷小 D 无穷小与无穷大互为倒数 11 B 在下列哪个区间内有界 A 2 2 1 2sin xxx xx xf A B C D 0 1 1 0 2 1 3 2 注 若在内连续 且 则在内有界 xf a b f aA f bB xf a b 12 A 函数在处有定义是在处有极限的 D xfy 0 x xfy 0 x A 充分但非必要条件 B 必要但非充分条件 C 充分且必要条件 D 既不充分也不必要条件 13 A 下列结论正确的是 A A 收敛数列必有界 B 有界数列必收敛 C 若 则必有界 D 若 则必有界 0 lim xx f xA xflim x f xA xf 注 当 C 对 当时 D 对 0 xx x 14 B 设且则当充分大时有 A lim n aa 0 a n A B C D 2 n aa 2 n aa 1 n aan 1 n aan 注 取 则 C 错 取 则 D 错 2 n aan 2 n aan 15 A 设 均为非负数列 且 则必有 D n a n b n c0lim n n a1lim n n b n n clim A 恒成立 B 恒成立 C 不存在 D 不存在 nn ba nn cb n lim n a n c n lim n b n c 16 B 设 A 提示 nn xay 且 lim 0 nnnn n yxxy 则与 lim 0 nn n ayxa A 都收敛于 B 都收敛 但不一定收敛于 C 可能收敛 也可能发散 D 都发散aa 17 B 设数列与满足 则下列断言正确的是 D n x n y0lim nn n yx A 若发散 则必发散 B 若无界 则必有界 n x n y n x n y C 若有界 则必为无穷小 D 若为无穷小 则必为无穷小 n x n y1 n x n y 18 B 当时 用表示比高阶的无穷小 则不能表示为 B 0 x xox 23 o xo x A B C D 2 o x 3 o x 23 o xx 23 o xx 注 233223 xo xxo xo xo x 5 o x 19 A 时 是的 C 0 xxxcoscos x A 低阶无穷小 B 高阶无穷小 C 同阶但非等价无穷小 D 等价无穷小 20 A 当时 而 则正整数等于 B 0 x 2 1 cos ln 1 sin n xxo xx 2 sin 1 nx xxo e n A 1 B 2 C 3 D 4 21 A 无穷间断点的个数为 1 222 1 1 f xxxxx 22 A 对函数 点是 B 11 21 21 xx f x 0 x A 可去间断点 B 跳跃间断点 C 第二类间断点 D 连续点 23 A 设 则该函数图象的水平渐近线为 其铅直渐近线为 1 1 xx yee 11yy 0 x 24 A 下列曲线有渐近线的是 C A B C D sinyxx 2 sinyxx 1 sinyxx 21 sinyxx 25 A 设 则该函数图象具有 B 1 x f xx