有理数的运算技巧

有理数的运算有理数的运算 有理数的加法有理数的加法 将一个或多个有理数的值相加的过程叫有理数的加法 如 23 64 52 139 分析理解 与小学加法的联系 有理数的加法与小学的加法大有不同 小学的加法不涉及到符号的问题 而有理数的加 法运算总是涉及到两个问题 一是确定结果的符号 二是求结果的绝对值 法则理解 在进行有理数加法运算时 首先判断两个加数的符号 是同号还是异号 是否有 0 从而确 定用那一条法则 在应用过程中 一定要牢记 先符号 后绝对值 熟练以后就不会出错了 法则拓广 多个有理数的加法 可以从左向右计算 也可以用加法的运算定律计算 但是在下笔前一 定要思考好 哪一个要用定律哪一个要从左往右计算 有理数加法法则 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值相等时 和为零 绝对值不等时 取绝对值较大的数的符 号 并用较大的绝对值减去较小的绝对值 一个数与 0 相加 仍得这个数 运算律运算律 1 有理数的加法同样拥有交换律和结合律 和整数得交换律和结合律一样 用字母表示 为 交换律 a b b a 两个数相加 交换加数的位置 和不变 结合律 a b c a b c a b c 2 三个数相加 先把前两个数相加 或者先把后两个数相加 和不变 有理数的加法解析 一般地 同号两数相加有下面的法则 同号两数相加 取与加数相同的符号 并把绝对值相加 一般地 异号两数相加有下面的法则 异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号 并用较大的绝对值减去较小的绝对值 另外 有理数相加还有以下法则 互为相反数的两个数相加得零 一个数同零相加 仍得这个数 有理数相加的例子 两个有理数相加 有多少种不同的情形 为此 我们来看一个大家熟悉的实际问题 足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量 若我们规定赢球为 正 输球为 负 打平为 0 比如 赢 3 球记为 3 输 1 球记为 1 学校足球队在一场比赛中的胜负可能 有以下各种不同的情形 1 上半场赢了 3 球 下半场赢了 1 球 那么全场共赢了 4 球 也就是 3 1 4 2 上半场输了 2 球 下半场输了 1 球 那么全场共输了 3 球 也就是 2 1 3 现在 请同学们说出其他可能的情形 答 上半场赢了 3 球 下半场输了 2 球 全场赢了 1 球 也就是 3 2 1 上半场输了 3 球 下半场赢了 2 球 全场输了 1 球 也就是 3 2 1 上半场赢了 3 球下半场不输不赢 全场仍赢 3 球 也就是 3 0 3 上半场输了 2 球 下半场两队都没有进球 全场仍输 2 球 也就是 2 0 2 上半场打平 下半场也打平 全场仍是平局 也就是 0 0 0 上面我们列出了两个有理数相加的 7 种不同情形 并根据它们的具体意义得出了它们 相加的和 但是 要计算两个有理数相加所得的和 我们总不能一直用这种方法 现在请 同学们仔细观察比较这 7 个算式 你能从中发现有理数加法的运算法则吗 也就是结果的 符号怎么定 绝对值怎么算 1 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 2 绝对值不相等的异号两数相加 取绝对值较大的加数符号 并用较大的绝对值减 去较小的绝对值 互为相反数的两个数相加得 0 3 一个数同 0 相加 仍得这个数 有理数的加法与小学的加法大有不同 小学的加法不涉及到符号的问题 而有理数的 加法运算总是涉及到两个问题 一是确定结果的符号 二是求结果的绝对值 在进行有理数加法运算时 首先判断两个加数的符号 是同号还是异号 是否有 0 从而确定用那一条法则 在应用过程中 一定要牢记 先符号 后绝对值 熟练以后就不会 出错了 多个有理数的加法 可以从左向右计算 也可以用加法的运算定律计算 但是在下笔 前一定要思考好 哪一个要用定律哪一个要从左往右计算 要点要点 同号相加不变 异号相加变减 欲问符号怎么定 绝对值大号选 在进行有理数加法运算时 一般采取 1 是互为相反数的先加 抵消 2 同号的先加 3 同分母的先加 4 能凑整数的先加 5 异分母分数相加 先通分 再计算 6 几个数相加能得到整数的可以先相加 记忆口诀记忆口诀 有理加法不含糊 同号异号分清楚 如果两数号相同 绝对相加号相从 如果两数号相异 大绝来把小绝去 结果符号大绝替 有理数减法有理数减法 有理数减法法则 减去一个数 等于加上这个数的相反数 其中 两变 减法运算变加法运算 减数变 成它的相反数 一不变 被减数不变 可以表示成 a b a b 表达式表达式 a b a b 例题例题 1 计算 1 3 5 2 0 7 3 7 2 4 8 4 0 8 例例 2 数轴上 A B C D 所表示的有理数分别是 1 3 2 4 用有理数减法的 算式分别表示以下两点间的距离 1 A B 两点 2 C D 两点 3 A D 两点 4 D C 两点 例例 3 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰 其海拔高度大约是 8844 米 吐鲁番盆地的 海拔高度大约是 155 米 两处高度相差多少米 解 8844 155 8844 155 8999 米 答 两处高度相差 8999 米 强调解题格式 练习 1 两个有理数相减 是否存在 不够减 的问题呢 差一定小于被减数吗 2 若 a 与 b 两数相减 差是负数 则 a b 小结 有理数乘法有理数乘法 有理数乘法法则即两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 任何一个数与 0 相乘 积仍为 0 有理数乘法运算律即分配律 结合律 交换律 用字母表示为 ab ba a bc ab c a b c ab ac 符号法则符号法则 两数相乘 同号得正 异号得负 特殊运用特殊运用 任何数与 0 相乘 积仍为 0 具体步骤 1 两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 例 5 3 5 x 3 15 6 4 6 x 4 24 2 任何数与 0 相乘 积为 0 例 0 1 0 3 几个不等于 0 的数相乘 积的符号由负因数的个数决定 当负因数有奇数个数 时 积为负数 当负因数有偶数个数时 积为正数 并把其绝对值相乘 例 10 5 0 1 6 积为正数 而 4 7 25 积为负数 4 几个数相乘 有一个因数为 0 时 积为 0 例 3 2 0 0 5 乘积为一 的两个有理数互为倒数互为倒数 reciprocal 例如 3 与 1 3 3 8 与 8 3 5 0 没有倒数 6 如果有两个有理数的乘积为 1 那么称其中一个数为另一个数的倒数 reciprocal 也称这两个有理数互为倒数 例如 3 与 3 分之一互为倒数 负八分之三与负三分之八互 为倒数 同号得正 异号得负 重点 运用有理数乘法法则正确进行计算 难点 有理数乘法法则的探索过程 符号法则及对法则的理解 1 创设问题情景 由于长期干旱 水库放水抗旱 每天放水 2 米 已经放了 3 天 现在水深 20 米 问放水抗旱前水库水深多少米 学生 26 米 教师 能写出算式吗 学 生 教师 这涉及有理数乘法运算法则 正是我们今天需要讨论的问题 教师板书课 题 2 小组探索 归纳法则 1 出示以下问题 学生以组为单位探索 以原点为起点 规定向东的方向为正方 向 向西的方向为负方向 a 2 3 看作向东运动 2 米 3 看作向原方向运动 3 次 结果 向 运动 米 2 3 b 2 3 2 看作向西运动 2 米 3 看作向原方向运动 3 次 结果 向 运动 米 2 3 c 2 3 2 看作向东运动 2 米 3 看作向反方向运动 3 次 结果 向 运动 米 2 3 d 2 3 2 看作向西运动 2 米 3 看作向反方向运 动 3 次 结果 向 运动 米 2 3 e 被乘数是零或乘数是零 结果是人仍在原 处 2 学生归纳法则 a 符号 在上述 4 个式子中 我们只看符号 有什么规律 同号得 异号得 异号得 同号得 b 积的绝对值等于 c 任何数与零相乘 积仍为 3 师生共同用文字叙述有理数乘法法则 3 运用法则计算 巩固法则 1 教师按课本 P75 例 1 板书 要求学生述说每一步理由 2 引导学生观察 分析例 1 中 3 小题两因数的关系 得出两个有理数互为倒数 它们的积为 1 4 学生做 P76 练习 1 的 两题 教师评析 5 教师引导学生做 P75 例 2 让学生说出每步法则 使之进一步熟悉法则 同时 让学生总结出多因数相乘的符号法则 多个因数相乘 积的符号由 决定 当负因数个数有 积为 当负因数个数有 积为 只要有一个因数为零 积就为 4 讨论对比 使学生知识系统化 有理数乘法 有理数加法 同号 得正 取相同的 符号 把绝对值相乘 2 3 6 把绝对值相加 2 3 5 异号 得负 取绝对 值大的加数的符号 把绝对值相乘 2 3 6 2 3 1 用较大的绝对值减小的绝对值 任何数与零 得零 得任何数 5 分层作业 巩固提高 六 六 教学反思 教学反思 本节课由情景引入 使学生迅速进入角色 很快投入到探究有理 数乘法法则上来 提高了本节课的教学效率 在本节课的教学实施中自始至终引导学生探 索 归纳 真正体现了以学生为主体的教学理念 本节课特别注重过程教学 有利于培养 学生的分析归纳能力 教学效果令人比较满意 如果是在法则运用时 编制一些训练符号 法则的口算题 效果可能更好 相关题目 计算 1 54 0 02 100 21 2 0 4536 2 4 X 5 X 0 25 20X0 25 5 3 100 X 3 X 5 X 0 01 300 X 5 X0 01 1500X0 01 15 4 1 9 1 6 1 18 X 36 1 18 1 18 X36 1 9X36 4 5 1 4 1 2 1 8 X 128 1 4 1 8 X128 3 8X128 48 有理数除法法则有理数除法法则 法则一 除以一个不等于 0 的数等于乘这个数的倒数 注意 0 没有倒数 公式 a b a 1 b 法则二 两数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 0 除以任何一个非 0 的数 都得 0 说明 0 没有倒数没有倒数 1 0 除以任何一个不等于 0 的数 都等于 0 2 0 在任何条件下都不能做除数 3 0 没有倒数 4 倒数是它本身的数是 1 和 1 5 同号得正 异号得负 6 除以一个不为 0 的数等于乘这个数的倒数 运算公式 a b a 1 b b 0 一般步骤 1 两个有理数相除时 首先确定商的符号 其次确定商的绝对值 2 有理数除法运算的步骤 1 改为 除数变倒数 2 乘法运算 有理数乘方有理数乘方 求相同因数的积叫做乘方 involution 乘方运算的结果叫幂 power 正数的任 何次幂都是正数 负数的奇数次幂是负数 负数的偶数次幂是正数 1 表示 22 73也可以看做是乘方运算的结果 这时它们表示数 分别读作 2 的 2 次幂 7 的 3 次幂 其中 2 与 7 叫做底数 base 2 与 3 叫做指数 exponent 这种求 n 个相同因数 a 的积运算叫做乘方乘方 power 乘方的结果叫做幂幂 power a 叫做底数 base number n 叫指数 exponent 任何数的 0 次方都是 1 例 3 1 注 0 无意义 2 5 2 2 2 2 2 2 1 重点 在理解有理数乘方意义的基础上进行有理数的乘方运算 2 难点 与所学知识进行衔接 处理带各种符号的乘方运算 创设情境创设情境 听音频资料 通过 棋盘上的学问 一则故事 引入问题 64 个二相乘怎么计算 吸引学生注意 为下文引入乘方的概念铺垫 师 到底国王傻不傻呢 大家先别急着下结论 等大家学完了本节课程 就能回答这 个问题了 请大家看细胞分裂示意图 由计算并用算式表示出第一次 第二次 第三次 第 n 次分裂后细胞的个数 引入乘方的概念 师 有些时候 我们会遇到几个相同因数相乘的式子 比如五个 2 相乘 我们要写很 长 这样的式子有更简单的表示方式吗 什么叫乘方 求 个相同因数的积的运算叫乘方 用字母怎么表示 读作什么 每个字母表示什么 分别请学生回答相关的问题 培养学生自主学习的能力 注 乘方是一种和加减乘除一样的一种运算 指数 n 要以小写的形式写于底数的右上角 了解乘方的意义 从幂转为乘 3 了解乘方的指数 底数 幂的定义 乘方的结果叫做幂 在中 叫做底数 叫做指数 明确了表示 a 的幂的这个式子的结构之后 做几道口答题 看屏幕 用基础题来调动 学生参与讨论回答的积极性 为后续学习热身 性质 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 0 的任何正 整数次幂都得 0 例题 某种细胞每过 30 分便由一个分裂成 2 个 经过 5h 这种细胞由一个能分裂成多少个 解答 1 个细胞 30min 后分裂成 2 个 1h 后分裂成 2 2 个 1 5h 后分裂成 2 2 2 个 5h 后要分裂 10 次 分裂成 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 024 个 为了简便 可将 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 记为 2 有理数混合运算法则有理数混合运算法则 有理数的运算顺序 有理数的混合运算法则即先算乘方或开方 再算乘法或除法 后算 加法或减法 有括号时 先算小括号里面的运算 再算中括号 然 后算大括号 5 4 5 5 5 5 4 5 4 运算律 运算律 加法的交换律 a b b a 加法的结合律 a b c a b c 乘法的交换律 ab ba 乘法的结合律 ab c a bc 乘法对加法的分配律 a b c ab ac 注 除法没有分配律 注 除法没有分配律 有理数的加减混合运算有理数的加减混合运算的几个技巧的几个技巧 小学生进入初中以后 接触了正 负数 很多同学觉得数学的知识 增加了很多 但一开始学习有理数加减混合运算 他们发现很容易 犯错误 而且在运算过程中有时不知所措 有理数的运算是初中数学中 的基础运算 熟练地掌握有关的运算技巧 巧妙地运用有关数学方法 是提高 运算速度和准确性的必要保证 下面介绍一些运算技巧 一 一 归类运算归类运算 进行有理数的加减运算时 运用交换律 结合律归类加减 常常可以使运 算简捷 如整数与整数结合 如分数与分数结合 同分母与同分母结合等 例 1 计算 0 5 3 2 75 7 4 1 2 1 解法一 0 5 3 2 75 7 0 5 2 75 3 7 4 1 2 1 4 1 2 25 4 2 2 1 4 1 解法二 0 5 3 2 75 7 0 5 3 2 75 7 4 1 2 1 4 1 2 1 3 2 7 0 5 0 75 2 4 1 2 1 评析 解法一是小数与小数相结合 解法二整数与整数结合 这样解决了既含分数又 含小数的有理数加减运算问题 同学们遇到类似问题时 应学会灵活选择解题方法 将同 类数 如正数或负数 归类计算 练习 计算 23 1324 解 原式 3 12234 69 3 将分母相同或易于通分的数结合 计算 解 原式 55511 125210 624918 51 713 86 13 5 24 二 二 凑整数法 在式子中若既有分数又有小数 有些数相加后能凑整数法 在式子中若既有分数又有小数 有些数相加后能 凑出整数 这样做的目的是使得运算简便凑出整数 这样做的目的是使得运算简便 将和为整数的数结合计算 将和为整数的数结合计算 例 2 计算 36 54228263 46 解 原式 36 5463 462282 1002282 12282 40 将相加得零的数结合计算 将相加得零的数结合计算 计算 5464332 原式 4453263 009 9 凑整 就是把 一些分数 或小数 凑成整数 把 一些整数凑成 10 的 整倍数 使有理数式子容易计算出结果 在凑整过程中 常用添项 拆项 分 解因数 提公因数等方法技巧 1 19 299 3999 49999 2 22 3 6 19942006 9 6 55 3 365 455455 211 545 365211 545 4 4351 0 7 115 20 715 9494 三 变换顺序三 变换顺序 在有理数的运算中 适当改变运算顺序 有时可以减少运算量 在具体运 算过程中 技巧是恰到好处地运用交换率 结合律和分配律等运算律简化运 算 例 3 计算 4 6 12 5 7 1 7 2 12 7 解 4 6 12 5 7 1 7 2 12 7 4 6 12 5 7 1 7 2 12 7 4 6 12 5 12 7 7 2 7 1 11 7 3 10 7 4 计算 4 12 5310 1 5 解 原式 4 12 50 131 5 1 3131 评析 在运算前 首先观察 分析参与运算的数的特征 排列顺序等 适 当交换一下各数的位置 达到简化运算 快速解题的目的 四 四 逆用运算律逆用运算律 在处理有理数的数字运算中 若能根据题目所显示的结构 关系特征 对 此加以灵活变形 便可巧妙地逆用分配律 使解题简洁明快 例 4 计算 17 48 37 174 8 1 9 8 74 88 解 17 48 37 174 8 1 9 8 74 88 17 48 37 17 48 10 1 9 17 48 44 17 48 37 17 48 19 17 48 44 17 48 37 19 44 1748 2283 210 25 55214 解 原式 25871 5122144 21811 34344 128 1 433 1 4 评析 很明显 灵活变形 逆用分配律 减少了运算量 提高了解题效率 五 五 巧拆项巧拆项 把一项拆成两项的和或积 使得算式可以消去某些项 使运算简捷 例 5 计算 2005 1001 2004 2003 1002 1001 解 2005 2004 2003 1002 10011001 2004 1 1002 1 2004 2003 1002 1001 2003 1001 2004 2003 1002 1001 1003 2004 2001 将一个数分解成两个或几个数之和的形式 或分解为它的因数相乘的形式 计算 1111 2543 4236 原式 1111 2543 4236 3642 2 12121212 11 22 1212 评析 对于这些题目结构复杂 长度较大的数 用常规的方法不易解 决 解这类问题要根据题目的结构特点 找出拆项规律 灵活巧妙地把问题解 决 把一项拆成两项的和或积 使得算式可以消去某些项 使运算简捷 利用下 面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算 第一类 或或 111 11n nnn 1111 n nmmnnm 11m n nmnnm 第二类 或 1111 m nmn mn 11mn m nmn 第三类 211 12112n nnn nnn 1 1111 1 22 33 41993 1994 2 1111 1 33 55 797 99 3 1111 567290110 413 122030425672 5 111 1 2 32 3 498 99 100 六 观察六 观察 根据 0 1 在运算中的特性 观察算式特征寻找运算结果为 0 1 或的部分优1 1 先计算 例 计算 200913 120093 7531 64 解 3 3 7530 4 2009 11 原式 011 七 变量替换七 变量替换 通过引入新变量转化命题结构 这样不但可以减少运算过程 还有利于寻 找接题思路 其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用 例 6 计算 0 125 5 1 2 7 6 9 3 2 3 4 1 7 125 0 3 2 3 4 1 7 3 2 3 4 1 7 5 1 2 7 6 9 解 设 a b 0 125 c 则 3 2 3 4 1 7 5 1 2 7 6 9 0 125 5 1 2 7 6 9 3 2 3 4 1 7 125 0 3 2 3 4 1 7 3 2 3 4 1 7 5 1 2 7 6 9 b cab a a c cab a a cab 1 评析 此题横看纵看都显得比较复杂 但若仔细观察 整个式子可分为三 个部分 0 125 因此 采用变量替换就大大减少了计算 3 2 3 4 1 7 5 1 2 7 6 9 量 八 八 分组搭配分组搭配 观察所求算式特征 巧妙运用分组搭配处理 可以简化运算 例 7 计算 2 3 4 5 6 7 8 9 66 67 68 69 解 2 3 4 5 6 7 8 9 66 67 68 69 2 3 4 5 6 7 8 9 66 67 68 69 0 0 0 0 0 观察所求算式特征 巧妙运用分组搭配处理 可以简化运算 1 100 99 98 97 4 3 2 1 1 200 199 198 197 4 3 2 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 66 67 68 69 评析 这种分组运算的过程 实质上是巧妙地添括号或去括号问题 九 九 倒序相加倒序相加 在处理多项式的加减乘除运算时 常根据所求式结构 采用倒序相加减的 方法把问题简化 例 8 计算 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 5 4 60 1 60 2 60 58 60 59 解 把 式括号内倒序后 得 2 1 3 2 3 1 4 3 4 2 4 1 5 4 5 3 5 2 5 1 60 59 60 58 60 2 60 1 得 1 2 3 4 58 59 1770 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 5 4 1770 885 60 1 60 2 60 58 60 59 2 1 评析 显然 此类问题是不能 硬算 的 倒序相加可提高运算速度 降低复杂程 度 如果一个数列 与首末项等距的两项之和等于首末两项之和 可采用 把正着写和与倒着写和得两个和式相加 就得到一个常数列的和 这一求 和方法称为倒序相加法 在处理多项式的加减乘除运算时 常根据所求式 结构 采用倒序相加减的方法把问题简化 对于较复杂的算式直接运算很困难 若能抓住其特征 运用整体运算的思维 创造性地加以解决 就能收到事半功倍的效果 整体换元可以避开局部细节 的麻烦 它利用前后项之间的倍数关系 使用的是错位相加法 1 1234005 2003200320032003 2 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 1 3 232011 5555 十 十 添数配对添数配对 例 9 计算 11 192 1993 19994 199995 1999996 19999997 199999998 199999999 9 解 添上 9 8 7 6 5 4 3 2 1 依次与各数配对相加 得 11 192 1993 19994 199995 1999996 19999997 199999998 19999 99999 20 200 2 10 2 10 2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 349 2222222220 45 2222222175 评析 添数配对实质上也是一种凑整运算 十一 十一 整体换元整体换元 对于较复杂的算式直接运算很困难 若能抓住其特征 运用整体运算的思 维 创造性地加以解决 就能收到事半功倍的效果 例 10 计算 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 1 解 设 1 x 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 1 则 得 2 1 x 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 1 512 1 2 1 得 1 x 解得 x 故 512 1 2 3 256 171 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 1 256 171 评析 整体换元可以避开局部细节的麻烦 它利用前后项之间的倍数关系 使用的是错位相加法 式子的整体角度考察 把部分式子用字母代替后 再进行化简求值 通过引 入字母转化命题结构 这样不但可以减少运算过程 还有利于寻找接题思路 其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用 1 11111111111111 11 23423452345234 2 2255 97 7979 十二 简单等差数列求和法十二 简单等差数列求和法 等差数列 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的差等于同一个 常数 这个数列就叫做等差数列 即 2 等差数列求和 首项尾项 项数 1 123 2 n n n 补充公式 2222 121 123 6 n nn n 1 1231920 2 1 35109 3 17 18 197981 4 111 1 121231250 5 1 992 973 9550 1 十三 应用公式十三 应用公式 平方差公式 22 ababab 完全平方公式 2 22 2abaabb 2 22 2abaabb 1 2222222 1949195019511952199719981999 2 2 24690 1234612345 12357 3 2 22 19991998 19991997199919992 4 22222222 24610013599 1239 10932 1 5 22 123487662468 8766 6 22 110102200 有理数运算是中学数学中一切运算的基础 它要求同学们在理解有理数的有 关概念 法则的基础上 能根据法则 公式等正确 迅速地进行运算 同时还 要善于根据题目条件 将推理与计算相结合 灵活巧妙地选择合理的简捷的算 法解决问题 从而提高运算能力 发展思维的敏捷性与灵活性 有理数的混合运算习题有理数的混合运算习题 1 2 2 3 2 12411 23523 3 4 11 1 5 42 75 5 42 8 5 63 5 6 3 1 45 2