第39课线段的定比分点

第 39 课 线段的定比分点 考试目标考试目标 主词填空主词填空 1 定比分点的概念 设 P1 P2是直线 l 上的两点 点 P 是 l 上不同于 P1 P2的任意一点 则存在一个实数 使 叫做点 P 分有向线段所成的比 且 0 0 21 PPPP 21P P 2 定比分点坐标公式 设 P1 x1 y1 P2 x2 y2 P x y P 分所成之比为 那么 x y 特别地 当 21P P 1 21 xx 1 21 yy 1 时 x x1 x2 y y1 y2 2 1 2 1 3 三角形的重心坐标 设 ABC 中 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 则其重心坐标为 3 3 321321 yyyxxx 4 内分点与外分点 设 是 P 分有向线段的比 P 点在线段 P1P2上的充要条件是 0 P 点在线段 21P P P1P2的延长线上的充要条件是 1 P 点在线段 P2P1的延长线上的充要条件是 1 0 题型示例题型示例 点津归纳点津归纳 例例 1 已知点 P x 1 P1 1 5 P2 2 4 1 求点 P 分的比 1及 x 的值 21P P 2 求点 P2分的比 2的值 PP2 解前点津解前点津 在 2 中 注意到 P2是起点 P 是终点 P1是分点 此三点身份地位不同 规范解答规范解答 1 由 y 得 1 解之 2 1 21 yy 1 45 x 2 x 1 1 21 221 1 21 xx 2 由 x1 得 1 解之 2 1 2 22 xx 1 2 2 2 2 3 解后归纳解后归纳 应用定比分点公式 关键是对号入座 严格确定起点 终点 分点 代入分点 公式 方程组 求解 例例 2 1 若点 P 分线段 AB 的比为 求点 B 分有向线段 AP 的比 3 1 2 已知 BC 的长度为 5 A 在 BC 的延长线上 10 求点 A 分有向线段所成的比 CABC 解前点津解前点津 1 综合利用 及 AP 3 1 PBABBP 2 作示意图 规范解答规范解答 设 因为 ABBPAP 3 1 PB 0 0 0 APPBPB 3 1 PBPBPB PB 1 3 1 1 0 即 3 1 3 4 2 由题意 知 B C A 三点的顺序如图所示 A 是 BC 的外分点 故 0 又 2 3 10 15 AC BA 2 3 解后归纳解后归纳 求定比 可从两个方面考虑 一是确定正负号 二是确定比值 例例 3 线段 AB 的端点为 A x 5 B 2 y 直线 AB 上的点 C 1 1 使 2 求 x y 的值 ACBC 解前点津解前点津 依据条件 考察 A B C 三点的排列顺序 然后构造 求解 规范解答规范解答 2 2或 2即 2 或 2 ACBCACBCACBCACCBACCB 1 当 2 时 由定比分点坐标公式得 1 1x 7 y 1 ACCB 21 2 2 x 21 25 y 2 当 2 时 由定比分点坐标公式得 1 及 1 解之 x 5 y 3 ACCB 21 2 2 x 21 25 y 综上所述知 x y 的值分别为 7 1 或 5 3 解后归纳解后归纳 2 与 2 的含义不一样 前者是长度之间的关系 后者是向ACBCACBC 量之间的关系 设计 构造定比分点的比值 是基本技能所在 例例 4 已知平行四边形 ABCD 一个顶点坐标为 A 2 1 一组对边 AB CD 的中点分别为 M 3 0 N 1 2 求平行四边形的各个顶点坐标 解前点津解前点津 循序渐进求坐标 由 M 是 AB 中点 可求 B 点坐标 由 可确定 C 点MNBC 会标 由 N 是 CD 中点 可确定 D 点坐标 规范解答规范解答 设 B x1 y1 因 M 是 AB 中点 故由分点公式得 3 2 x1 及 0 1 y1 B 8 1 2 1 2 1 1 2 3 0 4 2 xc yc 8 1 xc 8 yc 1 MNBC 由 得 4 2 xc 8 yc 1 xc 4 yc 3 故 C 4 3 MNBC 设 D x2 y2 因 N 是 DC 中点 故由中点公式得 1 x2 4 及 2 y2 3 得 D 6 1 2 1 2 1 解后归纳解后归纳 利用图形的直观性 综合利用相等向量知识及分点公式 则便于计算 对应训练对应训练 分阶提升分阶提升 例 2 题图解 一 基础夯实 1 已知两点 P1 1 6 P2 3 0 点 P分有向线段所成的比为 则 y 的值分别为 y 3 7 21P P A 8 B 8 C 8 D 8 4 1 4 1 4 1 4 1 2 如果连接点 2 5 和点 M 的线段中点是 1 0 那么点 M 的坐标是 A 4 5 B 4 5 C 4 5 D 4 5 3 已知点 A m n B m n 点 C 分所成之比为 2 那么 C 的坐标为 AB A 3m 3n B 3m 3n C 3m 3n D 3m 3n 4 已知 P1 2 1 P2 0 5 P 在的延长线上 且 2 则 P 点坐标为 21P PPP1 2 PP A 2 11 B 2 11 C 2 11 D 2 11 5 已知 O 0 0 和 A 6 3 两点 若点 P 在直线 OA 上 且 又 P 是 OB 中点 则点 B 的OP 2 1 PA 坐标为 A 2 3 B 1 3 C 1 D 3 2 3 2 1 6 已知点 A 分有向线段的比为 2 则在下列结论中错误的是 BC A 点 C 分的比是 AB 3 1 B 点 C 分的比是 3BA C 点 B 分的比是 AC 3 2 D 点 A 分的比是 2CB 7 已知 P1 4 3 P2 2 6 且 2 点 P 在线段 P1P2上 则 P 点坐标为 PP1 2 PP A 0 3 B 3 0 C 3 3 D 1 3 8 点 A m n 关于点 B a b 对称点的坐标为 A m n B a m b i C a 2m b 2n D 2a m 2b n 9 设 A B C 三点共线 且它们的纵坐标为 2 5 10 则点 A 分所成之比为 BC A B C D 8 3 3 8 8 3 3 8 10 若点 P 分有向线段的比为 则 B 点分有向线段的比为 AB 3 1 AP A B C D 3 4 4 3 3 4 4 3 二 思维激活 11 直线 l 上有三点 A B P 若 3 则 P 分有向线段所成之比为 ABBPAB 12 ABC 的顶点 A 2 3 B 4 2 和重心 G 2 1 则 C 点坐标为 13 已知 M 为 ABC 边 AB 上的一点 且 S AMC S ABC 则 M 分所成的比为 8 1 AB 14 设 A 1 5 B 4 2 若 P 在 x 轴上且使 PA PB 最大 则 P 点坐标为 三 能力提高 15 已知两点 A 2 4 B 6 0 在直线 AB 上求一点 C 使 AC 2 1 AB 16 已知 A 2 3 B 0 1 C 3 0 点 D E 分别在 AB AC 上 DE BC 且 DE 平分 ABC 的面积 求 点 D 坐标 17 设始点为同一点 O 的向量 a b c 的终点 A B C 在同一条直线上 根据下列条件 把 c 用 a b 表示出来 1 c 为线段 AB 的中点 2 c 为以 3 2 内分有向线段的分点 AB 3 c 为以 3 1 外分有向线段的分点 AB 18 设 r1 i 1 2 3 4 试证 P1 P2 P3 P4四点共面的充要条件是存在不全为 0 的实数 i i OP i 1 2 3 4 使 1r1 2r2 3r3 4r4 0 且 0 4 1i i 第第 3 课课 线段的定比分点习题解答线段的定比分点习题解答 1 C 由及解之即得 1 31 3 7 1 06 y 2 B 设 M x y 则 1 且 0 2 2 1 x 5 4 5 2 1 yxy 3 D 设 C x y m mm x3 2 1 2 n nn y3 2 1 2 4 A 与反向 2 2 PP1 2 PP PP1 2 PPPP2 设 P x y 由于 x y 2 1 x 2 y 1 x y 0 5 x y 5 PP1PP2 x 2 y 1 2 x y 5 故由得 5 21 22 yy xx 11 2 y x 5 C 由条件知 故 P 点坐标为 2 3 B 1 2 2 1 1 2 1 60 p x3 2 1 1 2 1 30 p y 2 3 6 D 逐一检验 7 A 由条件知 P 是 P1P2的内分点 故与同向 2 2 PP1 2 PP PP1 2 PP 故 0 21 2 2 4 P x3 21 26 3 P y 8 D 设 A 的对称点为 x y 则由得出 D A nby max 2 2 9 C 设比为 由得 1 105 2 8 3 10 C 由 AP 3 1 PB ABAPPB 3 1 PBPB 3 4 PB 3 4 BP 11 4 3 3 4 ABBP APPBBP APPB 4 12 8 4 设 C x y 由 2 2 4 x 及 1 3 2 y 得 x 8 y 4 C 8 4 3 1 3 1 13 设 AB 边上的高为 CH 则由 S S AMC ABC 得 AM CH AB 8AM 2 1 CHAB 2 1 8 1 又与同向 AMAB 8 8 ABAMMBAM 故 M 分所成的比为 AM 7 1 MBAB 7 1 第 13 题图解 14 作 B 点关于 x 轴的对称点 B 4 2 连 AB 并延长交 x 轴于点 P 则 PA PB AB 即最大 值为 AB 设 P x 0 P 分所成之比为 则B A 故 P 6 0 2 5 1 4 2 5 1 1 25 0 x 6 2 5 x 15 当 C 为内分点时 此时 即 C 是 AB 中点C 2 2 ABAC 2 1 12 2 1 当 C 在 BA 的延长线上时 ACACAB 2 1 2 1 CBAC 故 C 分所成的比为 设 C x y 则 ACCB 3 1 AB 3 1 6 3 1 1 0 3 1 4 6 3 1 1 6 3 1 2 y x 16 由得 2 1 2 BC DE BC2DE AB2AD 设 D x y 2 2 x 2 y 3 ABAD 故 23 22 3 22 2 22 y x y x 17 1 C 是 AB 中点 BCCBAC 又a c c ba b c cc a b ACCB 2 1 2 a c c b AC 2 3 CBACCB 第 16 题图解 第 17 题图解 1 第 17 题图解 2 a b c cc a b 2 3 5 2 5 3 3 3 a b b ca b a b 2 b c ACCBABBC ACCB cbCB bCBa2 CB去去 故 c b a 2 3 2 1 18 必要性 P1 P2 P3 P4四点共面 由平面向量基本定理 存在实数 使 即有 r2 r1 r3 r1 r4 r1 1 r1 r2 r